1、另一种解析几何的方法by zhangyuong（数学之家）背景：这种方法是我在接触一条 09 年高考题目所获得的。在当时为了解决那一道题目，所以运用了这一种方法。没想到的是这种方法居然在解析几何中一样有相当多的应用。下面我将详细地说这一种方法题目引入：（2009 全国卷理）已知双曲线 210,xyCab：的右焦点为 F,过 且斜率为 3的直线交 C于AB、两点，若 4FB,则 的离心率为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A 65 B. 7 C. 58 D. 9这个题目要解决并不困难，只要稍微运用第二定义即可而我当时是为了不运用第二定义而想到的方法，下面先将原解答发出：解：设双曲线21x
2、yCab：的右准线为 l,过 AB、 分 别作AMl于 ,BNl于 , DM于 ,由直线 AB 的斜率为 3,知直线 AB 的倾斜角为 16060|2A,由双曲线的第二定义有 |(|)AFBe1|(|)2ABFB.又 5643|2e可以说，如果不是这道题目的特殊性，以及这道题目可用第二定义如此轻松解决，我也不会去思考这样的方法。为了引入这一种方法，先将这道题目作如下改变：已知双曲线 210,xyCab：的右焦点为 F,过 且斜率为 3的直线交 C于 AB、 两点，若,则 的离心率为 w.w.w.k.s.5.u.AFB在这个时候要解决这个问题就十分容易了，因为 P 是 AB 的中点，我们可以马上
3、联想到韦达定理：12122222122(,)(,)(,0)0:3()3()6()03AxyBAFcxbxacxabcab设 中 点 为因 此设 的 方 程 为代 入 到 双 曲 线 方 程 有 ：即因 此有所 以 -从这个过程看到，这样的双曲线并不存在，不过这种方法我们可以想：在什么情况之下，双曲线是存在的，它的离心率是多少因此我们可以将题目作如下改变：已知双曲线 210,xyCab：的右焦点为 F,过 且斜率为 的直线交 C于 AB、 两点，若k,则 的离心率为AFB2222222122221()()0Axyckbyabkbcakxbckkbaakc跟 上 面 一 样 ， 设 的 直 线 方
4、 程 ：与 双 曲 线 方 程 联 立 ：即因 此即通 过 这 条 式 子 就 可 以 将 离 心 率 求 出 来从这里我们可以看到，我们的条件 ，是可以制造出使用韦达定理的式子，进而顺利解决AFB问题。那么更一般的问题，也就是本文的技巧，在原来高考题的情况之下，如何可以继续使用韦达定理解决？下面将给出本文这一种技巧的核心定理：虽然是一个很浅显的定理，但是在解析几何运用极多我将下面具体阐述我这个定理发现的过程，以及我最初是如何获得的这对大家解析几何技巧的使用会有一定益处定理 1：22,()()xyaybab给 定 实 数 且 满 足 ， 那 么证明 1： 2222 22()()()()2-()
5、()-()4()()(xymabnmnaxynxyabyxabayxyxyab假 设 可 以 写 成即 ， 两 边 待 定 系 数 有这 是 一 个 二 元 方 程 ， 必 有 解 ：因 此两 边 平 方 ， 并 注 意 到因 此因 此 22222)()44)xbayxy所 以即证 毕证明 2： 22()()abxyxayabbxyx由 得根 据 合 比 定 理 有因 此即这里提供了 2 个证明；证法 1 要繁琐很多其实第 2 个证明比较简单是运用比例的性质，之所以将证法 1 所以放在这里，是因为证法 1 就是我获得这个结论的想法了下面将说明，为什么会想到用证法 1 的方法来获得这个定理首先回
6、到一开始的那道高考题，并将其一般化：（2009 全国卷理）已知双曲线 210,xyCab：的右焦点为 F,过 且斜率为 的直线交 C于1kAB、两点，若 ,则 的离心率为FB121222212122224(,),)(,(,)(,)-()()()0-xycxyxcyxcyyyABxkcbkycyabk设由 有根 据 向 量 相 等 有根 据 定 理 ， 这 式 可 以 写 成 而 的 方 程 ：与 双 曲 线 方 程 联 立 ：即现 对 运 用 韦 达 定 理 ：4242222222(1)()(1(1)(1)ckbabakckek即所 以如果斜率是 ，那么上述结论就变为k21ek从上面我们可以看
7、到关于离心率的结论是非常整齐，漂亮的现在有了上述过程，读者估计能或多或少地体会到定理 1 的作用以及为什么要用证法 1 获得了解析几何的二次曲线中，韦达定理的应用是非常多的由这个高考题的第一个变式，将焦点变为 AB 中点时，我们能够用韦达定理很好地处理所以在这个高考题中，我也试着要用韦达定理解决但是在这里，我们发现了一个困难： AFB这说明纵坐标的关系是成比例的，而不是如之前变式中的恰好符合韦达定理因此我们这个时候就试想要通过一些方法，来将这个比例的式子 ，写成能够用韦达定理的形式21y韦达定理的内容是两根之和以及两根之积所以我们作变换的时候，总是试图要获得类似的关系但这里又有一个问题(证法
8、1 获得的核心)：两根之积 从多项式角度看是二次的，而两根之积 是一次的12y 12y直接从 ，并不能得到关系，因此这里我就想到了利用 作一个转化 这样经过平方之后，一定能获得两根之积也就是定理 1 的证法 1所以在上面的题目中，我们根据定理 1 能够马上写出221-()()yy这样完全符合韦达定理的关系式解析几何中，最注重的就是式子的对称性，因为这能为我们计算节省很多精力定理 1 的威力在于，可以将两个元素的成比例的形式，转化为符合韦达定理形式的式子从而为韦达定理的应用提供条件下面我将用一个我考试的题目来说明这一种方法的应用，是一道高考题，但出处不明 2:143xyMNCEOEMN设 ， 是
9、 曲 线 上 的 两 点 ， 是 曲 线 的 左 焦 点 ，若 ， 求 直 线 的 方 程我们答案给的方法，是将 M，N 两点坐标设出来，满足曲线方程，然后根据条件，将 M，N 坐标都解出来，然后直线 MN 的方程也出来了考试时候我不敢用这样的方法，因为没有信心能够解出这个二元二次方程，因此我采用的就是本文的方法，在极短时间内就获得了答案：特殊情况就不讨论了 12121212222(,)(,)303(4)69079(43)()4851MxyNxkyOEOEkykkMNxy设 方 程 ： ， 由 有根 据 定 理 有联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 有由 韦 达 定 理 代 入 有即 ， 所 以因 此 ：从上面的这个例子我们可以看出，定理 1 的威力可以将这种题目的两个元素之间成比例的不“平衡”的关系转化为对称，平衡的形式
