1、一 负数1、负数的由来：为了表示两种相反意义的量，如零上温度和零下温度、收入支出等，需要两种数。一种是我们以前学过的数，如 3、500、4.7、3/8 ，这些数是正数；另一种是在这些数的前面添上“负号” ，如3、500、4.7、3/8 等，这些数是负数。一般以盈利为正、亏损为负；以收入为正、支出为负2、负数：小于 0 的数叫负数（不包括 0） ，数轴上 0 左边的数叫做负数。若一个数小于 0，则称它是一个负数。负数有无数个，其中有（负整数，负分数和负小数）负数的写法：数字前面加负号“-”号， “-”号 不可以省略 例如：-2，-5.33，-45 ，-253、正数：大于 0 的数叫正数（不包括
2、0） ，数轴上 0 右边的数叫做正数若一个数大于 0，则称它是一个正数。正数有无数个，其中有（正整数，正分数和正小数） 正数的写法：数字前面可以加正号“+”号，也可以省略不写。例如：+2， 5.33，+45，254、 0 既不是正数，也不是负数，0 是正、负数的分界点负数都小于 0，正数都大于 0，负数都比正数小，正数都比负数大5、数轴：负数 0 正数左边 右边6、比较两数的大小：利用数轴： 负数0正数 或 左边右边利用正负数含义：正数之间比较大小，数字大的就大，数字小的就小。负数之间比较大小，数字大的反而小，数字小的反而大 比如： - -13 16 13 167、0 摄氏度的意义：淡水开始结
3、冰的温度是 0 摄氏度。8、零上温度和零下温度是以 0 摄氏度为基准的两种相反意义的量。9、在各城市的气温预报中都有两个温度，中间用“”隔开。左边的温度表示当地的最低气温。右边的温度表示当地的最高气温。正负分界0正负分界10、正负数在生活中的应用（1）做生意盈利记作+，亏损就记作_;(2) 上车人数记作+，下车人数就记作；（3）水位升高记作+，水位下降就记作；（4）商店进货记作+，售出货物就记作。11、表示出正数、0 和负数，并标有正方向的直线，我们把它称为数轴。原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素。12、在直线上，0 左边的数从右向左数，分别是 0、负零点几、1、负一点几、2、负二点几.;
4、从左向右数，分别是 0、零点几、1、一点几.13、增长率=增长的数量除以单位一的数量乘 100%14、数轴上大数在右，小数在左。二 百分数(二)（一） 、折扣和成数1、商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，俗称“打折” 。折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如八折= =80，六折五810= = =656.510 651002、解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数3、商品现在打八折 ：现在的售价是原价的 80商品现在打六折五：现在的售价是原价的 654、原价乘折扣=现价5、已知原价和折扣，求便宜的钱数方法（1）原价原价乘折扣=便
5、宜的钱数；（2）原价乘（1折扣）=便宜的钱数6、成数：农业收成，经常用“成数”来表示。成数表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成” 。7、几成就是十分之几，也就是百分之几十。例如一成= =10，八成五110= = =858.510 851008、解决成数的问题，关键是先将成数转化为百分数或分数，9、这次衣服的进价增加一成 ：这次衣服的进价比原来的进价增加 10今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的 8510、已知折扣和节省的钱数求原价：原价=节省的钱数除以节省的钱数占原价的百分数。11、商品打折都是以商品原定价格为单位“1”.（二） 、税率和利率1、税率（1）纳税：纳税是根据
6、国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。（2）纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。因此，每个公民都有依法纳税的义务。（3）应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。（4）税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。（5）应纳税额的计算方法： 应纳税额=总收入税率 总收入额= 应纳税额税率 税率=应纳税额总收入额100%2、利率（1）存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。（2）储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一
7、些收入。（3）本金：存入银行的钱叫做本金。（4）利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。（5）利率：利息与本金的比值叫做利率。（6）利息的计算公式：利息本金利率时间 利率利息时间本金100 取回的钱数=本金+利息（7）利率与存期的单位要相对统一，年利率与年对应，月利率与月对应。（8）满 100 元减 40 元与打六折是不同的。（9）判断是赚了还是亏了要比较成本价和与售价和。（10）本金不变，利率上调，所得利息不一定增加。 （还与时间有关系。 ）三 圆柱和圆锥一、圆柱 （我们研究的是直圆柱，即上下一样粗，有两个平的面，是圆形）1、圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。 圆柱也可以由长方形
