1、1湖南师大附中第 5 次月考数学试题一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集 ，集合 ，则 （ ）|x3,NU2|x10,NAACUA. B. C. D. 1034567,89答案：B2. 下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D.fx3fxtanfx1fx答案：B3.已知数列 满足 ，且 ，则 的值na)(*1Nnan 9642)(log9753a是（ ）A.-5 B. C.5 D.55答案：C4.某程序的框图如图所示，输入 ，则输出的数等于（ ）NA B. C. D.4456
2、556答案：D解析：第一次循环： ；第二次循环： ；10,2Sk12,3Sk第三次循环： ；第四次循环： ；第五次23,434,5循环： 此时 ，不满足条件，输出 .415,6Sk56S222 25 题图5.某几何体的三视图如图所示，其正视图，侧视图，俯视图均为全等的正方形，则该几何体的体积为（ ）A. 34 B. 8 C. 6 D. 2答案：A6.三个班级分别有 1 名、2 名、3 名学生获奖，这 6 名学生要排成一排合影，则同班学生排在一起的概率是（ ）A B C D3051015答案：C解析：由已知同班学生排在一起共 种方法，而三个班级的学生随便排有 种方32A6A法，故所求概率为 .3
3、2610P7.将函数 的图象向右平移 2 个单位后，得到函数 的图象，则函数 的sinyx()fx()fx单调递减区间是 A B12,kZ14,3,kZC D 4 41,k答案：C38.设 满足约束条件 ，若目标函数 的值是最大yx,0,263yx 0,bayxz值为 12，则 的最小值为 （ ）2abA B C D 4653831答案：A9.在 C中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 ，点 O 在线段 CD 上（O 与点BC,D 不重合）若 则 x 的取值范围 （ ）OxAByCA B 10,3 C D 1,03)1,0( )0,1(答案：C 解析：如图所示，由于 ，点 O 在线段 CD
4、 上，故存在实数 ，CD (,1)使得 ,OAACBACB又 (1)BxBy,x0,0,即 0x10.已知斜率为 2 的直线 l与双曲线2:1(0,)xyCab交 两点，若点,AB是 的中点，则 的离心率等于（ ）(,1)PAB（A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 2答案：D解析：设 ，代入双曲线得 ，相减得12(x,y)B(,)A212xyab4，即 化简得22110xyab12121212()()xxyyab即 所以 则离心率 .1212()()kyxb2a2cae二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分(一)选做题( 请考生在第 11，12，
5、13 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11 （坐标系与参数方程选做题）若直线 2sin4与直线 31xky垂直，则常数 k 12 (几何证明选讲）如图， ABC内接于圆 O， ABC，直线 MN切圆 O于点 C，/BEMN交 于点 E.若 64， ，则 E的长为 . 答案： 103解析：直线 切 于点 ， 根据弦切角可知 , , MNOCBCMA/EN, ,又 是公共角， 根据三角对应相等得到BCEBA , , A,6,4248,638106313.若不等式 27xa的解集为 R，则实数 a的取值范围是 5(二)必做题(14-16 题)14若随机变量 ，且 0.1587，则 .)
6、1,2(N)3(P)1(P【答案】0.8413.15设 9 220121xaxa112ax ，则02a的值为_.【答案】- 2.【解析】令 1x，即令 1x得92012 13aa16. 定义 表示不超过 的最大整数 ，如： 定 R.2,0.8,3.4义 .x（） ；23109991010（）若 ，函数 的零点个数为 ，则 ,36x22()sinixfxm【答案】 ()5;2.解析：（1）由分子易得.0129(1)00.(1)kkkkkkCC（2）由 函数 知 ，则22sinixfx2sincosx, (kZ)k或设 ，在同一坐标系内作出两函数图像，由图像知12x,y时交点有 100 个， 的根
7、有 100 个，即 .0362xk10m又由 可求得(kZ)2x10m三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤617 （本题满分 12 分）根据空气质量指数 （为整数）的不同，可将空气质量分级如下AQI表:（数值）AQI05:10150:120:130:空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染空气质量类别颜色 绿色 黄色 橙色 红色 紫色 褐红色某市 2014 年 11 月 1 日11 月 30 日，对空气质量指数 进行监测,获得数据后得到如AQI下条形图:（1）市教育局规定在空气质
