1、立体几何题常见解法举例安庆七中 陈百亮1、降维法在立体几何中，将空间图形（三维）的问题转化为学生更为熟知的平面图形（二维）的问题，就是所谓降维法。通过降维转化，化难为易，化繁为简，化未知为已知，转化途径，主要是通过构造辅助平面来实现。例 1、 在侧棱长为 的正三棱锥 PABC 中，32,E、F 分别是 PB、PC 上的点，过40CABPAA、E、F 作截面 AEF，求AEF 周长的最小值。解析：如果设 PE=PF=X cos22X40X2sinEF40cos33(2 XA）412XEFA周 长此函数是无理函数， 无论是用换元法，还是求导法，要求出他的最值是很困难的。如果我没想到将立体图形展开为
2、平面图形，则解题思路豁然开朗！这时（如图 2） ，AEF 的周长最小 值是 是一AFEAFEA条线段，而 是等腰三角形。P， 利用余弦定理，马12034上可求出答案。)1(2 20sin4co312X2 120cos32)3()2(A36故AEF 的周长的最小值是 6.2.向量法人教版高中数学新教材立体几何中空间向量的地位和作用越来越重要，运用法向量求二面角，直线与平面所成的角，点到平面的距离和异面直线间的距离；利用直线的方向向量证明线面平行在近年的高考题中呈现增长的趋势。例 2.（2005 年安庆市高三数学质量检测评估试题）如图 3，已知四棱锥 SABCD，底面 ABCD 是正方形，SD 面
3、 BD，且SD=1，H 为 的垂心。 H 在底面上的射影 G 为的垂心。H 在底面上的射影 GAC为 的重心。D（1）求二面角 D-HA-B 的大小（2）求 C 到平面 ADH 的距离解析：（1）设 AC 的中点为 O，依题意知 G 点 在 OD 上，H 在 SO 上。由 H 在底面上的射影 G 为 的重心，知ADC，因此，H 为21OS的重心。又 H 是 的垂心，所以AC是正三角形，故SAD=DC=SD=1，分别以直线 DA,DC,DS 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(1，0，0),B(1，1，0),C(0，1，0),D(0，0，0),S(0，0，1),H( )31，设
4、平面 HAD 的一个法向量为 ),(zn则由 令 z=-1,得0zyxDHnA)1-,0(n类似可求得平面 AHB 的一个法向量 ,m3记二面角 D-HA-B 为 ，则 cos= 5102-mn所以二面角 D-HA-B 为 -arccos .510(2)C 到平面 D-HA-B 的距离 d 为 2nDC3.割补法将立体几何图形进行分割或拼补，降陌生的空间图形转化为比较简单的我们比较熟悉的几何体，利于我们更为方便地观察各元素之间的关系，易于问题的解决。例 3设三棱柱 被垂直于21CBA侧棱的平面所截，此截面（ ）的面积为 S, 截面上,31211hBhA面的几何体体积记为 V，求证：)3132h
5、SV（证明：如图 4，将所求几何体分割成一个 三棱锥 和一个四棱锥CAB1.1则 HSVshVCAACBABC 1111 3,32梯 形)(3111ACBCABShS)(33214.等积法利用选择从一个棱锥不同的底面和高分别计算棱锥的体积，且体积相同这一4思想进行转化，常常可以化难为易，化繁为简。例 4，斜三棱锥 的底面是边长为 a 的正三角形，侧棱 与侧面1-ABC1A的距离。1BC解析：如图 5，过 作底面 ABC1的垂线 ,OA1 ，45ACB易证垂足 O 必在 的平分线上。作 连接，于交 D1OD，则 ,为正三角形， ,BCAE于是 为矩形。111,设侧棱 长为 b，易知1 ,630t
6、an,21 bADObADODA3211ahbahVbSOAaSbhhVaSCBBACBCBCAB2116,34,613,2221211111， 得由又 即 和侧面 的距离为 。115.函数法通过适当设元，利用函数知识求解立体几何的最值问题是立体几何计算中常见方法之一。5例 5.如图 6，四面体 ABCD 中，棱 CD=X，其余各棱长为 1，试用 X 表示四面体的体积，并指出 X 为何值时，体积最大，最大值是多少？解析：取 CD 中点 M，AB 中点 N，连接MA，MB，MN,可求得 ，2-3x从而 ，42xSAMB，2231431xxV令 ，23xy812326,349(max2222Vyxxxy 时， 即当 且 仅 当 ，）6.方程法通过列方程，解方程的方法来求立体几何图形中的未知元素，往往能取得意料不到的成功。例 6，如图 7，在半径为 R 的球面上，钻 A,B，C,D 四个孔，每两个孔之间的距离都相等，求两孔中心之间的距离。解析：本题实际上是求球的内接正四面体 的棱长。设棱长为 X，先做出球的直径 AE,连接 BE.设截面图的圆心为 )2()3, 11211AORxEABOBt即 （ 中 ， 在连 接6.RxxxAOxAORAx362,0301,3632-)1(063212221121即 ） ， 得代 入 （ 得又因此，两孔中心之间的距离是 .R362
