1、Comment xxj1: 居中、黑体、三号、加粗Comment xxj2: 顶格、仿宋、四号、加粗、摘” “要”之间空 2个字符） 。摘要的内容要简明扼要地概括全文的工作。Comment xxj3: 摘要内容为仿宋、小 4号Comment xxj4: 顶格、仿宋、四号、加粗Comment xxj5: 居中三号加粗，英文一律采用 Times New Roman字体Comment xxj6: 居中、小四号Comment xxj7: 顶格、四号、加粗Comment xxj8: 居中、小四号Comment xxj9: Key words（顶格、四号、加粗） ，(内容为小 4号。分号是中文状态下分号，
2、首写字母大写）Comment xxj10: 一级标题、黑体、加粗、四号。其余标题一律用仿宋_GB2312、小四，加粗。1浅析系统函数对离散 LTI系统特性的分析空一行傅绪超，物理与电子信息学院空一行摘 要：在离散系统中，变换域的主要分析方法就是 Z变化分析法。利用 Z变换可以分析信号与系统的各种特性，包括系统的因果性和稳定性，利用系统的零极点分布分析系统的频率特性，最小相位系统以及全通系统。但是用人工计算的方法实现高阶离散 LTI系统的特性分析是十分困难的，计算量非常大，难以实现。本文主要利用 MATLAB分析信号与系统的几种特性及其如何实现仿真等。关键词：系统函数；Z 变化； MATLAB；
3、 空一行 Analyses system function characteristics of discrete-time LTI systems analysis空一行Fu Xuchao, Physics and Electronic Information College空一行Abstract: In a discrete system, the main analysis method of transform domain is Z change analysis. Z transformation can be used to analyze various characteris
4、tics of signals and systems, including causality and stability of the system, using the frequency characteristic of the system analysis of the zero pole distribution system, the minimum phase system and all-pass system. But the use of manual calculation method to achieve high order discrete characte
5、ristic analysis of LTI system is very difficult, very large amount of calculation and difficult to achieve. In this paper, using MATLAB simulation software analysis several characteristics and how to realize the simulation of signal and system, etc.Key words: System functions ；Z transformation ；MATL
6、AB; 0引言信号与系统的分析在通信与信息系统、信号处理、自动控制和检测技术等领域都有着十分重要的作用。信号与系统的分析一般先抽象为数学模型，然后讨Comment xxj11: 从引言部分开始，汉字一律用仿宋_GB2312、小四。所有英文、数字一律为 Times New Roman，小四。2论系统本身的初始状态和稳定程度.随着科学技术的发展，对通信系统的要求越来越高，越来越精密，通信信号的形式也越来越复杂。但是系 统函数却不会受到这些以因素变化的影响，它反应的是系统特定的特性。本文介绍了系统函数对信号和系统的分析应用，系统函数通常用于单输入， 单输出的模拟电路的分析，其通过系统的输入量和输出量
7、之间的关系来描述系统固有的特性，这就是系统函数的基本思想。当一个系统内部结构不清楚，或者根本无法弄清楚它的内部结构时，对系统的输入、输出量进行动态观测以建立系统的数学模型。本文主要利用Z变换和 MATLAB仿真软件分析信号与系统的各种特性，包括系统的因果性和稳定性，利用系统函数的零极点分布分析系统的频率特性，最小相位系统以及全通系统的特点等。为了分析系统函数对离散 LTI系统的特性分析，由于高阶离散 LTI分析人工的计算量太大，必须借助 计算机软件 MATLAB来实现仿真和分析。而且离散时间信号的高精度、可靠性好、便于集成等优点在很多 领域得以运用，通 过系统函数和计算机软件仿真分析系统特性成
8、了掌握离散 LTI信号系统的重要基本的内容。本文主要讨论和求解系 统函数对离散 LTI信号响应的几种方法以及用MATLAB软件的实现。MATLAB 是由美国 mathworks公司发布的主要面对科学计算、可 视化以及交互式程序 设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩 阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为 科学研究、工程 设计以及必 须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如 C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。Comment xxj1
