1、正态分布知多少？Page 1 of 10标题：正态分布知多少？学校：海口市第一中学班级：高一（20）班姓名：甘运超、佘瑞彬、封岳滨指导教师：潘 峰论文编辑：潘 峰指导教师联系方式：13876331280提交时间：2009 年 6 月 28 日正态分布知多少？Page 2 of 10正态分布知多少？摘要：以选修 2-3 教材中对正 态分布密度函数的图象,解析式及其性质的研究为背景，本文主要利用图形计算器 HP39gs 对正态分布展开全面详细的研究,目的是为了让我们更多更好的了解正态分布,提高学习兴趣.关键词：正态分布解析式，拟 合,参数 ，,8一、背景在数学课上,老师给我们讲了高尔顿板试验,通过
2、重复试验,并增加试验次数,小球的频率分布直方图就会趋近于一条钟形曲线,这就是正态分布密度曲线,它的函数解析式为：.那么对于该函数解析式,课本上提2(),1(),(,)xxe得很少,使得我们对于它的了解甚少,因此我们通过 GC 对它进行了研究.二、研究过程(一)对正态分布密度函数解析式的拟合评价(1)准备工作：为了研究方便,我们调整了课本上高尔顿板试验的模型,将其中的数据变为如下表格中的数据：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11y 1 2 5 13 17 28 17 13 5 2 1注：x 为球槽编号,y 为小球个数.(2)打开 GC 的 APLET 函数中的统计功能 Statis
3、tics,按 2VAR（二元）数据方式输入以上数据,如: (3)选择 GC 中自带的十种拟合模型进行 2VAR 拟合,并利用 GC 中正态分布知多少？Page 3 of 10RELERR 变量对拟合的优劣进行评价,拟合情况如下：示例：先选择线性拟合,然后点击 STATS,观察 RELERR 的值由以上方法得到如下表格：拟合模型 RELERR 的近似值Linear（线性的）, ymxb0441322314049Logarithmic（对数）,lnymxb0418120656916Exponential（指数）, mxybe05392060904Power（幂曲线）, 0521404415101Q
4、uadratic（二次函数）,2yaxbc 0118687751641Cubic（立方）,32yxcd0118687751641Logistic（逻辑）, ()1bxLyae0706598740239Exponent（指数）, 05392060904Trigonometric（三角曲线）, 00279025980227正态分布知多少？Page 4 of 10sin()yabxcdUser Defined（用户界定）,我们选择标准正态分布密度函数, 21()xxe0999610074从表中我们发现：1、从 GC 用户手册上得知,统计中的 RELERR 变量的值是反映拟合相对误差的,最小的数字意味
5、着最好的拟合,但是通过标准正态分布密度函数拟合后发现,它反而是拟合效果最差的,这怎么可能呢？同时我们点击 PLOT,也没看到拟合曲线.于是,我们翻阅课本找到了答案,标准正态分布曲线是对称轴落在 y 轴上的曲线,而我们选择的数据在y 轴的右侧,当然没有拟合曲线,拟合的效果是最差的啦.通过课本我们得知,正态曲线的对称轴为 ,在该处取峰值 ,因此我们通x12过计算得到该数据的 ,并用函数16,.4,28重新拟合,得 RELERR 的近似值为 00437,拟合效果超2(6)*1.4()8xe过所有拟合模型,是最好的拟合；2、从以上表格中可以看出,除了我们自定义的正态分布函数拟合外,Trigonomet
6、ric（三角曲线）和 Quadratic（二次函数）两种方式拟合得也较好,而两种方式的函数解析式都类似于正态分布密度函数的解析式的地方,例如曲线的形状特征,从中帮助我们更好的记住正态曲线是钟形,单峰的;3、仔细观察会发现,Trigonometric（三角曲线）拟合的效果似乎优正态分布知多少？Page 5 of 10于了正态分布.Trigonometric（三角曲线）拟合的 RELERR 值为0.028,而正态分布拟合的 RELERR 值为 0.0437.奇怪了?应该是正态分布拟合的效果最好啊,怎么会是三角曲线呢?从老师那里我们得到了解答,首先数据的选择有较多人为因素,误差大;其次,正态曲线是在
7、重复试验的次数达到很多的时候趋近的一个钟形图形,试验次数少的话不明显,所以在试验次数增多的情况下,正态分布的拟合效果肯定会优于三角曲线.(二)对正态分布密度函数解析式中的参数 的理解,为了研究方便,仍然沿用以上研究一中的高尔顿板试验数据,对函数解析式中的参数 进行取值,观察 RELERR 值的变化情况.(1)固定 ,改变 的值；1示例：选择拟合模型为 User Defined（用户界定）,输入拟合函数解析式,如用上述方法得到如下表格：时, 的值1RELERR 的值正态分布知多少？Page 6 of 100 09993683742161 09983843016824 09862843260115
8、 09797535892786 09764716495517 09797535892788 0986284326011由表中发现,随着 值的增大,拟合效果变好,但只到 6 为止,过了 6又开始变差,并且发现 5 和 7 的值相同,4 和 8 的值相同,于是得到,6x即 是正态曲线的对称轴,而且发现 就是变量 x 的均值.(2)通过功能 Function 作出函数图象,我们验证了以上结论.从图中不仅可以看出图象关于 对称,还可以看出函数的峰值,即x正态分布知多少？Page 7 of 10最大值在 处取得,为 ,可以计算出参数 的值.x12(3)通过功能 Function 作出函数图象,改变参数
9、的值观察图象的变化.通过(2),(3)研究发现,当 一定时,正态曲线随着 的变化而沿x 轴平移;当 一定时,正态曲线随着 越小越“瘦高”, 越大越 “矮胖”.(三)对 原则的理解及其推广3以标准正态分布密度函数为例,由于随机变量 x 落在某个区间内的概率等于正态曲线与该区间所在边界直线所围成的曲面面积,即等于该函数解析式在该区间上的积分,用 GC 处理后情况如下:(1) (,x正态分布知多少？Page 8 of 10(2) (2,x(3) (3,x(4) (4,x(5) (5,x(6) (6,x正态分布知多少？Page 9 of 10(7) (7,x(8) (8,x结论:服从正态分布的变量几乎
10、总取值于区间 ,在此区(3,)间以外取值的概率只有 0.0027,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,所以称为 原则.而随着我们往后的尝试,进一步得3到服从正态分布的变量取值落在区间 的概率为 ,这是(8,)1否可以新命名,叫做 原则呢?8三、体会自从有惠普 39gs 图形计算器以后,每每我们遇到困难,碰到无法解决的问题时,我们就有了解决的方向,并随时随地随手就可以展开研究,在这些研究的过程,我们不仅接受了新知识,还享受了自己探究正态分布知多少？Page 10 of 10的快乐,现在我们对数学,特别是数学研究是越来越感兴趣了.只要遇到数学问题,我们就动手研究,不仅如此,我们还比过去强了,能够发现问题,发掘问题了,感谢惠普图形计算器我的学习好伙伴.
