1、1第五章 留数及其应用(Residue and application)第一讲授课题目：5.1 孤立奇点教学内容：孤立奇点的分类、各类奇点的特征、函数的零点与极点的关系、函数的零点与极点的关系.函数在无穷远点的性态学时安排：2 学时教学目标：1、掌握孤立奇点的分类2、理解并掌握各类奇点的特征 3、了解函数的零点与极点的关系及函数的零点与极点的关系教学重点：孤立奇点的分类教学难点：各类奇点的特征教学方式：多媒体与板书相结合作业布置： 习题五：1-5132P板书设计：一、孤立奇点的分类二、各类奇点的特征三、函数的零点与极点的关系参考资料：1、 复变函数 ，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、
2、 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解 ，高等教育出版.3、 复变函数论 ， （钟玉泉编，高等教育出版社，2第二版）2005 年 5 月.4、 复变函数与积分变换苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008 年 4 月.课后记事：1、会判断函数的孤立奇点，并能正确分类2、基本掌握各类奇点的特征3、课后要答疑教学过程：35.1 孤立奇点(Isolated singular point)一、孤立奇点的分类（Isolated singular points of）设函数 在去掉圆心的圆盘 内)(zf )0(|0: RzD解析，那么我们称 为 的孤立奇点.在 内， 有洛朗0)(zf zf展式 ,)()(
3、0nnzzf其中 ,.)210(,)(2110Cnndzfi是圆 . 为 的解析部C|0Rz,)(00nnz)(zf分，为 的主要部分.,)(10nnz)(zf例 1 0 是 ， 的孤立奇点.ze1,si例 2 ， 是它的孤立奇点.zfsin,210n一般地，对于上述函数 ，按照它的洛朗展式含负幂的)(f情况（主要部分的情况） ，可以把孤立奇点分类如下：定义（Definition）5.1(1) 若 在 的主要部分为零，)(zf04则称 为 的可去奇点.0z)(f(2) 若 在 点的主要部分为有限多项. 即0z( )0110)(0)( zzmm 0m则称 为 的 阶极点.f(3) 若 在 点的主
4、要部分有无限多项 , 则称 )(z0 0z为 的本性奇点.)(f二、各类奇点的特征(The characteristics of various types of singularities)1、可去奇点(Removable singularity) 我们说 是0z的可去奇点，或者说 在 有可去奇点.这是因为令)(zf )(zf0，就得到在整个圆盘 内的解析函数 .0R| )(zf定理(Theorem)5.1 函数 在 内)(zf 0(|: zD解析，那么 是 的可去奇点的必要与充分条件是：存在0z着极限， ，其中 是一个复数.0)(lim0fz 0证明：（必要性）.已知 是 的可去奇点，在z
5、)(f内， 有洛朗展式：Rz|0)(f .)(.)( 001 nnzzf 因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是 R，所以它的和函数5在 内解析，于是显然存在着 .Rz|0 0)(lim0zfz（充分性）设在 内， 的洛朗展式是Rz|00,)()(0nnf其中 ,.21,)(2110dzin已知 ，所以存在着两个正数 及 ，使得)lm0fz M)(0R在 内，0|,|)(|zf那么取 ，使得 ，我们有0,.)210(21|1nMnn当 时，在上式中令 趋近于 0，0n就得到 .于是 是 的可去奇点.,)32(z)(f定理(Theorem) 设 为 的孤立奇点，则 是1.50(f 0z的可去奇点的
