1、第 1页人教版六年级数学上册各单元知识点归纳第一单元分数乘法一、分数乘法(一)分数乘法的意义：1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。例如：655 表示求 5 个 65 的和是多少? 5 表示求 5 个 的和是多少?13 132、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。 例如： 表示求 的 是多少。13 47 13 474 表示求 4 的 是多少.38 38(二)、分数乘法的计算法则：1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。(整数和分母约分)2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分
2、数化成假分数再进行计算。3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。（尽量约分，不会约分的就不约，常考的质因数有1111=121；1313=169；1717=289；1919=361）4、小数乘分数，可以先把小数化为分数，也可以把分数化成小数再计算（建议把小数化分数再计算）。 (三)、 乘法中比较大小的规律一个数(0 除外)乘大于 1 的数，积大于这个数。一个数(0 除外)乘小于 1 的数(0除外)，积小于这个数。一个数(0 除外)乘 1，积等于这个数。(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。乘法交换律：a b = b a乘
3、法结合律： ( a b )c = a ( b c )乘法分配律： ( a + b )c = a c + b c二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法)，即求单位“1”的几分之几是多少)1、画线段图：(1)两个量的关系：画两条线段图，先画单位一的量，注意两条线段的左边要对齐。(2)部分和整体的关系：画一条线段图。2、找单位“1”： 单位“1” 在分率句中分率的前面；或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。3、写数量关系式的技巧：(1)“的” 相当于 “” ，“占”、“相当于”“是”、“比”是 “ = ” (2)分率前是“的”字：用单位“1”的量分率=具体量 例如：甲数是 20，甲
4、数的 是多少？13列式是：20134、看分率前有没有多或少的问题；分率前是“多或少”的关系式： （比少）：单位“1”的量(1-分率)=具体量；例如：甲数是 50，乙数比甲数少1/2，乙数是多少？列式是：50（1- ）12（比多）：单位“1”的量(1+分率)=具体量 例如：小红有 30 元钱，小明比小红多 3/5，小红有多少钱？列式是：50（1+ ）353、求一个数的几倍是多少：用 一个数几倍； 4、求一个数的几分之几是多少： 用一个数几分之几。5、求几个几分之几是多少：用几分之几个数第 2页6、求已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的方法：(1)、单位“1”的量(1-分率)=另一个部
5、分量（建议用）(2)、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量例如：教材 15 页做一做和 16 页练习第七题（题目中有时候会有这种题的关键字“其中”）第二单元位置与方向（二）一、确定物体位置的方法：1、先找观测点；2、再定方向（看方向夹角的度数）；3、最后确定距离（看比例尺）二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。三、位置关系的相对性：1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。四、相对位置：东-西；南-北；南偏东-北偏西。第三单元分数除法三、倒数1、倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为
6、倒数。强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。 (要说清谁是谁的倒数)。2、求倒数的方法：(1)、求分数的倒数：交换分子分母的位置。(2)、求整数的倒数：把整数看做分母是 1 的分数，再交换分子分母的位置。(3)、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。(4)、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。3、 1 的倒数是 1； 因为11=1；0 没有倒数，因为 0 乘任何数都得 0，(分母不能为 0) 4、真分数的倒数大于 1;假分数的倒数小于或等于 1;带分数的倒数小于 1。5、运用，a2/3=b1/4 求 a 和 b是多少。把 a2/3=b1/4 看成等
7、于 1,也就是求 2/3 的倒数和求 1/4的倒数。1、分数除法的意义：乘法：因数 因数 = 积 除法： 积 一个因数 = 另一个因数分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。例如： 意义是：已知两个因数的12 35积是 与其中一个因数 ，求另一个因12 35数的运算。2、分数除法的计算法则：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。 3、分数除法比较大小时的规律：(1)当除数大于 1，商小于被除数;(2)当除数小于 1(不等于 0)，商大于被除数;(3)当除数等于 1，商等于被除数。“ ”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算
8、小括号里面的， 再算中括号里面的。二、分数除法解决问题1，解法：(1)方程： 根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。解：设未知量为 X （一定要解设）,再列方程 用 X分率=具体量 例如：公鸡有 20 只，是母鸡只数的1/3，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数，单位一未知.）解：设母鸡有 X 只。列方程为：X =2013(2)算术(用除法)：单位“1”的量未知用除法：第 3页即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。分率对应量对应分率 = 单位“1”的量例如：公鸡有 20 只，是母鸡只数的1/3，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数，单位一未知，）用除法，列式是：20132、看分率前有
9、没有比多或比少的问题；分率前是“多或少”的关系式： （比少）：具体量 (1-分率)= 单位“1”的量；例如:桃树有 50 棵，比苹果树少 ，16苹果树有多少棵。列式是：50（1- ）16（比多）：具体量 (1+分率)= 单位“1”的量例如:一种商品现在是 80 元，比原价增加了 1/7，原价多少？列式是：80（1+ ）173、求一个数是另一个数的几分之几是多少： 用一个数除以另一个数，结果写为分数形式。例如:男生有 20 人，女生有 15 人，女生人数占男生人数的几分之几。列式是：1520= = 1520344、求一个数比另一个数多几分之几的方法： 用两个数的相差量单位“1”的量 =分数即求一
10、个数比另一个数多几分之几：用（大数小数） 另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。例如：5 比 3 多几分之几？（53）3=23求一个数比另一个数少几分之几：用（大数小数） 另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。例如：3 比 5 少几分之几？（53）5=25说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同。5、工程问题：把工作总量看作单位“1”，合做多长时间完成一项工程用 1效率和，即 1（ + ），1时间 1时间（工作效率= ）1时间例如：一项工程甲单独做要 5 天完成，乙单独做要 10 天完成，甲单独做要 3 天完成，三人合做几天可以完成？列式：1（ + + ）1
11、511013第四单元比(一)、比的意义 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如 15 ：10 = 1510=3/2 (比32值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示)15 10 32前项 比号 后项 比值3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程速度=时间。4、区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。5、根据分数与除法的关系
