1、1第 9 讲 函数的奇偶性、周期性【考点解读】1. 理解函数奇偶性的概念，掌握函数奇偶性的判定方法及图象特征，并能运用这些知识分析、解决问题。2. 理解函数周期性与对称性的概念，会用定义验证函数的周期性。3. 能综合运用函数的奇偶性、周期性及对称性解题。【知识扫描】1. 奇函数、偶函数的概念函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，一般地,如果对于函数 ()fx的定义域内任意一个 x，都有 f（-x）=f（x），那么函数 ()fx就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数()f的定义域内任意一个 x，都有 f（-x）=-f（x），那么函数 fx就叫做奇函数. 定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)
2、为奇函数或偶函数的必要非充分条件。2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: （1）考查定义域是否关于原点对称；（2）考查表达式 ()fx是否等于 ()fx或- f：若 ()fx=- ，则 为奇函数；若 = f，则 ()fx为偶函数；若 ()fx= 且 = ,则 ()fx既是奇函数又是偶函数；若 ）- f且 ()f ，则 既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. 为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: = =0 =1( 0). ()fx()f()fx(f()fx()f3.奇、偶函数的性质（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数
3、的图象关于 y 轴对称.（2）若一个奇函数 在 处有定义，那么 ；如果一个函数既是奇函数又()fx0()0fx2是偶数，则其值域为 。0（3）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。（4）在定义域的公共部分内，两个奇（偶）函数之和、差为奇（偶）函数；两奇（偶）函数之积（商）为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数。 （注：取商时，应使分母不为 0）（5）复合函数的奇偶性由两个函数 ， 复合而成的复合函数，只要其中有一个是偶函数，其复()yfu()gx合函数 就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，其复合函数 是奇gx ()yfgx函数。4. 周期函数的
4、定义对于函数 ，如果存在一个常数非零 ，使得当 取定义域内的每一个值时，)(xfyTx都成立，那么 是周期函数。 是它的周期。()fxT)(xf注意：必须对定义域内的任意自变量恒成立。5.判断函数是周期函数的常见结论：（ ）0a若函数 满足对定义域内任一实数 ，()yfxx 以 为周期。fa()yf2T 以 为周期。1()()fxfxfa 以 为周期。()()faf)(f4T6.函数对称性的性质：（1） 的图象关于直线 对称。()()(2)()fxffxaxyfx或 xa（2）一般地，若 ，则函数 的对称轴方程是 。ab2b（3） 的图象关于点 成中心对称。()()()fxfxyfx(,0)a
5、（4）函数 关于 及 对称 ，则 以 为周期。yyfx()Tba3【考计点拨】牛刀小试：1 】已知函数 是奇函数，则实数 a=_。2()fxa【答案】 0【命题意图】本题主要考查奇函数的概念。【解析】由奇函数定义有 得222()()0axaxx，故()0fxf0a。2.若 是 上周期为 5 的奇函数，且满足 ，则 （ ）()fxR(1),)ff(3)4fA1 B.1 C.2 D.2【答案】A【解析】 = + =(3)4f()ff(2)f13. (湖南省长沙一中 2012 届高三上学期月考)定义在 R 上的函数 ()yfx是减函数，且函数 (1yfx的图象关于（1，0）成中心对称， 若 ,st满
6、足不等式22)sft，则当 14s时， 的取值范围是4函数 1cosln2xy与 lnta2xy是同一函数；4若函数 yfx与 ygx的图像关于直线 yx对称，则函数2f与 1的图像也关于直线 对称；若奇函数 x对定义域内任意 x 都有 (2)ffx，则 f为周期函数。其中真命题是A. B. C. D. 【答案】C【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，错误；排除 A、B，验证, 2()(2)fxfxf,又通过奇函数得 ()fxf，所以 f（x）是周期为 2 的周期函数，选择 C。若奇函数 ()f对定义域内任意 都有 ()fx,则 (f为周期函数其中真命题是A B
