1、1、 设 A、B 是试验 E 的两事件，问 A 与 B 相互独立，互不相容和互为对立事件三者能否同时成立？三者关系如何？2、 某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现火柴已用完。如果最初两盒中各有 n 根火柴，求这时另一盒中还有 r 根火柴的概率。3、 假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂；以概率 0.3 需进一步调试，经调试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了 n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立） ，求（1） 全部能出厂的概率；（2） 其中恰好有两件不能出厂的概率；（3） 其中至少有两件不能出
2、厂的概率。4、 设有来自三个地区的各 10 名，15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3 份，7 份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。（1） 求先抽到的一份是女生表的概率（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。5、 设随机试验 E 中某一事件 A 发生的概率为 1P0，试求证：独立地连续重复做试验 E时，不论 P 如何小，A 迟早会发生的概率为 1。6、 有两个盒子，第一个盒中装有 2 个红球，1 个黑球，第二个盒中装有 2 个红球，2 个黑球。现从这两个盒中各任取一球放在一起，再从中任取一球，问：（1）这个球是红球的概率；（2）
3、若发现这球是红球，问第一个盒中取出的球是红球的概率。7、 甲盒中装有 4 个红球、2 个白球，乙盒中装有 2 个红球、4 个白球，掷一次均匀的硬币，若出现正面，则从甲盒中任取一球；若出现背面，则从乙盒中任取一球，设每次取出的球都放回原盒，试求：（1） 如果前二次都取得红球，求第三次也取得红球的概率；（2） 如果前两次都取得红球，求球都是甲盒的球的概率8、甲、乙、丙三人进行比赛，规定甲、乙两人先比，胜者与丙比，依此循环，直到一人连胜两次为止，此人即为冠军，假定比赛双方取胜的概率都是 1/2，求各人得冠军的概率。1、 解：一般不能同时成立，相互独立、互不相容和互为对立事件是概率论中三个不同的非常重
4、要的概念：A 与 B 互不相容 （1）AA 与 B 互为对立事件 且 （2）BA 与 B 相互独立 （3）)()(P关系（i）比较（1）与（2）可见，若 A 与 B 互为对立事件，则 A 与 B 一定互不相容，反之，却不一定成立。（ii）当 P（A）0,且 P(B)0,由(3)知,P(AB)0,当然 ,因此当 P(A)0 且 P(B)0时,互不相容一定不相互独立,反之,若相互独立,则一定相容,即当 P(A)0 且 P(B)0 时,相互独立与互不相容不能同时成立,只有当 P(A)与 P(B)之中至少有一个为 0 时,才有可能既互不相容又相互独立,设 P(A)=0,B 为任意一事件,则有 P(AB
5、)=0=P(A)P(B),即 A 事件与任一事件 B都是独立的,但是有 P(AB)=0 是不能推出 。AB（iii ）互为对立事件与相互独立的关系和（ii）相同，互为对立事件与相互独立一般不能同时成立。2、解：不妨设甲盒已空而乙盒还有 r 根火柴，因为是随机抽取，可知这时必已取过 2n-r 次，每次取甲、乙盒的概率均为 1/2，而在 2n-r 次中必定是 n 次取了甲盒的，n-r 次取了乙盒的。最后第 2n-r+1 次必定是取甲盒的，否则不知其为空盒，故概率为=rnnrCp)21(21rnC2)1(同理，最后乙盒空而甲盒剩 r 根的概率为 =rnnrCp)21(21rnC2)1(故所求概率 为
6、 rnrnrp221)1(3、 解：对于新生产的每台仪器，引进事件A=仪器需进一步调试，B=仪器能出场则 =仪器能直接出场 ， =仪器经调试能出厂AAB由题意知， B8.0)(,3.0)(P24.083.)()( ABPA9.7故 694.01)()(BP现将所生产的几台仪器能否出厂的检验过程看成 n 重贝努里试验，一台仪器不能出厂的概率为 ，因此06.p（1）全部能出厂的概率： nnnnCP94.0)6.1()0.)(（2）其中恰好有两件不能出厂的概率： 2222 94.06.).().)2( nnnn C（3）其中至少有两件不能出厂的概率：112 94.0694.0)1(01)( nnnn
7、k PP4、 解： =报名表是第 i 区考生的 （i=1，2，3）iH=第 j 次抽到的报名表是男生表 ， （j=1，2）jA则有 ，31)()()(21HPP,071 ,5821A,250)(31HAP（1） 97)()(131 iiiAp（2）由全概率公式,07)(12HP,158)(2P,250)(32HAP，39A 38147245)(321 )()()(31212121 iiii iiHAPAP6120)51807(35、 证：以 表示事件“A 在第第 k 次试验中发生” ，则 ，在前 n 次试验中 A k pAPk)(都不发生的概率为 nnnAPP)1()()(2121 于是在前
8、n 次独立试验中，A 至少发生一次的概率为： )(,1)()()()( 2121 npAPnn即，独立地连续重复做试验 E 时，不论 P 如何小，A 迟早会发生的概率为 1。6、解：（1）令 A=取得一个红球从第 i 个盒中取出一个红球，i=1，2iB于是 ，314)(1P1)(2BAP，23B1，641)(2P2)(BAP，31B01由全概率公式 )()()( 212121BPAPA)(21A+ (B= 127406231（2） )()(1APA76123)()()21212121APBBP7、解：设 =第 i 次取得红球 （i=1，2，3） ， =第 j 次掷硬币出现正面iAjB（j=1，
9、2，3）易见 即为“第 j 次从甲盒中抽球 ”jB依题意知（1）求 （2）?,)(13AP?)(21ABPa) 如将“掷一次硬币，再由硬币出现的结果从相应的盒中抽球”视作一次试验，那么每次试验是可重复的，而且是相互独立的，所以它们的结果 是相互独321,A立的，且，故)3,21(),(iAPi213由全概率公式可得)()()( 11111 BAPBAP= 2642（2）由条件概率公式的定义知 )()(2121APBBP由于两次试验是独立的、重复的，故 与 相互独立，且12BA)(2BAP364)()(111 B91)3()( 22121 BAPBAP4(2941)(218、 设在每局比赛中 A 表示甲胜， B 表示乙胜，C 表示丙胜则甲胜为： ACBBCAABC因 A,B,C 相互独立, 故 P甲得冠军= 1087542 2211= )()( 748 = 15212343同理 P乙得冠军 145P丙得冠军 7