12、，两个数的比也可以写成分数形式。6、 比和除法、分数的联系：比 前项 比号“：” 后项 比值除 法 被除 除号 除 数 商第 4页数 “”分 数 分子 分数线“” 分 母 分数 值7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为 0。9、体育比赛中出现两队的分是2：0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。10、求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分）例如：15 10 151015103/2(二)、比的基本性质1、根据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相
13、同的数(0 除外)，商不变。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0 除外)，分数值不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。4.化简比：(2)用求比值的方法。注意： 最后结果要写成比的形式。例如： 1510 = 1510 =1510 3/2 = 32还可以 1510 = 1510 = 3/2 最简整数比是 325、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有单位。6.按比例分配：把一个数量按
14、照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。一般有两种解题法，用分率解:按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分率。要先求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。例如：有糖水 25 克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？1+4=5 糖占 1/5 用 251/5 得到糖的数量，水占 4/5 用 254/5 得到水的数量。2，用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少。例如：有糖水 25 克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？ 糖和水的份数一共有 1+4=5 一份就是 255=5 糖有 1 份就是 51 水有4 分就是 54第五
15、单元圆的认识一、认识圆形1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等.3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d表示。直径是一个圆内最长的线段。5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的
16、1/2。用字母表示为：d=2r 或 r=d/2第 5页8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。10、只有 1 条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有 2 条对称轴的图形是： 长方形；只有 3 条对称轴的图形是： 等边三角形；只有 4 条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点。二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的
17、长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。2、圆周率实验：（滚动法）在圆形纸片上做个记号，与直尺 0 刻度对齐，在直尺上滚动一周，得到圆的周长。或者用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长（测绳法）。发现，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固定数即倍多一点，我们把它叫做圆周率用字母 表示。3、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母 (pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。(1)、一个圆的周长总是它直径的 3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率 是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 3.14。(2)、在判断时
18、，圆周长与它直径的比值是 倍，而不是 3.14 倍。 4、圆的周长公式： 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示 C=d (1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示 d = C 或圆的周长等于乘圆周率乘半径，用字母表示 C=2r(2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的倍，用字母表示 r = C 2（r = ）25、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。6、区分周长的一半和半圆的周长：(1)、周长的一半：等于圆的周长2计算方法：2 r 2 即 C 半 = r(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计
19、算方法：半圆的周长=5.14 r （推导过程 C 半=2 r 2+d=r+d=r+2r =5.14 r）三、圆的面积1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母 S 表示。2、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。 长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 圆的半径 = 长方形的宽圆的周长的一半 = 长方形的长 3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长 宽所以：圆的面积 = 圆周长的一半 圆的半径即 S 圆 =2rr rr 圆的面积公式 S=r 2 r 2 = S 圆 4、
20、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母 R 表示，内圆的半径用字母 r 表示。(R=r+环的宽度.)S 环 = R -r 或环形的面积公式：S 环 = (R -r )（建议用这个公式）第 6页。5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如：在同一个圆里，半径扩大 3倍，那么直径和周长就都扩大 3 倍，而面积扩大 3 的平方倍得到 9 倍。6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。例如：两个圆的半径比是 23，那么这两个圆的直径比和周长比都是23，而面积比是 497、任意一个正方形与它内切圆的面积之比
21、都是一个固定值，即：48、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。9、常用各 值结果： = 3.14；2 = 6.28 ；5=15.7 10、外方内圆（内切圆）公式S=0.86r 推导过程：S=S 正 -S 圆 =d -r =2r2r-r =4r -r =r (4-)=0.86r 11、外圆内方（外切圆）公式S=1.14r 推导过程：S=S 圆 -S 正 =r -dr/22=2rr/2r=r -2r =r (-2)=1.14r （把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径）12、
22、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。13、S 扇 =S 圆n/360；S 扇环 =S 环n/36014、扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。15、常见半径与直径的周长和面积的结果。半径半径的平方直径 周长 面积1 1 2 6.28 3.142 4 4 12.56 12.563 9 6 18.84 28.264 16 8 25.12 50.245 25 10 31.4 78.56 36 12 37.68 113.047 49 14 43.96 153.868 64 16 50.24 200.969 81 18 56.