9、2: 一级标题、黑体、加粗、四号Comment xxj13: 二级标题、仿宋_GB2312、小四，加粗Comment xxj14: 所有的参考文献必须在正文中按顺序引用。这里的右上标1表示这里参考了文献1。右上标的设置：格式字体效果上标。所有的文献，必须要在正文中引用的地方进行标注。31系统函数和离散系统1.1系统函数的定义离散信号与系统中，变换域的分析方法有 Z变化法和傅里叶变化法。利用Z变换 可以分析信号与系统的复 频域特性，而和傅里叶变化法可以分析系统的频域特性。我们知道，用单位脉冲响 应 h(n)可以表示线性时不变离散系统，这时 y(n)=x(n)*h(n)两边取 Z变换:H(z)=Y
10、(z)/X(z),定义为系 统函数。它是单位脉冲响应的Z变换 。单位圆上的系统函数 就是系统的频率响 应。所以可以用单位脉冲z=ejw响应的 Z变换来描述线性时不变 离散系统。因 h(n)与 H(z)是 Z的变换对， H(z)称为离散系统的系统函数.系统函数 H(z)还可以用差分方程来定义，离散系统的数学模型一般为 1:1 01().()().()NMynaynbxnbx对上式两边进行 Z变换，在零状 态情况下，有 1:Comment xxj15: 重要的公式需要如”（1-1） ”编号说明，且所有编号要右端对齐Comment xxj16: 公式皆居中放置Comment xxj17: 所有公式要
11、用公式编辑器编写。菜单插入对象microsoft 公式41 10().().)NMYzazXbz（1-1）NMa.)(10比较上面两式可得 2：（1-2）NjjiiMzpKzabzXYH1110 )(.)(上式说明离散系统的系统函数 H(z)等于零状态响应的输出信号的系统函数Y(z)与激励信号的系统函数函数 X(z)之比值.其分子与分母都是 的多项式，故1z可以分解成因式.式中 K为常数， 是 H(z)的零点，而 是 H(z)的极点。他们取izjp决于差分方程的系数。与拉氏变换类似， H(z)的极点决定了 h(n)的性质，而零点只影响 h(n)的幅 值和相位。1.2系统函数的零极点定义：极点(
12、Pole) 是传输函数分母 为 0 时 z 的取 值；零点(Zero)是传输函数分子为 0 时 z 的取值。 传输函数 H(z) 的一般表示为分子多项式除以分母多项式的有理函数 3：（1-3）10.()MNbzbzYHzXaa负指数使得求零极点很困难，因此把 H(z)表示成分子分母的指数都为正，从数学角度看，这样并没有改 变传输函数。但 这并不意味着计算零极点一定要表示成正指数，只是这样使得求根 过程更加直接。分子分母因式分解，得 ：Comment xxj18: 单个符号上下标输入，可以：菜单格式文字上标或下标。5（1-4）11()()MiiNjjzHzKp此处 K为系统的增益， 是系统的零点
13、， 是系统的极点。因此,H(z)函数可i j在 Z域中用零极点图的形式来描述。 这个事实在设计简单的滤波器时很重要，只要正确地配置零极点就可达到目的。零极点中，极点对数字滤波器的特性影响最大，零点可以用来调整极点所引起的滤波器特性， 调 整的大小取决于它与极点的相对位置。分别对负指数的有理函数 H(z)的分子分母多项式使用 MATLAB的 roots函数，就可求得其零极点。(前面讨论 roots 的逆向函数 poly，用它可通 过其根求得多项式的系数。) 也可利用 DSP Toolsbox 中的 zplane(b,a) 函数，由给定的分子行向量 b 和分母行向量 a 绘制出系统的零极点图，同前
14、面一样，用符号“ o ”表示零点“x” 表示极点， 图中还给出用作参考的 单位圆。1.3离散系统离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统，它有多种类型，其中线性时不变离散时间系统是最基本、最重要的系统。 如 果 离 散 系 统 中 乘 法 器 的 系数 不 随 时 间 变 化 ，这 种 系 统 便 称 为 时 不 变 离 散 系 统 。线 性 时 不 变 系 统 ：既 满 足 叠 加 原 理 又 具 有 时 不 变 特 性 ，它 可 以 用 单 位 脉冲 响 应 来 表 示 。单 位 脉 冲 响 应 是 输 入 端 为 单 位 脉 冲 序 列 时 的 系 统 输 出 ，一 般表 示 为 h
15、(n)，即 4（1-5）h(n)=T任 一 输 入 序 列 x(n)的 相 应 ；由 于 系 统 是 线 性 的 ，所yx(n-k)以 上 式 可 以 写 成 Comment xxj19: 框图自己画；不清楚的图，一定要自己绘制清楚。图中字体与正文相当或小一号。Comment xxj20: 图的说明如 1.1, 1.2等6（1-6）y(n)=T-k又 由 于 系 统 是 时 不 变 的 ，即 有 ,从 而 得()hn-； （1-7）()h-x图 1.1 离散 LTI系统的线性2系统函数对离散系统稳定性和因果性的分析2.1稳定性系统的稳定性是系统实现其功能的前提。因此，对系统进行稳定性判断就显得
