1、1一. 平面几何与解析几何平面几何(plane geometry)是古希腊的玩意儿，在公元前三百年便由欧几里得(Euclid)编辑成书，所以又叫做欧几里得几何(Euclidean geometry)，只准用圆规及直尺在平面上游戏.注意圆绝对圆，直线绝对直，在世间无，因此平面几何象古希腊的哲学(爱智之学)，是心想而没有物质的；实用的几何则是近似的. 平面几何是数学的一支，研究“如果甲则乙”. 例：等腰等角定理（isosceles isogonal theorem)或等腰定理：如果三角形两边相等则对角相等. 图 1-1故，CAB)(S从而. （ 的对角）证毕. D,已证的结果叫定理，可以留作后用，
2、例如 （边角边）是定理，在讨论SA上例前已证. 再举一例：（毕氏定理(Pythagorean theorem)的逆(converse)定理）给出中，三边 的长依惯例分别用 来表示.ABCABC, cba,图 1-2已知：在 中，ABCA求证： （问：为什么要“求”？ 答：寻求而非乞求. ） 证明：考虑 及 ：， AB,.（已知） 2已知 . 22bac求证： 09C证明：（可用余弦定理证或）作 ,使 , ， BA0bAC. 以 表示 . 因a c,B（毕氏定理）22a及， （已知）22bc， （取代）从而= . ABC)(S所以， （对应角）即. (取代）证毕. 09C毕氏为希腊人毕达哥拉斯（
3、Pythagoras)的简译，他生于公元前五百多年，他的学派创立了推理法或演绎法（deduction） ，用它证明了毕氏定理，由此发现了无理数（irrational number） ：设上面的 ，且 =一单位（2045Ba单位可任选） ，则 为 . 暂设 为有理数（rational number） ，即2ac, (1) nm其中 为正整数.我们可以消去 的公因子，即假设 互质（relatively nm, n, nm,prime）：没有大于 1 的（正整数）公因子. 由（1）得. (2)2n两边都可以分解因子至质数，即除自己外没有大于 1 的因子；不计乘法的顺序，这种分解至质数积的式子是唯一的
4、，从而由（2）知 含因子 ： ，m2k3图 1-3上面提到正整数分解为质数积的结果叫做“唯一析因定理” （unique factorization theorem） ，它与物理、化学里将物分解为分子、原子类似.我们也可倒过来用质数积造数，例如用 造 ；这样，13,710我们便知道将一个任意的三位数 重复写，所得的六位数 能被xyzxyz整除，而且商是 ！13,7无理数的名称反映了保守派的势力.我们管毕氏定理叫勾股定理，是否也嫌保守，忽略了希腊人创立演绎法的里程碑？问：在我们的勾股定理及四大发明后面有什么突出的方法？在它们前面又有什么远大的理想？古印度人也会证毕氏定理:用 图 1-2 作四边形
5、ABCC, B, A 在 CC 內同一点. 梯形 ABCC的面积为 (b+a)(a+b)/2; 用直角三形角分算,得 ba/2+cc/2+ab/2. 故.22bac叫直角坐标(rectangular coordinates), 图 1-4一方面将平面几何化简为“代数”或解析几何（analytic geometry）,另一方其中 为正整数.这样(2)k可写成 .再作 的质数2nn因子分解，知 也可被 整除，与 互质的假设矛盾.回顾，m,除（1）外，步步有理，故（1）不成立，即 不是有理数. 证毕. 2当他人沉溺于几何国中，笛卡儿（Rene，Descartes，1596-1650）用两条轴来决定一
6、点 , 轴垂直于 y 轴,)(yx4面，三维、四维、n 维空间的观念也自然地接踵而来：是实数nIRnnaa,.:),.(2121 表示 维向量空间（n-dimensional vector space）. 在 中引入社会结nI nIR构数积（scalar multiplication） 、点加（pointwise addition）及点积（dot product）:,),.(),.(2121 nnaaa,b),.(21 nba),.(21n).(21n nb2其中 , , 都是实数,叫数量、纯量或标量（scalar） ，a,.b,.分别是点（point）或向量（vector） 的第一、第二、n
7、a.21 ),.(21na、图 1-5上面 可当作是一点 P，可当作是 ，也可以当作是 平),(yxO)0,(OP行移动所得的向量，叫做“自由”向量.这样当 时， 是向量),(21a的 倍.注意 也是物理中力向量 , 的),(21a),(21aOR),(21b)(21b和. 例：求 的坐标,其中 , ， ，)(21cPQt),(21a),(21.0t第 坐标. n回到 ， 2, ),(),(11aa, 22b)21b),(1,(15图 1-6解：从点 作线平行于 轴，交从 到 轴的垂线于 ,PxQR,xTS则， （相似）QSRT从而图 1-7或直接用向量算：，PRO即. （3）),(),(),
8、(),( 21212121 absac)(ts解毕. 例：求两点 连线的中点. )3,4(解：先推公式（4） ，再取 ，得中点的公式：21t， （对应边比） sTSP即 ,21sabc)1(t从而 , )(11sc22ab6， （向量和的一半） （4）),(21),(211bac即 . ),7()3,4(),(21 解毕. 例：证明平行四边形两对角线相互平分. 证：不妨设 , , ,则 . 由)0(A)(21aB)(21bD),(21baC（4）知 的中点是C图 1-8 习题：在 中，连中线 及在 上取一点 ，使 . 证明ABCADGDA2,从而证)(31OCBO明 三中线相交于 . G图 1
9、-9 . （6）1xy12xym)0,(2121ba， 的中点是 BD),(2121ba故 相互平分. 证毕.,给出直线 straight line 上()L的两个点 , ),21yx得斜率 slope (（5） 12xym故 上的任意点 的方程是 L),(7图 1-10图 1-11故圆（circle）的方程式为， （8）2121)()(yxr其中 为圆心， 为半径. 上式可改写成：),(1yxr. （9）2121)()(ryx例：求圆心为 ，半径为 的圆的方程. ),3解：由（9）得223)()1(yx展开，得 . 204解毕. 例：求经过两点 的直线的方)4,2(13程式. 解：由（5）及
10、（6）得. 31xy24化简，得 ，31xy5或，)1()(y或 . 0153yx解毕. 由毕氏定理知两点 的),(,21yx距离（distance）是 ： d（7）d2121)()(x8在三维、四维、 维空间里也可以如上玩耍.笛卡儿因发明解析几何n成为现代数学的创始人. 他又是现代哲学的创始人，他的名言是：我思故我在. 想是在思考及怀疑一切、几乎失落之际迸出来的，强调怀疑与独立思考的重要性.五十三岁时他在荷兰，瑞典女皇邀他；我们不知笛卡儿瞬间的感觉，只知女皇派军舰接他上路.以后在黎明前，他为女皇讲习，如渊明为菁青.只叹当时北风凛冽如湘南的柏林，笛卡儿终于不支，患上肺炎，于次年病逝，何其浪漫！维空间结果拾穗：n给出向量 ，其中 ，即 ，则 其中 读cba,cba, cba0,)(cba作垂直（orthogonal）于， 表示+或-. 证明：，0)( cbacb即图 1- 12注意: 维空间不一定要有一般的几何意义，例如给出四维空间的一个点n如在相对论里 可以代表一般空间的点， 代表时间；,(ba)dc),(cd如在统计学里 也可以代表一个人的(高度, 重量，性别，年龄). . 证毕. cba)(特例：（立体几何定理）如果 垂直平面 ，PDS且 里的 垂直平SEb面 里的 ,则 垂直 .OcOE9