7、C D【答案】C【解析】考虑定义域不同，错误；排除 A、B，验证, 2()(2)fxfxf,又通过奇函数得 ()fxf，所以 f（x）是周期为2 的周期函数，选择 C。5. 是定义在 上的以 3 为周期的奇函数,且 =0,则方程 在区间(0,6)内()fR(2)f()0f解的个数是_个.【答案】7【解析】因为 =0, , =0, =0, 是定义在 上的奇函数,故(2)fT(1)f(5)f()fxR, , 取(0),10f2340f3()fx得 ,故 ,故方程 在区间(0,6).5x(.).5),(.)0ff(.)f 0f内解的个数是 7 个.考点一 函数的奇偶性及其应用例 1：判断下列函数的奇
8、偶性(1) (2) 1()xfx21()xf(3) （4） =2(0)()fx()fxcosin解析：判断函数的奇偶性，首先要求出函数的定义域，看定义域是否关于原点对称.然后利5用定义判断，寻找 和 的关系.fxf由 可得 ，所以函数的定义域是 定义域关于原点不对称，故1011,该函数是非奇非偶函数. ， 且 ，定义域关于原点对称，原函数可2-x ,201x0化简为 ， 由 =1xf 21xf2fx所以函数 为奇函数.f 因为 f(x)=22 (0)() (0)xx=f(x) ，故 f(x)为奇函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （4）对于三角形 1+sinx+cosx，当
9、 x= 时，其值为 2，当 x=- 时，其值为零，由此 1 可2知原函数 = 的定义域中包含 x= ，但是不包含 x=- ，所以定义域()fxcosin 2不关于原点对称，所以 是非奇偶的函数。()f规律总结：判断函数奇偶性是时，学生往往忽略求函数的定义域，导致错误；再者，不会合理变形，导致判断错误.变式训练 1：判断下列函数的奇偶性.（1） 1)(22xxf ；（2） 0)(f（3）已知函数 )xf对任意 Ry、 都有 )()(yfxyf.解析：具体函数先求函数定义 域，分段函数分段讨论奇偶性，抽象函数要合理取值，寻找和 的关系. fxf(1）函数的定义域为 1,且 0)(xf.图象关于原点
10、对称，又关于 y 轴对称，所以)xf既是奇函数又 是偶函数.(2)函数的定义域为 ,.当 0x时， x， )()1()(xfxf 6当 0x时， x， )()1()(xfxf 综上，对任意 ,0,， f， 是奇函数.(3)令 , ,令 , )()(xff, 是奇x()fyx()(),xf即函数.规律总结： 判断函数的奇偶性首先求函数的定义域,这是固定的步骤.如果定义域关于原点对称,利用定义,计算比较 和 ,有时,需要对函数进行化简后再判断,较为简便.fxf如果不好判断,可以利用奇偶性定义等价形式进行判断.抽象函数的奇偶性判断，采用赋值法，恰当对变量进行赋值是关键。若证明函数不具有奇偶性,举组反
11、例即可. 例 2：函数 f（x ）的定义域为 D=x|x0，且满足对于任意 x1、x 2D ，有 f（x 1x2）=f（x 1）+f（x 2）.（1）求 f（1）的值；（2）判断 f（x ）的奇偶性并证明；（3）如果 f（4）=1，f（3x+1）+f（2x6）3，且 f（x）在（0，+）上是增函数，求 x 的取值范围 .解析：（1）解：令 x1=x2=1，有 f（11）= f（1）+f（1） ，解得 f（1）=0.（2）证明：令 x1=x2=1，有 f（1）（1） = f（ 1）+f（1）.解得f（1）=0.令 x1=1，x 2=x，有 f（x）=f（1）+f （x） ，f（x）=f（x）.f
12、（x）为偶函数.（3）解：f（44）=f（4）+f（4）=2，f（164）=f （16）+f（4）=3.f（3x+1）+f （2x6）3 即 f（3x+1） （2x6） f（64）.（*）f（x）在（0 ，+）上是增函数，（*）等价于不等式组或 或 或64)2(13,0x,64)2(130)(x537,1x或 .,3Rx3x5 或 x 或 x 3.7x 的取值范围为 x| x 或 x3 或 3x5.31规律总结：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法: 利用函数的单调性 .（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函
13、数的单调性相反.变式训练 2：已知 f（ x） 、 g（ x）都是奇函数， f（ x）0 的解集是（ a2， b） ， g（ x）0的解集是 , ，那么 f（ x） g（ x）0 的解集是( )()ab27A.（ ， ） B.（ b， a2）2abC.（ a2， ）（ ， a2） D.（ ， b）（ b2， a2）2解析： f（ x） g（ x）0 0)(,xgf或 .0)(,xgf x（ a2， ）（ ， a2）.b【答案】C考点二 函数周期性及其应用例 3 设函数 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 ， ，则 的)(xf 1)(f143)2(af取值范围是 （ ）（A） （B）
14、且 （C） 或 （D） .4a4a143a4解析： 以 3 为周期，所以 ，又 是 R 上的奇函数，)(xf )(2f)(xf ，则 ，再由 ，可得 ，即 ，1ff1)(2ff1f 1)2(f 13a解之得 ，故选 D43a规律总结：不会恰当地赋值和变量变换是本题做不出或用时较长的主要原因.变式训练 3：函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则)(xfx)(12(xff5)(f)5(f解析函数 对于任意实数 满足条件 ，xfx)(12(xff(4)(2)ffx，即 的周期为 4， ，1()(2)fffx)(f 5f5f(4) 51)(21(fff规律总结：对于抽象函数的求值问题，待求的函数值要