8、量类别达到中度污染及以上时学生不宜进行户外跑步活动，估计该城市本月（按 30 天计）学生可以进行户外跑步活动的概率；（2）在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 为空气质量类别颜色为绿色的天数,求 的分布列与数学期望.解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别达到中度污染及以上的天数为 12, 所以该城市本月学生可以进行户外跑步活动的概率 . 6 分 12305P（2）随机变量 的可能取值为 , 7 分 012则 , 8 分 2630587CP, 9 分 142630 10 分 243015CP所以 的分布列为:127P6587104352145 12 分 10426.354E18.（本题满
9、分 12 分）已知函数 ,其中常数 ;()sin()fxx0（1）若 的图像相邻两条对称轴之间的距离为 ,求 的值;()yfx2（2）在（1）的条件下,将函数 ()yfx的图像向右平移 6个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 的图像.若 g在 上至少含有 10 个零点,求 的最小()ygx0,()bb值.解：(1)因为 的图像相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，即 ，()f 2T即 ，所以 . 4 分 T2(2) ， ，()sinfxx()sin2()12sin()163gxx 6 分 令 ，()02sin()10sin(2)33gxxx得 或 ，即 或 ， ，234k4k74k1324x
10、kZ 8 分 即 的零点相离间隔依次为 和 , 10 分 ()gx3T故若 y在 上至少含有 10 个零点,则 的最小值为0,()bb. 12 分 371954219 （本题满分 12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是等腰梯形， ,ABCD:60,DABFC平面 ,ABDE， （1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值 ABCDFE8解析：（1）证明：因为四边形 ABCD为等腰梯形，ABCD:， 60，所以 120又 ，所以 3， 因此 9，即 ADB，又 E，且 ， ,E平面 ，所以 平面 E 6 分 （2）解法一：由（1）知 ADB，所以 ACB，又 F平面 ABCD，因此
11、 ,CABF两两垂直以 为坐标原点，分别以 ,所在的直线为 x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系。不妨设 ，则 (0,)C， (0,1)， 31(,0)2D， (,1)，因此 3,2， ,BF设平面 BDF的一个法向量为 ()xyzm，则 0m， 0，即 ，取 1z， 得 (3,1)m302z又平面 C的法向量可以取为 (,1)n，所以 5cos,|n，而二面角 FBDC为锐二面角，故二面角 FBD的余弦值为 12 分 解法二：取 的中点 G，连结 ,C，由于 ，所以 C又 平面 A， 平面 ABD，所以CFEx yzABCDFEG9FCBD由于 G， ,FC平面 FG，所以 BD平面 FCG
12、，故 BDF所以 为二面角 B的平面角在等腰三角形 中，由于 120，因此 12，又 ，所以 ，故 25C5cos,因此 二面角 的余弦值为 20.（本题满分 13 分） 已知 为数列 的前 项和，且对任意 时，点nSnanN都在函数 的图象上.(,)naS1()2fx（1）求 通项；（2）若 ， 为数列 的前 项和，且 对123lognnbaTnb2121nxaT任意正整数 和任意 恒成立，求实数 的取值范围xRa解析：（1）由题意得， 12nnS当 时， ，求得 n11a1,3a当 时， 2nn-得 ，即 ，112nS1n是以 为首项，以 为公比的等比数列，从而 6 分 na3 3na（2
13、 ） ， 7 分 2112133loglnnnba， 8 分 5()nT1012113245(2)nTn( )345 10 分 11)22n3(1)24n问题等价于 的最小值大于或等于 ，(fxa即 ，即 ，解得 . 13 分2314a21121.（本题满分 13 分）已知两个定点 ，动点 满足直线 与 的12(,0)(,AM1A2斜率之积是定值 .4m(0)（1）求动点 的轨迹方程，并指出随 变化时方程所表示的曲线 的形状；MmC2）若 ，过点 的直线交曲线 于 两点，线段 的中点为 ，3(1,)FC,ABG的中垂线与 轴、 轴分别交于 两点记 的面积为 ， 的面积ABxy,DEGFD1SOED为 试问：是否存在直线 ，使得 ？说明理由2SAB12S解析：（1）设动点 依题意有：(,)Mxy(0)4ymx整理得 ，即为动点 的轨迹方程， 3 分214m2M时，轨迹是焦点在 轴上的双曲线；0x时，轨迹是焦点在 轴上的椭圆；(,)时，轨迹是圆；时，轨迹是焦点在 轴上的椭圆 .4y且点 不在曲线上 6 分12(,0)(,A（3 ） 当 时，曲线 的方程是 .3mC21(2)43xx假设存在直线 ，使得 ,显然直线 不能与 轴垂直，B12SAB,y所以直线 的斜率存在且不为 0，设其方程为A(1)kx
