1、量子力学教案周世勋， 量子力学教程 ，高教出版社1.1 经典物理学的困难一、 经典物理学是 “最终理论 ”吗？十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明：机械运动（vc 时） 牛顿力学电磁现象 麦克斯韦方程 光现象（光的波动）热现象 热力学、统计物理学（玻耳兹曼、吉布斯等建立）有人认为：物理现象的基本规律已经被揭穿，剩下工作只是应用和具体的计算。这显然是错误的，因为“绝对的总的宇宙发展过程中，各个具体过程的发展都是相对的，因而在绝对真理的长河中，人们在各个一定发展阶段上的具体认识只具有相对的真理性” 。二、经典物理学的困难由于生产
2、力的巨大发展，对科学实验不断提出新的要求，促使科学实验从一个发展阶段进入到另一个发展阶段。就在物理学的经典理论取得上述重大成就的同时，人们发现了一些新的物理现象无法用经典理论解释。1. 黑体辐射问题2. 光电效应问题3. 原子的线状光谱和原子结构问题4. 固体在低温下的比热问题三、量子力学的两个发展阶段1. 旧量子论（1900-1924）以普朗克、爱因斯坦、玻尔为代表2. 量子论（1924 年建立）以德布罗意、薛定谔、玻恩、海森堡、狄拉克为代表四、学习上应注意的几点 ：1. 牢记实验是检验真理的标准2. 冲破经典理论的束缚3. 建立创造性思维方法4. 正确认识微观现象的基本特征1.2 光的波粒
3、二象性1.光的波动性最典型的实验是 1802 年的杨氏干涉实验和后来的单缝、双缝衍射实验。相干条件： (k=0， ， ，)加强k12相消)2(或位相差 = =2k 加强=(2k+1) 减弱2.黑体辐射热辐射同光辐射本质一样，都是电磁波对外来的辐射物体有反射和吸收的作用，如果一个物体能全部吸收投射到它上面的辐射而无反射，这种物体为绝对黑体（简称黑体） ，它是一种理想化模型。例如：一个用不透明材料制成的开小口的空腔，可以看作是黑体，其开口可以看成是黑体的表面，因为入射到小孔上的外来辐射，在腔内经多次反射后几乎被完全吸收，当腔壁单位面积在任意时间内所发射的辐射能量与它所吸收的辐射能相等时，空腔与辐射
4、达到平衡，研究平衡时腔内辐射能流密度按波长的分布（或频率的分布）是 19 世纪末人们注意的基本问题。1）实验表明：当腔壁与空腔内部的辐射在某一绝对温度 下达到平衡时，T单位面积上发出的辐射能与吸收的辐射能相等，频率 到 之间的辐射能量dv密度 只与 和 有关，与空腔的形状及本身的性质无关。即d)(TdF),()(其中 表示对任何黑体都适用的某一普通函数。当时不能写出它的F,具体解析表达式，只能画出它的实验曲线。见 图 25P2）维恩（Wien）公式维恩在做了一些特殊的假设之后，曾用热力学的方法，导出了下面的公式： dcdevTv231)(其中 ， 为常数，将维恩公式与实验结果比较，发现两者在高
5、频（短波）区c12域虽然符合，但在低频区域都相差很大。3）瑞利-琼斯（Rglaigh-Jeans）公式瑞利-琼斯根据电动力学和统计物理也推出了黑体辐射公式：kTddc328)(其中 是玻耳兹曼常数（ J/K） ，这个公式恰恰与维恩公式相k10238.反，在低频区与实验符合，在高频区不符，且发散。因为： dTdc2030)(当时称这种情况为“紫外光灾难” 。由于经典理论在解释黑体辐射问题上的失败，便开始动摇了人们对经典物理学的迷信。4）普朗克（Planck,1900）公式1900 年，普朗克在前人的基础上，进一步分析实验数据，得到了一个很好的经验公式： dhdeckTv183式中 称为普朗克常数
