1、1易错题汇编一、 三角部分1. 已知 且3sin(),45)4,0(（I）求 (或 )；(II) 求i2tan解（I） ，s,),(0,)44cos(),5.232sinsincosin,44 10 2sin10（ ） 2187i2cos21i5（II） ， .()()443cos()4， . .0,(,)2in54tan()3解法 2： ， ， . .sin1)4,0(71tatatn4t()312右图为函数 的一段图象. i()yAx（I）请写出这个函数的一个解析式； （II）求与（I）中函数图象关于直线 对称的函数图2象的解析式，并作出它一个周期内的简图.解：（I） 又1314,TT3,
2、A由 的图象过sin()2yx(,0)3（为其中一个值）.03,6 为所求.1si()yx（II）设 为所求函数图象上任意一点，该点关于直线 对称点为 ，则点, 2x),4(yx)4(yx必在函数 的图象上.13sin()26yx ，即 )si(x13sin()2x的图象关于直线 对称的函数图象的解析式是 .6y与 )621sin(3xy列表： 作图：O-33yx31O-33yx312二、 概率3.（文科）一辆车要直行通过某十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车前面已有 4 辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）. 已知每辆车直行的概率是 ，左转行32驶的概率是 ，该路口红
3、绿灯转换间隔时间均为 1 分钟. 假设该31车道上一辆直行的车驶出停车线需要 10 秒钟，一辆左转的车驶出停车线需要 20 秒钟，求：（I）前 4 辆车恰有 2 辆车左转行驶的概率；（II）该车在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通过该路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）解：（）前 4 辆恰有 2 辆左转行驶的概率 278)31(24CP（）该车在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通过该路口的概率 .27163)()3(344CP4.（理科） 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 道题，乙能答对其中的 8 道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进
4、行测试，至少答对 2 题才算合格.（）求甲答对试题数 的概率分布及数学期望；（）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解：（）依题意，甲答对试题数 的概率分布如下： 0 1 2 3P 36甲答对试题数 的数学期望 E=0 301+1 +2 21+3 6= 59.（）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B，则P(A)= 3106426C= 2= ，P( B)= 310828C= = 14.因为事件 A、B 相互独立，方法一：甲、乙两人考试均不合格的概率为 P( A)=P( )P( B)=（1 32)(1 54)= 1.甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1P( )=1 45= .答：甲、
5、乙两人至少有一人考试合格的概率为 45.方法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为x32358316210 2y0 -3 0 3 03P=P(A B)+P( B)+P(AB)=P(A)P( )+P( )P(B)+P(A)P(B)= 32 15+ 4+ 32 15= .答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 45.三、 立体几何5. 已知矩形 ABCD 中，AB = ，AD=1. 将ABD 沿 BD 折起，使点 A 在平面 BCD 内的射影落在 DC 上.2（）求证：平面 ADC平面 BCD； （）求点 C 到平面 ABD 的距离；（）若 E 为 BD 中点，求二面角 B-AC-E 的大小.
