1、存在交易成本时的无套利定价原理,当存在这些交易成本时，上面的无套利定价原理的几个推论就可能不再适用了。因为存在交易成本，那么所构造的套利策略也就不一定能盈利。因为，通过套利策略获得的盈利可能还不够支付交易成本。所以，无套利定价原理这时候就不能给出金融产品的确切价格，但可以给出一个产品的价格区间，或者说价格的上限和下限。,例子5,假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。假设购买债券不需要费用和不考虑违约情况。但是假设卖空1份债券需要支付1元的费用，并且出售债券也需要支付1元的费用。如果债券A的当前价格为98元
2、。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？ （2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？,按照无套利定价原理，在没有交易成本时，B的合理价格为98元。不管大于或小于98元，都存在套利机会。如果卖空和出售债券需要费用，那么是否价格不等于98元，就存在套利呢？ 比如，债券B的当前价格为97.5元，按照前面的套利思路为：（1）卖空债券A，获得98-1=97元（由于卖空A需要1元的费用）；（2）虽然债券B只有97.5元，但是97元还不够用于买进债券B；,因此，在卖空和出售债券需要1元费用情况下，债券B的合理价格区间为：97，99。当债券B低于下限97元时，可以通过
3、卖空债券A，买进债券B赢利；当债券B高于上限99元时，可以通过卖空债券B，买进债券A赢利。因为债券B的当前价格是97.5元，落在此区间内，将无法使用套利策略获得盈利。,虽然如果债券B的价格落在97，99内，它们将无法获得套利机会，但是实际上，当债券B的价格小于债券A的价格，投资者会倾向于购买债券B；反之则购买债券A。因此，事实上，债券B会接近于债券A的价格。,案例6,假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。假设不考虑违约情况。但是假设卖空1份债券需要支付1元的费用，出售债券也需要支付1元的费用，买入1份债券
4、需要0.5元费用。如果债券A的当前价格为98元。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？ （2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？,因此，债券B的市场价格区间为：96.5，99.5，在此区间范围内不存在赢利的套利策略。当债券B的当前价格只有97.5元，不存在套利机会。但是实际上，当债券B的价格小于债券A的价格，投资者会倾向于购买债券B；反之则购买债券A。因此，事实上，债券B会接近于债券A的价格。,对于存在交易成本的无套利定价原理总结如下：（1）存在交易成本时，无套利定价原理可能无法给出确切的价格，但可以给出价格区间。存在交易成本时的价格区间为：先不考虑
5、交易成本，根据无套利定价原理计算出理论价格，然后再根据此价格减去最小总交易成本确定为下限价格，此价格加上最小总交易成本为上限价格。,四.不确定状态下无套利定价原理例子,在上一节的债券案例中，未来的损益（现金流）都是在当前就确定的，但实际市场中很多产品的未来损益是不确定的，要根据未来的事件而确定。比如，一个股票看涨期权，当到期日股票价格大于执行价格时，这个期权可获得正的损益，为到期日股票价格减去执行价格；但是，如果到期日股票价格小于等于执行价格，则这个期权到期日损益为零，即没有价值。因此，期权的损益是不确定的，它依赖于未来的股票价格。下面讨论这种未来损益不确定情况下的无套利定价原理。,1、同损益
6、同价格（例子7）,假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元，1年后的市场价格会出现两种可能的状态：在状态1时证券A价格上升至105元，在状态2时证券A价格下跌至95元。同样，也有一证券B，它在1年后的损益为，在状态1时上升至105，在状态2时下跌至95元。另外，假设不考虑交易成本。问题：（1）证券B的合理价格为多少呢？ （2）如果B的价格为99元，是否存在套利？如果有，如何套利？,案例7与前面几个案例的不同地方在于，前面案例中的资产为债券，其未来的损益为确定的，即在某一时间时只有一种状态，以概率100%发生。但本案例中的资产为风险证券，其未来的损益出现两种可能，可能上涨，也可能下跌，即未来
7、的状态不确定。但根据无套利定价原理，只要两种证券的损益完全一样，那么它们的价格也会一样。所以，证券B的合理价格也应该为100元。因为证券B的价格为99元，因此存在套利机会。只要卖空证券A，买进证券B，就可实现套利1元。,案例8中证券B的损益与证券A不同，两个证券的损益状态如图4所示。现在考虑如何利用证券A和无风险债券来构建一个与证券B损益相同的组合,构建一个组合：x份证券A和y份的借贷（y大于零为借出钱，y小于零为借入钱）。要使得组合的损益与B的损益完全相同，则：,解得：x1，y 15。因此，买人1份证券A，再借出现金15份的组合的损益与证券B的损益完全相同，所以证券B的价格等于组合的价格：即
8、1100151115元,当证券B的现在价格为110元，存在套利机会,构造一个套利策略：买进证券B，再卖空上面的等损益组合，1份证券A和15份现金。所以整个套利组合为：买进证券B，卖空证券A，借入资金15。买进证券B的成本为110元，卖空证券A可得到100元，借入资金15所以还剩下5，这部分实际上就是套利策略的盈利。因为期末的现金流为0。这个组合的期初和期末现金流可见表2-3。,该无风险组合的现值应为：由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市价为10元，因此：,3、动态组合复制定价（案例9）,把案例8中的市场未来状态，从两种状态扩展到3种状态。风险证券A在1年后的未来
9、损益为，状态1时110.25，状态2时99.75，状态3时90.25。同样，也有一证券B，它在1年后三种状态下的未来损益分别为125，112.5和109如图2-5。另外，假设借贷资金的年利率为5.06，半年利率为2.5%，不考虑交易成本。问题：（1）B的合理价格为多少呢？ （2）如果B的价格为110元，是否存在套利？如果有，如何套利？,而上述方程却无解。为什么呢？因为当损益存在三种状态时，仅仅依靠两种证券的组合是无法复制出任意一种三状态的证券的。这在金融学中称为“不完全市场”。,110.25x 1.0506y 12599.75x 1.0506y 112.590.25x 1.0506y 109,
10、但在1954年， Arrow和Debreu就证明在某些条件下，随着时间而调整组合的动态组合策略可复制出市场中不存在的证券。,下面我们看一下如何通过证券A和资金借贷的动态组合复制出证券B。所谓动态指的是变化，所以我们把1年的持有期拆成两个半年，这样在半年后就可调整组合。假设证券A在半年后的损益为两种状态，分别为105元和95元。但证券B在半年后两种状态下的损益值事先不知道。证券A和B的损益如图2-6所示，而资金借贷的损益如图2-7所示。,证券A和B的两期三状态损益图,动态组合复制过程示意图,无套利定价方法的主要特征：,无套利定价原则首先要求套利活动在无风险的状态下进行。无套利定价的关键技术是所谓
11、“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。 无风险的套利活动从即时现金流看是零投资组合 （自融资组合）。,如何将无套利定价法运用到期权定价中 ？,Case：假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。,为了找出该期权的价值， 可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。为了使该组合在期权到期时无风险，必须满足下式： 11 0.5=9=0.25,该无风险组合的现值应为：由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市价为10元，因此：,