8、卷曲而得到。 （两种方式：1.以长方形的长为底面周长，宽为高;2.以长方形的宽为底面周长，长为高。其中，第一种方式得到的圆柱体体积较大。 ）2、圆柱由三个面组成，即两个完全相同的圆形底面和一个侧面。圆柱的上、下两个面叫做底面；圆柱周围的面（上下底面除外） ，叫做侧面；3、圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，所有的高都相等。4、圆柱的特征：（1）底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。（2）侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。（3）高的特征 ：圆柱有无数条高5、圆柱的切割：平行于底面横切：切面是大小相同的两个圆，表面积增加 2 倍底面积，即 S 增 =2r 沿高纵切（过直径）：切面
9、是大小相同的两个长方形（如果h=2R，切面为正方形） ，该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即 S 增=4rh 6、圆柱的侧面展开图：沿着高剪开，展开图形是长方形（或正方形） ， （如果h=2r，展开图形为正方形） ，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形无论怎么展开都得不到梯形7、圆柱的表面积是指侧面积和两个底面面积之和。8、圆柱的侧面沿高剪开后得到长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，长方形的面积等于圆柱的侧面积。即圆柱的侧面积底面的周长高， S 侧Ch（注：c 为 d ）
10、所以圆柱表面积 ：S 表=2S 底+S 侧=2r+2rh 9、圆柱的相关计算公式：底面积 ：S 底=r 底面周长：C 底=d=2 r 侧面积 ：S 侧=2rh 表面积 ：S 表=2S 底+S 侧=2r+2 rh 体积 ：V 柱=rh 考试常见题型：已知圆柱的底面积和高， 求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长 已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积 已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和
11、高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算无盖水桶的表面积 =侧面积一个底面积油桶的表面积 =侧面积两个底面积烟囱通风管的表面积=侧面积只求侧面积：灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装侧面积+一个底面积：玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池侧面积+两个底面积：油桶、米桶、罐桶类10 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是 1：11、圆柱的底面半直径扩大侧面积扩大，高扩大，侧面积也扩大，反之亦缩小。12、圆柱的体积：圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积。13、把圆柱的底面分成许多相等的扇形，沿扇形把圆柱切开，再像拼圆的面积一样拼起来，得到一个近似的长方体。
12、圆柱的体积=长方体的体积，圆柱的底面积=长方体的底面积，圆柱的高=长方体的高。所以 圆柱的体积底面积高V=Sh 或 V=rh；14、容积的计算方法和体积的计算方法相同，只是所需数据应从容器的里面测量。15、瓶子里有水时，正放和倒置时空余部分的容积是相等的。16、圆柱的体积与圆柱的底面半径和高有关。同扩大同缩小。当底面半径不变时。高扩大（缩小）几倍，体积也扩大（缩小）几倍；当高不变时，底面半径扩大（缩小）几倍，体积就扩大（缩小）它的平方倍。17、长方形的长和宽与旋转成的圆柱的关系：以长为轴旋转一周得到的圆柱的底面半径是宽，高是长；以宽为轴旋转一周得到的圆柱的底面半径是长，高是宽。18、体积和表面
13、积不能比较大小。19、等底等高的正方体、长方体和圆柱，他们的体积都相等。20、体积相等的两个圆柱不一定等底等高。21、高不变，圆柱的底面积越大，它的体积就越大。二、圆锥 是由一个底面和一个侧面两部分组成的。1、圆椎的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。 直角三角形贴在木棒上的直角边是旋转而成圆锥的高，另一直角边是圆锥的底面半径。圆锥也可以由扇形卷曲而得到。连接圆锥顶点和它底面圆周上的一点，沿这条线段展开，圆锥的侧面是一个扇形。2、圆锥的高是圆锥顶点到底面圆心的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高3、圆锥的特征：（1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。（2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲
