1、概率论与数理统计 试卷 A 卷 第 1 页 共 4 页第一部分 基本题一、选择题（共 6小题，每小题 5分，满分 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） （每道选择题选对满分，选错 0分）1. 事件表达式 A B 的意思是 ( )(A) 事件 A 与事件 B 同时发生 (B) 事件 A 发生但事件 B 不发生(C) 事件 B 发生但事件 A 不发生 (D) 事件 A 与事件 B 至少有一件发生答：选 D，根据 A B 的定义可知。2. 假设事件 A 与事件 B 互为对立，则事件 A B( )(A) 是不可能事件 (B) 是可能事件(C)
2、发生的概率为 1 (D) 是必然事件答：选 A，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。3. 已知随机变量 X,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则 X2Y 2服从 ( )(A) 自由度为 1 的 2分布 (B) 自由度为 2 的 2分布(C) 自由度为 1 的 F 分布 (D) 自由度为 2 的 F 分布答：选 B，因为 n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为 n 的 2分布。4. 已知随机变量 X,Y 相互独立，XN(2,4),YN(2,1), 则( )(A) X+YP(4) (B) X+YU(2,4) (C) X+YN(0,5) (D) X+YN(0,3)答：选
3、C，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有 X+YN(0,5)。5. 样本(X 1,X2,X3)取自总体 X，E(X)= , D(X)=2, 则有( ) (A) X1+X2+X3是 的无偏估计 (B) 是 的无偏估计123(C) 是 2的无偏估计 (D) 是 2的无偏估计123X答：选 B，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。6. 随机变量 X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则 X 的数学期望 E(X)的值为( )(A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4
4、答：选 C，因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。把答案填在题中横线上）1. 已知 P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则 P(A B)= _答：填 0.18, 由乘法公式 P(A B)=P(A)P(B|A)=0.6 0.3=0.18。2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是 0.4，则飞机被击中的概率为_答：填 0.784，是因为三人都不中的概率为 0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是 10.216=0.784。3. 一个袋内有 5 个红球，3 个白球，2 个黑球，任取 3 个
5、球恰为一红、一白、一黑的概率为_答：填 0.25 或 ，由古典概型计算得所求概率为 。14 1052.54C4. 已知连续型随机变量 则 PX 1.5=_,()20,.xXf其答：填 0.875，因 PX 1.5 。1.5()d875fx5. 假设 XB(5, 0.5)(二项分布), YN(2, 36), 则 E(X+Y)=_答：填 4.5，因 E(X)=5 0.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.5概率论与数理统计 试卷 A 卷 第 2 页 共 4 页6. 一种动物的体重 X 是一随机变量，设 E(X)=33, D(X)=4，10 个这种动物的平均
6、体重记作 Y，则D(Y)_答：填 0.4，因为总体 X 的方差为 4，10 个样本的样本均值的方差是总体方差的 1/10。三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。 （10 分）解：设从甲袋取到白球的事件为 A，从乙袋取到白球的事件为 B，则根据全概率公式有()(|)(|)2150.41732PBAPB四、已知随机变量 X 服从在区间(0,1)上的均匀分布， Y2X +1，求 Y 的概率密度函数。 （10 分）解：已知 X 的概率密度函数为 1,0,().Xxfx其Y 的分布函数 FY(y)为
7、1()212XyyyPyPF因此 Y 的概率密度函数为 ,3,()20.XyyfyFf其五、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示：YX 1 1 21 0.1 0.2 0.32 0.2 0.1 0.1(1) 试求 X 和 Y 的边缘分布率(2) 试求 E(X),E(Y),D(X),D(Y),及 X 与 Y 的相关系数 XY(满分 10 分)解：(1)将联合分布表每行相加得 X 的边缘分布率如下表：X 1 2p 0.6 0.4将联合分布表每列相加得 Y 的边缘分布率如下表：Y 1 1 2p 0.3 0.3 0.4(2) E(X)1 0.6+2 0.4=0.2, E(X2)=1
8、0.6+4 0.4=2.2,D(X)=E(X2)E(X)2=2.20.04=2.16E(Y)1 0.3+1 0.3+2 0.4=0.8, E(Y2)=1 0.3+1 0.3+4 0.4=2.2D(Y)= E(Y2)E(Y)2=2.20.64=1.56E(XY)=(1) (1) 0.1+(1) 1 0.2+(1) 2 0.3+2 (1) 0.2+2 1 0.1+2 2 0.1=0.10.20.60.4+0.2+0.40.5cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)0.50.160.66概率论与数理统计 试卷 A 卷 第 3 页 共 4 页cov(,)0.6.60.31825XYD六、设某种电子
9、管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取 15 个进行检验，算出平均使用寿命为1950 小时，样本标准差 s 为 300 小时，以 95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 (满分 10 分)解：已知样本均值 , 样本标准差 s=300, 自由度为 151=14, 查 t 分布表得 t0.025(14)=2.1448, 1950x算出 , 因此平均使用寿命的置信区间为 ，即(1784, 2116)。0.25.483(1)6.17st 16.x附：标准正态分布函数表21()edux(x) 0.9 0.95 0.975 0.99x 1.281551 1.644853 1.959961
10、2.326342t 分布表 Pt(n)tn)=N 0.1 0.05 0.02514 1.3450 1.7613 2.144815 1.3406 1.7531 2.131516 1.3368 1.7459 2.1199第二部分 附加题附加题 1 设总体 X 的概率密度为 (1),01,(;)xfx其其中 1 为未知参数，又设 x1,x2, ,xn是 X 的一组样本观测值，求参数 的最大似然估计值。 （满分 15 分）解：似然函数 1()niLx1ll()ldnn()niiiix令 ，解出 的最大似然估计值为l0L1lniix概率论与数理统计 试卷 A 卷 第 4 页 共 4 页附加题 2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 （满分 15 分）YX y1 y2 y3 PX=xi= ipx1 8x2PY=yj= jp61解：已知 X 与 Y 独立，则pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi) P(Y=yj), 经简单四则运算，可得YX y1 y2 y3 PX=xi= ipx1 4814x2 3PY=yj= jp61231