23、52 254.3410 100 20 62.8 3141.5 2.25 3 9.42 7.0652.5 6.25 5 15.7 19.6253.5 12.25 7 21.98 38.4654.5 20.35 9 28.26 63.5855.5 30.25 11 34.54 94.9857.5 56.25 15 47.1 176.625第六单元百分数一、百分数的意义和写法（一）、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。（二）、百分数和分数的主要联系与区别：联系：都可以表示两个量的倍比关系。区别：、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表
24、示具体的数量，所以不能带单位;分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。、百分数的分子可以是整数，也可以是小数;分数的分子不能是小数，只能是除0 以外的自然数。3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示，读作百分之。二、百分数和分数、小数的互化第 7页(一)百分数与小数的互化：1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用 0 补足），同时在后面添上百分号。2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位（数位不够用 0 补足），同时去掉百分号。(二)百分数的和分数的互化1、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是 100 的分数，能约分
25、要约成最简分数。2、分数化成百分数： 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是 100 的分数，再写成百分数形式。先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。（建议用这种方法）(三)常见分数小数百分数之间的互化； 三、用百分数解决问题(一)一般应用题1、常见的百分率的计算方法：一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，出米率、出油率达不到 100%，完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。 2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式。例如：例如:男生有 20 人，女生有15 人，女生人数占男生人数的百分之几。列式是
26、：1520=15/20=75 3、已知单位“1”的量(用乘法)，求单位“1”的百分之几是多少的问题，数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：(1)百分率前是“的”： 单位“1”的量百分率=百分率对应量(2 百分率前是“多或少”的数量关系： 单位“1”的量(1百分率)=百分率对应量4、未知单位“1”的量(用除法)，已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。 方法与分数的方法相同。解法： (1)方程： 根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。(2)算术(用除法)： 百分率对应量对应百分率 = 单位“1”的量5、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同。只是结果要写为百分数
27、形式。看百分率前有没有比多或比少的问题；百分率前是“多或少”的关系式：（比少）：具体量 (1-百分率)= 单位“1”的量；例如:大米有 50 千克，比面粉树少50，面粉有多少千克。列式是：50（1-50）（比多）：具体量 (1+百分率)= 单位“1”的量例如:工人做 110 个零件，比原计划多做了 10，原计划做多少个？列式是：110（1+10）6、求一个数比另一个数多百分之几的方法：方法与分数的方法相同。用两个数的相差量单位“1”的量 =百分之几即求一个数比另一个数多百分之几：用（大数小数） 另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为百分数形式。甲比乙多几分之几的问题，方法A，（甲-乙）乙
28、（建议用） 方法 B，甲乙-100例如：老师计划改 40 本作业，实际改了 50 本，实际比计划多改了百分之几？列式是：（5040）40=0.25=25求一个数比另一个数少几分之几：用（大数小数） 另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为百分数形式。第 8页乙比甲少几分之几的问题，方法A,（甲-乙）甲（建议用） 方法 B， 100-乙甲例如：张三家用了 100 度电，李四家用了 90 度电，李四家比张三家少用百分之几？（10090）100=0.1=10说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。7、如果甲比乙多或少 a，求乙比甲少或多百分之几，用a（1a）8、求价格先降 a又上升 a后
29、的价格：1（1-a）（1+a）（假设原来的价格为“1”。求变化幅度（求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用 1-降价后又上升的百分率。第七单元：扇形统计图一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。二、常用统计图的优点：1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。（要在统计图上写出百分率）三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的
30、大小有关，圆心角越大，扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。)四、应用：1.会观察统计图。 2、你得到什么数学信息？回答、*占总体的百分之几；、*占的百分比最多，*占的百分比最少； 3、你还能提什么数学问题：*和*一共占百分之几。数学广角：数与形1、每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用平方数的形式来表示。 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 得出：从 1 起连续奇数的和等于奇数个数的平方。2、从 2 起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数（即（n 2+n），或等于偶数个数乘比偶数个数大 1的数即 n（n+1）。