6、充分必要条件是：存在着某一个正数)(zf，使得 在 内有界.0R)(zf0|z2. 极点(Pole)设 是 的 阶极点.当 时，称 是 的单0z)(fm10z)(f极点，当 时，称 是 的 重极点.10z)(f是 的 阶极点，那么在 内，0z)(f)Rz|06有洛朗展式：)(zf .)(.)() 0010 011nnmmzzzf在这里 .于是在 内mR| zzzzzf mnnm00010 011.)(.)(.) 其中 是一个在 内解析的函数，并且 .反)R| )(之，如果函数 在 内可以表示成为上式右端的)(zfz|00形状，而 是一个在 内解析的函数，并且|，那么可以推出 是 的 阶极点.这
7、样我们就得0)(z0z)(fm到：是 的 阶极点充要条件是： 0z)(fmzzfm01（1） 其中 在 解析，并且 .)(z0)(0z由此可得如下定理：定理(Theorem)5.2设函数 在 内解析，那么)(zf )0(|0: RzD7是 的极点的充分必要条件是： .0z)(f )(lim0zfz推论设函数 在 内解析，)(zf|0: RD那么 是 的 阶极点的充分必要条件是：0zm，mzzf)(li00在这里 是一个正整数， 是一个不等于 0 的复常数.m3. 本性奇点 (Essential singularity)定理(Theorem)5.3设函数 在 内解析，那么)(zf )0(|0:
8、RzD是 的本性奇点的充分必要条件是：不存在有限或无穷极0z限 .)(lim0fz例 3 研究是函数 孤立奇点的类型zef1解： 是函数 的孤立奇点.zz当 沿正实轴趋近于 0 时， 趋近于 ；ze1当 沿负实轴趋近于 0 时， 趋近于 0；zz所以 不存在，故 是函数 的本性奇点.ze10limzzef1例 4 研究是函数 孤立奇点的类型fsin解： 是函数 的孤立奇点.因为函数zz在 内的洛朗展式为fsin|08.)!12(.!531sin42nzzz由于展式中负幂项系数均为 0，故故 是函数 的zfsin可去奇点.例 5 求出下列函数的奇点，并确定它们的类型，对无穷远点也要加以讨论：（1
9、） （2）3sin)(zf25)1(zf解（1） （法一） 以 为奇点)(f0先求 在 的洛朗展式：)(zf|0112301233 )!()!(1sinnnnnzzzf由此， 在 的负幂项部分为零；故 为 的可去)(zf 0f奇点.（法二）因为 61sinlm31coslisinlm02030 zzzzzz故 为 可去的奇点)(f（2）显然 是 的二级极点.1z)(zf三、函数的零点与极点的关系(Function relationship between the zero and pole)定义(Definition)5.2 若 ，其中zzfm0)(9在 解析，且 ， 是一正整数，则称 为)(
10、z00)(zm0z的 阶零点.fm定理(Theorem)5.4 若 在 解析，则 为 的 阶)(zf00z)(fm零点充分必要条件是 ,1,0)( 00 zfmnzfn证明：（必要性）若 为 的 阶零点，则z)(zfm0)(设 在 的泰勒展式为0.)(.)()( 001 nnzzz其中 ，从而 在 的泰勒展式为0f1010)( mmzzzf由此式推知 ,)( 00 zfnzf mn（充分性）课后作业注 1：不恒为零的解析函数的零点是孤立的(Analytic function is not identically zero zero is isolated)零点与极点有如下关系定理(Theore
11、m)5.5 为 的 阶极点，则 是 的0z)(fm0zf1阶零点，反之亦然.m10例 6 函数 有什么奇点？如果是极点，指出它们zfsin1的阶.解： 是函数 的孤立,200si kz)(zf奇点，由于 ，1,)(nkz所以 都是 的一阶零点，也就是,21kzzsin一阶极点.fsin四、函数在无穷远点的性态(Function in the behavior of Infinity)定义(Definition)5.3 设函数 在无穷远点的邻域)(zf内解析，则称无穷远点为 的孤立奇点.|zR在 内， 有洛朗级数展式：|)(zf（2）nf其中 ,.)10,(,)(2110 nRdzfinn令 ，按照 或 ，我们得到在 或wzRw|内解析的函数 ，在 内其洛朗|0)(fwR1|0级数展式是： nnb)(再用 代入，得到在 内zw1|zR