6、方法 1：（）证明：点 A 在平面 BCD 上的射影落在 DC 上，即平面 ACD 经过平面 BCD 的垂线，平面 ADC平面 BCD. （）解：依条件可知 BCDC，又平面 平面 ，且平面 平面 ADCBADCBDBC平面 ACD. DA 平面 ACD，BC DA. 依条件可知 DAAB. ABBC=B， 由、 得 DA平面 ABC.设点 C 到平面 ABD 的距离为 d，DA平面 ABC，DA 是三棱锥 D-ABC 的高.由 VC-ABD=VD-ABC，得 dSABD= DASABC. 解得 d= .132即点 C 到平面 ABD 的距离为 . 2（）解：取 中点 ，连 为 中点ABFEB
7、D/EFA由（）中结论可知 DA平面 ABC，EF 平面 ABC.过 F 作 FGAC，垂足为 G，连结 EG，则 GF 为 EG 在平面 ABC 的射影， CEGF 是所求二面角的平面角 . 在ABC 中 ,ACB/FBFG BC , 又 EF AD，EF 12/1212在 EFG 中容易求出EGF=45.Rt即二面角 B-AC-E 的大小是 45. 方法 2：（）证明：如图，以 CB 所在直线为 x 轴，DCA BCDABCDEFABCDEGE BDAzxyC4所在直线为 y 轴，过点 C，平面 BDC 方向向上的法向量为 Z 轴建立空间直角坐标系.所以 C(0，0，0)， B(1，0，
8、0)，D(0， ，0) ，设2(0,)Ayz点 A 在平面 BCD 上的射影落在 DC 上，由 且 ,得 .DB|10122zy点 A 的坐标为 A(0， ， ).n1=(0，0，1)是平面 BCD 的一个法向量.而 =(1，0，0)是平面 ADC 的一个法向量.CBn1 = (0，0，1)(1，0，0)=0，平面 ACD平面 BCD. （）解：设点 C 到平面 ABD 的距离为 d， =(0， ，- )， =(1， ， )， =(0， ， )，A2AB2AD2容易求出平面 ABD 的一个法向量为 n2=(- ，1，-1) .d=| |cos|=|1 |= .AC01即点 C 到平面 ABD
9、的距离为 .（）解： = (-1，- ， )， =(1，0，0) ，B2CB容易求出平面 ABC 的一个法向量为 n3= (0，1，1) .又 A(0， - ， )，E( ，- ，0) ， = ( ， 0，- ).21AE2容易求出平面 AEC 的一个法向量为 n4= (2， ， ) .n3n4=0+ + =2 ，| n 3|= ，| n 4|=2 ，2cos= = . 34二面角 B-AC-E 的大小是 45. 6*. 如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1，M 是底面 BC 边上的中点，N 是侧棱CC1 上的点，且 CN NC1.（）求证：AM 面 BC ；（
10、或若 为 的中点，求证： .）E1ABCAE1/平 面5（）若二面角 B1AM N 的平面角的余弦值为 ，求 的值；5（）在第（）的前提下，求点 B1 到平面 AMN 的距离.解法 1：（）因为 M 是底面 BC 边上的中点，且 AB=AC，所以 AM BC，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中， 底面 , AM 又 .所以 AM 平面1AC11CB1BC. 1B(或：连结 ， 又 , .) 1E1/E1平 面AEM1/平 面（II）因为 AM 平面 BC且 M 平面 ，NM 平面1B11BAM M, AM NM， MN 为二面角 AMN 的平面角.11B ，设 C1N= ，则 CN=15co
11、s1Nxx又 M= ,MN= , 1B2M5422)1(4连 N，得 N ，112x在 MN 中，由余弦定理得 , 1B 5)1(4252x得 = .故 =2.x3（III）过 在面 内作直线 ， 为垂足.又1B1C1BHMN平面 ，所以 AM H.于是 H 平面 AMN，故AM1H 的长即为 到平面 AMN 的距离.在 中，11 RtH M .故点 到平面 AMN 的距离为 1. 1B15sin121B解法 2：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则 （0，0，1） ，M（0， ，0）,12MA1C1B1B CAN6C(0,1,0), A ( )，设 N (0,1,a) ,所以，31,02，
12、,(,)M1(,)2BaM,210因为 所以 ,同法可得 .130()2A1BAMNA又 故 AM 面 BC .1NB1C(II)由（）知 为二面角 AMN 的平面角 ,以下同法一.,M()设 n=(x,y,z)为平面 AMN 的一个法向量，则由 得，由(II)知MAn, 32,10N. 故可取3002413yzyz 1,340到平面 AMN 的距离为1B15|3MBnd四、解不等式7. 已知集合 A ，B .|(2)(31)0xa2|0(1)xa（I）当 a2 时，求 A B； （II）求使 B A 的实数 a 的取值范围.解：（I）当 a2 时，A（ 2，7） ，B（4，5） A B（4，