6、， SJ34062.在推导时，普朗克作了如下假定：黑体是由带电的谐振子组成，对于频率为的谐振子，其能量只能是 的整数倍，即：hnE当振子的状态变化时，只能以 为单位发射或吸收能量。能量 成为h能量子，这就是普朗克能量子假设，它突破了经典物理关于能量连续性概念，开创了量子物理的新纪元。3. 光电效应在光的作用下，电子从金属表面逸出的现象，称为光电效应。自 1887 年Hertz 起，到 1904 年 Milikan 为止，光电效应的实验规律被逐步揭露出来。其中，无法为经典物理学所解释的有：（1）对一定的金属，照射光存在一个临界频率 ，低于此频率时，不发生光电0v效应。 （不论光照多么强，被照射的
7、金属都不发射电子）（2）光电子的动能与照射光的频率成正比（ ） ，而与光的强度无关。kE（3）光电效应是瞬时效应（ ）s910爱因斯坦的光量子假设：光就是光子流，在频率为 的光子流中，每一光子的能量都是 。 （这h样就可解释光电效应） ，由此得到爱因斯坦方程：021whvm光子的动量：对于光子 ,2201cvEcv0又 因为： （相对论中能量与动量的关系）02p所以： pE而 h所以： hc或 knp其中 表示该光子运动方向的单位矢量， ， 成为波矢。n 2nc2上式把光的两重性质波动性和粒子性有机地联系了起来。4.康普顿效应（略）本节结论：光具有波粒两象性。课外作业：（1）推导普朗克黑体辐射
8、公式（2）设计光电效应实验原理图1.3 原子结构的玻尔理论经典理论在原子结构问题上也遇到不可克服的困难。玻尔理论的两个基本假设：（1）量子条件： （且存在定态）2hnmvrp（2）频率条件： ，有（1） 、 （2）可得E )1(22nmRZ量子化通则： n=1，2，3nhpdq玻尔理论不能解释多电子原子和谱线的强度。玻尔理论是半经典半量子的理论。1.4 微粒的波粒二象性一、德布罗意假设德布罗意仔细分析了光的波动说及粒子说发展的历史，并注意到了十九世纪哈密顿曾经阐述的几何光学与经典粒子力学的相似性集合光学的三条基本原理，可以概括为费米原理亦即最小光程原理， ，n 为折射系数，0BAdl经典粒子的
9、莫培督（Maupertius）原理，亦即最小作用原理：，p 为粒子的动量，通过用类比的方法分析，使0)(2dlVEmpdlBA他认识到了过去光学理论的缺陷是只考虑光的波动性，忽视了光的粒子性。现在在关于实物粒子的理论上是否犯了相反的错误，即人们只重视了粒子，而忽视了它的波动性了呢？运用这一观点，德布罗意于 1924 年提出了一个具有深远意义的假设：微观粒子也具有波粒二象性。具有确定动量和确定能量的自由粒子，相当于频率为 或波长为 的平面波，二者之间的关系如同光子与光波一样，即：（1）hE（2）nhp这就是著名的德布罗意关系式，这种表示自由粒子的平面波称为德布罗意波或“物质波” 。设自由粒子的动
10、能为 E，当它的速度远小于光速时，其动能 ，由2PE（2）式可知，德布罗意波长为：（3）Ehp2如果电子被 V 伏电势差加速，则 电子伏特，则：ev（ 为电子质量）05.12AVeh当 V=150 伏特时， ，当 V=10000 伏时， ，所以，德布罗0012.A意波长在数量级上相当于晶体中的原子间距，它宏观线度要短得多，这说明为什么电子的波动性长期未被发现，若把电子改成其他实物粒子，情况是怎样的？二、平面波方程频率为 ，波长为 ，沿 x 方向传播的平面波可用下面的式子来表示：)(2costA如果玻沿单位矢量 的方向传播，则：n )cos()(s trAtr写成复数的形式： )(exptrki
11、A或 （量子力学中必须用复数形式）Et这种波（自由粒子的平面波）称为德布罗意波。三、德布罗意波的实验验证德布罗意波究竟是一种什么程度的波呢？德布罗意坚信，物质波产生于任何物体的运动，这里所说的任何物体，包括大到行星、石头，小到灰尘或电子。这些物质和物质波一样，能在真空中传播，因此它不是机械波；另一方面，它们都产生于所有物体包括不带电的物体，所以它们不同于电磁波。这是一种新型的尚未被人们认识的波，就是这种波构成了量子力学的基础。1. 电子的衍射实验1927 年美国科学家戴维孙（Davisson）和革末（Germer）用实验证实了德布罗意波的正确性。 （注：介绍其发现过程、光强等） ，后来，汤姆逊