14、面。（3）高的特征 ：圆锥有一条高。（4）测量圆锥的高时，先把圆锥的底面水平放置，把一块平板水平放在圆锥的顶点上面，竖直测量出平板和底面之间的距离。4、一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积。一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的 。31圆锥体积公式：圆锥的体积=底面积高 即 V= Sh31S 是圆锥的底面积， h 是圆锥的高， r 是圆锥的底面半径5、已知圆锥的底面直径和高，可直接利用 V= （d2）2h 来求体积。5、圆柱的切割：横切：切面是圆 竖切（过顶点和直径直径）：切面是两个完全相同的等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，面积增加两个等腰三角形的面积，
15、即 S 增=2rh6、圆锥的相关计算公式：底面积 ：S 底=r 底面周长：C 底=d=2r 体积 ：V 锥= rh 137、考试常见题型：已知圆锥的底面积和高，求体积，底面周长已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算三、圆柱和圆锥的关系必须有前提等底等高。1、圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的 3 倍。2、圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的 3 倍。 3、圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积(注意：是底面积而不是底面半径)是圆柱的 3 倍。 4、圆柱与
16、圆锥等底等高 ，体积相差 Sh235、浸水体积问题：(水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升的高度)容积是圆柱或长方体，正方体6、等体积转换问题：一个圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的 问题，注意不要乘以137、圆锥的表面积：一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积。圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成。S=R（ ）+ r或 R+ r（此 n 为角度制， 为弧360n21度制，=（ ）18四、典型题： 1、一个圆柱的侧面展开是一个正方形，它的高是底面直径的 倍，即 h=C=d,它的侧面积是 S 侧=h2、圆柱的底面半径扩大 2 倍，高不变
17、，表面积扩大 2 倍，体积扩大 4 倍。3、圆柱的底面半径扩大 2 倍，高也扩大 2 倍，表面积扩大 4 倍，体积扩大 8 倍。4、圆柱的底面半径扩大 3 倍，高缩小 3 倍，表面积不变，体积扩大 3 倍。5、圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是 1 ：3，7、一个圆柱和一个圆锥，体积相等，底面积也相等，圆柱的高是 2 厘米，圆锥的高是圆柱高的 3 倍 8、一个圆柱和一个圆锥体积相等，高也相等，圆柱的底面积是 4 平方分米，圆锥的底面积是圆锥底面积的 3 倍9、已知圆锥的体积与底面积求高：方法一圆锥体积3底面积=圆锥的高；方法二圆锥体积底面积3=圆锥的高。10、解答知道周长和高求体积的题目时，先求
18、出底面半径，再根据圆锥的体积公式求出体积。11、 与直径相乘是底面周长，再乘高，得到的是圆柱的侧面积。12、一个圆柱形铅块，可以熔铸成 3 个与它等底等高的圆锥形零件。四 比例一、1、比的意义（1）两个数相除又叫做两个数的比（2） “：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。（3）同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。（4）比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。（5）比的后项不能是零。（6）根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。2、比的基本
19、性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0 除外） ，比值不变，这叫做比的基本性质。3、求比值和化简比：求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。4、按比例分配：在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。5、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。6、比例的基本
20、性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。7、判断两个比能不能组成比例，要看两个比的比值是不是相等。比值相等就可以组成。8、组成比例的两个比，既可以写成带比号的形式，也可以写成分数的形式，读法相同。9、一个分数既可以看做是一个具体的数。又可以看做是两个数的比。10、一个比例的内项之积与它的外项之积的差为 0.11、能与一个比组成的比有无数个。12、在将比例改写成简易方程时。一般要把含有 x 的积写在等号的左边。13、比和比例的区别（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项） ；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项） 。（2）比有基本性质
