1、空间向量1空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量 奎 屯王 新 敞新 疆注：空间的一个平移就是一个向量 奎 屯王 新 敞新 疆向量一般用有向线段表示 奎 屯王 新 敞新 疆 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 奎 屯王 新 敞新 疆空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 奎 屯王 新 敞新 疆2空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 baABO)(RP运算律：加法交换律： ab加法结合律： )()(cca数乘分配律： 3 奎 屯王 新 敞新 疆 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 a
2、平行于 b记作 a/当我们说向量 、 共线（或 /b）时，表示 a、 b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线4共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量 、 （ 0）， /的充要条件是存在实数，使 a b.推论：如果 l为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a的直线，那么对于任意一点O，点 P 在直线 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 OP其中向量 a叫做直线 l的方向向量 .5向量与平面平行：已知平面 和向量 a，作 A，如果直线 A平行于 或在 内，那么我们说向量 平行于平面 ，记作： /通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 奎 屯王 新 敞新 疆说
3、明：空间任意的两向量都是共面的 奎 屯王 新 敞新 疆6共面向量定理：如果两个向量 ,ab不共线， p与向量 ,ab共面的充要条件是存在实数 ,xy使pxayb 奎 屯王 新 敞新 疆推论：空间一点 P位于平面 MAB内的充分必要条件是存在有序实数对 ,xy，使MPAB或对空间任一点 O，有 PxMAyB 式叫做平面 的向量表达式 奎 屯王 新 敞新 疆7 奎 屯王 新 敞新 疆 空间向量基本定理：如果三个向量 ,abc不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组,xyz，使 pxyz 奎 屯王 新 敞新 疆推论：设 ,OABC是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有
4、序实数 ,xyz，使 PxyOBzC 奎 屯王 新 敞新 疆8 奎 屯王 新 敞新 疆 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 ,ab，在空间任取一点 ，作 ,AaOBb，则 A叫做向量a与 b的夹角，记作 ；且规定 0,b，显然有 ,a；若,2，则称 与 互相垂直，记作： .9向量的模：设 OAa，则有向线段 OA的长度叫做向量 a的长度或模，记作： |a.10向量的数量积： b|cos,ab已知向量 B和轴 l， e是 l上与 同方向的单位向量，作点 A在 l上的射影 ，作点 在 l上的射影 ，则 A叫做向量 B在轴 l上或在 e上的正射影. 可以证明的长度 |cos,|a11空间向量数量积的性质： （1） |cos,aeae（2） 0b（3） 2|a12空间向量数量积运算律：（1） ()()()b（2） a（交换律）（3）acac（分配律）