12、又用电子通过金箔得到了电子的衍射图样。2. 电子的干涉实验它是由缪江希太特和杜开尔在 1954 年作出。后来又由法盖特和费尔特在 1956 年做出。3. 其他实验表明：一切微观粒子都具有波粒二象性4. 物质波的应用电子显微镜 （ 分辨率的普遍表达式）sin61.0d作业： ，1.2，1.3，1.5p16第二章波函数的薛定谔方程2.1 波函数的统计解释一、经典力学对质点的描述（坐标和动量）规律： ),()2trFdtrm二、自由粒子的波函数（德布罗意假设） hEnp)(exEtrpiA问： 的物理意义？错误的解释：（1）波是由它所描写的粒子组成，即它是一种疏密波。（2）粒子是由波组成，一个粒子就
13、是一个经典的波动。三、波函数的统计解释Born 首先提出了波函数意义的统计解释：波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，即描写粒子的波可以认为是几率波。分析：电子的衍射实验，见书 18 页量子力学的一个基本原理：微观粒子的运动状态可用一个波函数 来描写。),(tr四、波函数的性质1. dtzyxctzyxdw2),(),(在 表示：在 t 时刻,在 r 点，在 d = dxdydz 体积内，找到由波函数 (r,t)描写的粒子的几率是。2.几率密度： 2),(),( ctzyxwtzyx3.粒子在全空间出现的几率（归一化）：则：12dcdc214. ，描写的是同一
14、态5. 归一化波函数令： cdw2为归一化条件12满足上式的波函数称为归一化波函数，使 变为 的常数称为 称为归一c化常数。注意：1）.波函数在归一化后也还不是完全确定的，还存在一个相因子 的不ie确定。因为： 12ei2）.不是所有的波函数都可按上述归一化条件求一化，即要求为有限（平方可积的） ，如果是发散的，则无意义。d例如：自由粒子的波函数 ，eEtrpipAtr)(),(1222dAp0注意：波函数是时间位置的函数，即 ),(),(),( tzyxivtzyxutzyx例题：曾书第 13 页2.2 态迭加原理回顾：（1）在量子力学中用波函数描写微观粒子的量子状态（2）波函数的统计解释：
15、当 确定时，粒子的力学量取各种可能值的几率确定。一、经典波的态迭加原理两个可能的波动过程 的线形迭加的结果 也是一个可能的波动21,21ba过程。二、态迭加原理以粒子的双狭缝实验为例，见书第 14 页，图 6如果 是体系的可能状态，那么，它们的线性迭加 也21, 21c是这个体系的可能状态三、两种迭加原理的区别1.在状态 中，对某力学量 Q 进行测量，测到 Q 值可能是 ，也21c 1可能是 ，但绝对不会是其他的值（和抛硬币的情形差不多） 。22.若 ，则 ，这时 与 是同一态，这与经典波的迭加不1121c1同3.当粒子处于态 和态 的线形迭加态时，粒子是既处于态 ，又处于态 ，12 12例如抛正六面体的塞子。四、态迭加原理的一般表达式, 为复数nc21物理意义：书第 23 页，学生回答。五、态迭加原理的一个实例 （电子在晶体表面衍射实验中的情形） 。同学253P们自学，并看一看数理方法中的傅立叶变换。下次课解答疑问。以一个确定的动量 运动的电子状态的波函数prpEtipAetr,（1）由态迭加原理，在晶体表面上反射后，粒子的状态 可以表示为 取多种可能p值的平面波的线性迭加：pptrctr,（2）由于 可以连续变化，求和改为积分：pzyxpdrtctr,（3）式中 rpiper231（4）zyxrpidettpc23,1,（5）把（4）式代入（3）式得：
