1、- 1 -三阶幻方的构造方法洛阳市王城公园西门内屹立着一椭圆形棕色巨石，那就是河图洛书碑所谓洛书，指的是用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这九个数字，组成三行三列的方阵它的每行每列及两条对角线上的三个数字的和都等于 15.古时候称九宫图 ，数学上称为三阶幻方这一问题有许多解法这里介绍七种解法一 凑这个问题介绍给小孩子们，他们会用九张纸片，分别写上九个数字（或者用九张扑克牌）在桌（地）面上摆出来答案此法是凑出来的二 转第一步把九个数字摆成图一第二步让周围的八个数字绕着中心的数字依次转动一个位置，成图二，第三步将对角的数字进行对换，成图三这个方法归结为一排，二转，三对换这个方法可以让孩子作游
2、戏，也是有趣的987654321698357214492357816图一排 图二 转 图三 对换三 杨辉法 我国古代数学家在续古摘奇算法中，总结洛书幻方的构造方法时写到：九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出具体作法如图四图七968357241168357249图四 九子排列 图五 上下对易1687532449235786图六 左右相更 图七 四维挺出四 罗伯法 1 中所举的罗伯法也可以用来作三阶幻方罗伯法是这样讲的- 2 -1 居上行正中央，依次斜填且莫忘，上出框往下写，右出框时左边放排重便在下格填，右上排重一个样罗伯法排出的三阶幻方见图八29475361878495162393415672
3、图八 图九 图十 巴舍法先画一个凸阶梯形，先填成图九，然后按上移下，下移上，左移右，右移左（作出的结果与杨辉法完全相同）进行调整成为图十五 行列交会法首先将九个数字排成图十一，然后将中间行中间列不动，作为幻方的左右主对角线，如图十二，因每一个数都是一条左对角线与一条右对角线的交点所以其它每一个数的行列位置按照：左对角线与中间列的交点的行为行，右对角线与中间行的交点的列为列的法则确定作出的结果如图十三98765432168524图十一 图十二 618532986654321x图十三 图十四 六 数学解法 设图十四构成三阶幻方，列出方程组)8.(157.6.)(.4.153.)2.(.753910
4、68527419765321xx由(7)+(8)+(2)=(4)+(6)+ 知 得345x- 3 -由(1)+(2)得 代入5.215142 xx得 )9.(042x若 则 矛盾 所以1842x1x若 则 则只有 或 只考虑其中一种 以 代入3x18,642或 642x或 6,321x得 矛盾 所以6,3x令 代入（9）得 则只有 或 不妨取21x1429,742x或 7,42x或.7,4则以 )321 xx得代 入 （以 6,得代 入 （以 8)7591xx得代 入 （以 1,92 得代 入 （以 3)7654xx得代 入 （从而得到三阶幻方的解七 奇偶分析法在六中得到 以后，将其代入(2)
5、,(5),(7),(8) 得到：5x)13.(02.)(73918264x由以上四个方程可以看出 的奇偶性相同，又幻方交换一三两行后仍73918264, xxx与与与与然是幻方，交换一三两列后仍然是幻方，所以四个角的奇偶性是相同的今断言，四个角上的数字不能是奇数，如果四个角上的数字是奇数，那么 只能是偶数于是,8264 矛盾所以 只能是偶数由(12),(13)可知，而且只有15321 奇 偶 奇 x 7391.xx 2+8,4+6,不妨取 随后便可确定 的值,8., 391 x 则 取 则 ,.8264x参考材料：1张君达 小学数学奥林匹克数学专题讲座 北京师范学院出版社 1987 年北京版 第 24 页 中师教育研究 1995 年第二期