16、十分必要，根据连续时间 和离散时间 LTI系统的 和 来判定 LTI系统是thn否稳定的条件分别为 5:（2-1）|dth和它和连续离散时间傅里叶变换的狄礼赫利条件 1是等价的，故对连续时间和离散时间 LTI系统，根据其频率响应 来判定稳定系统的条件是具H和有有界的幅频响应，即 3:（2-2），或， |H按此条件，若频率响应中成分包含了冲激成分，例如，积分器和累加器的频率响应，系 统就不稳定。另外，微分器的 频率响应 也不满足上式，故它jH也不稳定；而离散时间差分器的幅频响应为 ，它满足上式，所)2/sin(|Comment xxj21: 引用2 ，表示这里参考了文献2Comment xxj2
17、2: 引用3 ， ，表示这里参考了文献37以是稳定的 LTI系统。根据拉普拉斯变换与傅里叶变换和 Z变换之间的关系，在复频域上，LTI 系统是否稳定的依据分别为：若一个连续时间和离散时间 LTI系统的系统函数 H(s)和 H(z)的收敛域分别包含 S平面的虚轴好（包括无 穷远点）和 Z平面的单位圆，则该 LTI系统是稳定的，否则就是不稳定。2.2因果性在时域中，因果的连续时间和离散时间 LTI系统，其单位冲激响应满足：和 （2-3）0,th0,n根据拉普拉斯变换和 Z变换的性质，连续时间和离散时间因果 LTI系统函数收敛域分别是：S 平面上某条平行于虚 轴的直线右 侧的半个有限 S平面（可能不
18、包括无穷远点），和 Z平面上某个 圆周外部的圆外区域，包括无穷远点，即表示为 2:，可能包括无穷远点和 。)(Re0sH 0),|(0rzRH对于因果时间函数和因果序列，它们傅里叶变换的实部和虚部分别满足各自的希尔伯特变换关系。故在 频域 和 上，因果性没有简单和直观的反映，但鉴于傅里叶变换和双边拉普拉斯变换或 Z变换之间 的关系， 总可以有 LTI系统的频率响应转换到复频域中，按照系统函数收敛域特性，判别 LTI系统是否因果。综合稳定性和因果性两方面的判据，连续时间和离散时间 LTI系统既是因果又是稳定的系统条件为：系统的所有极点必须位于虚轴左边半个有限 S平面上和 Z平面的单位圆内部。 换
19、句话说，在虚 轴及其右侧半个 S平面上（包括无穷远点）和 Z平面单位圆及其外部直至无穷远点处，没有系统函数的一个极点。2.3 通过系统函数零极点分析系统的因果稳定性由前面的分析，可得若系统因果稳定， 则 的极点都在单位圆的内部。zH换言之，一个因果稳定系统的系统函数 必须在从单位圆到 的整个 z域内收敛，即 3:（2-4）|1z也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。设系统由下面的差分方程描述：Comment xxj23: 引用4 ， ，表示这里参考了文献48y(n)-1.121nxyny1)求系 统的系统函数 和零极点；zH2)限定系 统是稳定的，写出 的收敛域，并求出其单位脉冲响应 。n
20、h解 : 将上式进行 z变换，得到121nxynyzYzX由 求得零点112H0z极点：令 =0，求出极点2z251,由于限定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域 4，即|21z211zzHFnn，c内只有极点 ，只需求 点的留数，0n1z1nzsnh5,Re，c内只有两个极点， 和 z=0，因为 z=0是一个 n阶极点，改成求园外极点1z留数，园外极点只有一个 ,那么：2nzFsnh251,Re2最后得到 515nuun由此可知此系统是不稳定的。以下为利用MATLAB计算 的零极点，并分析系统的稳定性。已知离散zH9因果系统的系统函数为： 用MATLAB 绘制其321.05.0zz
21、zH零极点图。解：已知 ，若要获得系统的零极点，可直接 应用zplane函数，下面给出zMATLAB程序：b=0 1 2 1;a=1 -0.5 -0.005 0.3;figure(1)zplane(b,a); %画零极点分布和单位圆hold onh=impz(b,a); %求单位序列响应 nhfigure(2)stem(h); %画单位序列响应图-1 -0.5 0 0.5 1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812Real PartImaginaryPart图 2.1 系统的零极点分布图由图 2.1可以看出，系统的极点全部分布在单位圆内，故而该系统是因果稳定的。3 利
22、用系统函数零极点图分析系统的频率响应Comment xxj24: 引用5 ， ，表示这里参考了文献5Comment xxj25: 引用6 ，表示这里参考了文献6103.1理论分析线性时不变离散系统用差分方程表示，考虑 N阶差分方程 5:（3-1）MrNkinxbiya00不考虑瞬态响应（初始状态），两边取 z变换，：，于是MrNk zXbzYa00 NkMrzbXYH0上式也可以因式分解的形式来表示（3-2）NkMrrzdcAz11)(式中 、 是 在 z平面上的零点和极点。icidH除了 A为比例常数，整个系 统函数可由它的全部零极点来唯一确定。用零极点来表示系统的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的集合方法。一个 N阶的系统 函数可用它的零极点表示 为 6：（3-3）NkkMrrkMrr dzcAzdczH1)(11)()若 包含的 ROC包含 单位圆， 则系统的频率响应为 4：（3-4）NkkjMrrjjj decAe1)()在 z平面上， 可用一根由零点 指向单位圆 上 点的向量 来表示，ijcrcjrc而 可用极点 指向单位圆上 的向量 表示。kjdekjek