21、，它是化简比的依据；比例也有基本性质，它是解比例的依据。二、1、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值（一定） ，正比例的关系可以用字母表示 =k（一定）yx2、生活中的正比例关系：（1）如果长方形的宽一定，长方形的面积和长成正比例关系；（2）正方形的周长和边长成正比例关系；（3）如果汽车行驶速度一定，路程和时间成正比例关系；（4）如果每天生产零件数一定，生产零件总数和天数成正比例关系。3、判断两种量
22、是不是成正比例，要做到三看：一看是不是相关联；二看是不是能变化；三看是不是比值（商）一定。符合这三点，就成正比例。4、正比例图像是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线，这条线上所有的点对应的两个量的比值都相等。5、长方形的周长一定，长和宽不成比例。6、速度一定，行驶的路程和时间成正比。7、一个因数不变，积与另一个因数成正比例。8、圆的半径和周长成正比例。9、长方体的体积一定，它的底面积和高成正比例。10、成正比例的两种量，一种量扩大，另一种量随着扩大。11、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系
23、叫做反比例关系。如果用字母 y 和 x 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的积（一定） ，反比例关系用字母可表示 xy=k（一定）12、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。13、生活中的反比例：(1)总产量一定，单产量和数量成反比例关系。 （2）如果总价一定，单价和数量成反比例关系；（3）如果汽车行驶路程一定，单价与数量成反比例关系；（4）如果生产零件总数一定，每天生产零件数和生产天数成反比例关系。14、和一定，不成比例15、分数的分子一定，分数值和分母成反比例关系。16、A 和 B
24、 互为倒数，A 和 B 成反比例。17、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。12、比例尺的分类（1）数值比例尺和线段比例尺 （2）缩小比例尺和放大比例尺13、图上距离：实际距离=比例尺 或 =比例尺图 上 距 离实 际 距 离实际距离比例尺=图上距离 图上距离比例尺= 实际距离计算时要统一单位！14、应用比例尺画图的步骤：（1）写出图的名称、（2）确定比例尺；（3）根据比例尺求出图上距离；（4）画图（画出单位长度）（5）标出实际距离，写清地点名称（6）标出比例尺15、图上距离有可能大于、小于或等于实际距离。16、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。17、把一个图形放大
25、或缩小所得到的图形与原来图形相比。大小变化，形状不变。边的长度与周长都扩大相同的倍数，角的度数没有发生变化。18、把一个长方形按 4:1 进行放大，就是把长方形的长和宽扩大到原来的 4 倍。19、用比例解决问题：根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。20、解决用方砖铺地的题目，当铺地的面积一定时：方砖面积与所需方砖块数成反比例关系，已知方砖边长，求方砖块数，根据原方砖边长原方砖边长原方砖块数=现在方砖边长现在方砖边长现在方砖块数，列出方程，再解方程。21、圆的面积和半径不成比例。22、前齿轮转的圈数前齿轮的齿
26、数=后齿轮转的圈数后齿轮的齿数蹬一圈车子走的距离=前齿轮的齿数：后齿轮的齿数车轮的周长自行车里的数学： 前齿轮转数前齿轮齿数=后齿轮转数后齿轮齿数蹬一圈走的路程=车轮周长（蹬一圈，后轮转动的圈数）蹬一圈走的路程=车轮周长（前齿轮齿数：后齿轮齿数）48:28 1.71 48:24=2 48:20=2.4 48:182.67 48:16=3 48:143.43 40:28 1.43 40:241.67 40:20=2 40:182.22 40:16=2.5 40:142.86 前、后齿轮齿数相差大的，比值就大，这种组合走的就远，因而车速快，但骑车人较费力前、后齿轮齿数相差小的，比值就小，这种组合走
27、的就近，因而车速慢，但骑车人较省力自行车跑的快慢与两个条件有关：1、前后齿轮齿数的比值。2、车轮的大小（合理）23、常见的数量关系式：（成正比例或成反比例）单价数量=总价 单产量数量=总产量 速度时间= 路程 工效工作时间=工作总量 =数量 =数量 =时间 =工作时间总 价单 价 总 产 量单 产 量 路 程速 度 工 作 总 量工 作 效 率=单价 =单产量 =速度 =工作效率总 价数 量 总 产 量数 量 路 程时 间 工 作 总 量工 作 时 间24、已知图上距离和实际距离可以求比例尺。已知比例尺和图上距离可以求实际距离。已知比例尺和实际距离可以求图上距离。计算时图距和实距单位必须统一。
28、25、播种的总公顷数一定，每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例？答：每天播种的公顷数天数=播种的总公顷数已知播种的总公顷数一定，就是每天播种的公顷数和要用的天数的积是一定的，所以每天播种的公顷数和要用的天数成反比例。26、判断下面各题的两个量是不是成比例，如果成比例，成什么比例？（1）订阅中国少年报的份数和钱数。因为 = 每份的钱数（一定）钱 数订 阅 中 国 少 年 报 的 份 数所以，订阅中国少年报的份数和钱数成正比例。（2）三角形的底一定，它的面积和高。 因为 = （一定）三 角 形 的 面 积高 12所以，它的面积和高成正比例。（3）图上距离一定，实际距离和比例尺。因为，实际距离比例尺=图上距离（一定）所以，实际距离和比例尺成反比例。