15、和已知的函数值产生联系，要有联系，要用函数的周期调整，奇偶性变换.抽象函数的周期没有固定的模式，掌握常见的抽象函数的周期的一些规律，对解题大有裨8益： 型：周期为 ；fxafx2a 型：周期为 ；1ff 型：周期为 .()()1xfxaf3a 且 ，则)()(2121xff (1f2()1,fx20|)xa的周期 T=4a；xf考点三 函数对称性及其应用例 4：对函数 y=f(x)定义域中任一个 x 的值均有 f(x+a)=f(a x),(1)求证 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称；(2)若函数 f(x)对一切实数 x 都有 f(x+2)=f(2 x),且方程 f(x)=0 恰好有四个
16、不同实根，求这些实根之和 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析：设函数图象上任意一点 A(x0,y0)，只要证明点 A 关于直线 x=a 对称的点 B 也在函数图象上即可.(1)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设( x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点，则 y0=f(x0), =a, 点( x0,y0)与(2 a x0,y0)关于直线 x=a 对称，a又 f(a+x)=f(a x), f(2a x0)=f a+(a x0)= f a( a x0)= f(x0)=y0,(2 a x0,y0)也在函数的图象上，故 y=f(x
17、)的图象关于直线 x=a 对称 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 f(2+x)=f(2 x)得 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称，若 x0是 f(x)=0 的根，则 4 x0也是 f(x)=0 的根，若 x1是 f(x)=0 的根，则 4 x1也是 f(x)=0 的根，x 0+(4x 0)+ x1+(4x 1)=8 即 f(x)=0 的四根之和为 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 变式训练 4：已知函数 2)y为偶函数，则函数 ()f图像关于直线 对称，函数 ()
18、fx图像关于直线 对称.解析： 设由 可得函数 关于 对称， (2)yfx关于2t1tftft1912x对称.规律总结：函数图像对称性是函数奇偶性图像特征的进一步拓展，要学会从函数变换角度去理解图像对称性，以及用函数代换特征去处理函数对称性.函数的图象的对称本质还是点的对称，所以证明图象对称问题常常转化到点的对称问题.需要记住的一些结论：对于函数( ), 恒成立,则函数 的对称轴是 ;两个)xfyR)()(xbfaxf)(xf2bax函数 与 的图象关于直线 对称.y2ba考点四 函数性质的综合运用例 5 已知定义在 R 上的奇函数 )(xf，满足 (4)(fxfx,且在区间0,2上是增函数,
19、若方程 f(x)=m(m0)在区间 8,上有四个不同的根 1234,则1234_.xx解析：:因为定义在 R 上的奇函数，满足 ()(fxfx,所以 ()(ffx,所以, 由 )(xf为奇函数,所以函数图象关于直线 2对称且 0),由 4)知8f,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 (xf在区间0,2上是增函数,所以 )(x在区间-2,0上也是增函数 .如图所示,那么方程 f(x)=m(m0)在区间 8,上有四个不同的根 1234,x,不妨设 1234x由对称性知 12x34x所以1238x变式训练 4：设偶函数 对任意 Rx，都有 ，且当 时，)(f )(1)3(xfxf2,3，则
20、（ ）xf2)(5.13f7.A72B51.C51.D-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 10解析： ， , =1(6)()(3fxfxf6T)5.13(f1(2.)f5规律总结：恰当地赋值和变量变换得出函数的周期，结合周期性和奇偶性所求函数的值转化到已知区间，从而求解。归纳小结1奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数 a 与 a，验证 f(a)f( a)0.2对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究 y 轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.3函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.