13、5）（II）解集合 B ，|0(1)xa21当 ，则 B= ；当 ，则 B（2a，a 21） ，1解集合 A |(2)(3)x当 a 时，A（3a1，2） ；当 a 时，A ；当 a 时，A（2，3a1） ；要使 B A，当 ，则 B= , B A 成立；当 ，则 B（2a，a 2 1） ，17当 a 时，A（3a1，2）要使 B A，必须 ， 此时 a1；231a当 a 时，A ，而 B ，故使 B A 的 a 不存在；当 a 且 时，A（2，3a1） ，要使 B A，必须 ， 此时 1a3.1 213a综上可知，使 B A 的实数 a 的取值范围为|13或a8.*(理)已知不等式： -1l
14、og()l|log()axx-232x-01m（I）分别求不等式的解集.（II）若同时满足的 x 的值也满足不等式，求实数 m 的取值范围.（III ）若满足不等式 的 x 的值至少满足 中的一个,求实数 m 的取值范围.(文)已知不等式： -12-3x-012m（I）分别求不等式的解集.（II）若同时满足的 x 的值也满足不等式，求实数 m 的取值范围.（III ）若满足不等式 的 x 的值至少满足 中的一个,求实数 m 的取值范围.解：(I) 的解集为 A=x|1x3(理，且 x0)I 的解集为 B= 4210|或（II）由（1）: 或 知|,AB3,|14ABx要满足题意的要求，则方程
15、2x2+mx1=0 的一根小于等于 0（文：小于 0） ，另一根大于等于 3.设 f(x)= 2x2+mx1，则 （文 ）170)3(mf 37)(mf（III ）要满足题意的要求，则方程 2x2+mx1=0 的两根应在区间 (1，4上.设 f(x)= 2x2+mx1， 抛物线开口向上且 f(0)10, 故则 . ()0341fm五、 数列89.已知各项均为正数的数列 ， ， 其中 ，na)2(1a)1(21nna*N（I）证明 ；2na（II）设 ，试证明 ；nb21nb（III ）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .cnlgncnS（I）运用数学归纳法证明如下：当 时，由条件知 ，故命题
16、成立；1n21a假设当 时，有 成立*()kNk那么当 时， 故命题成立1n 0)1(2)1(21 kkk aa综上所述，命题 对于任意的正整数 都成立. nan（II） 2221 4)1( nnnnn baab （III） 且nncbclgl2110lg1数列 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列. a. 2l)(Sn10. 已知数列 ，其中 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； 是公3021,a 1021,a 2010,a差为 的等差数列； 是公差为 的等差数列（ ）.d1a d0d（I）若 ，求 ；420d（II）试写出 关于 的关系式，并求 的取值范围；3 30解:（I） . ,4
17、0.201 a（II） ， )(120 d，3da当 时， . ),(),(307.5,a六、 解析几何11. 已知三点 P（5，2） 、 （6，0） 、 （6，0）.1F2F（）求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；1（）设点 P、 、 关于直线 yx 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双2 P1F21F2P9曲线的标准方程.解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为 + ，其半焦距 .2ax1by)0(6c， ，|221PFa 56122a53，故所求椭圆的标准方程为 + ；93645cb 429（II）点 P（5，2） 、 （ 6，0） 、 （6，0）关于直线
18、yx 的对称点分别为：12F、 （0，-6） 、 （0，6）),(12设所求双曲线的标准方程为 ，由题意知半焦距 ，11bxay),(1b61c， ，|2211Fa 5422a52，故所求双曲线的标准方程为 .60311cb 20y16x12.已知定点 点 P 在 轴上运动，M 在 x 轴上，N 为动点，且),(,ay; 0,0NPFM（）求点 N 的轨迹 C 的方程；（）过点 的直线 l（不与 x 轴垂直）与曲线 C 交于 A，B 两点，设点 ， 的),(a )0,(aKKBA与夹角为 ，求证：.20解：（） ),0(),),(yPxMyN ).,(),(),( 000 yxPNyaFyx由
19、 2aPF得0， 0，即 并代入，),(0yx得 ,2,02yxyx即得 即为所求.axy42（） 过点 的直线 l（不与 x 轴垂直）与曲线 C 交于 A，B 两点)0,(F设 l 的方程为 且ykxa0由 消去 y，得42 0422akx设 则 ),(),(21xByA122,xa21y1012(,)(,)KAxayBxay.2221212144()0 aakk()cos0,|KAB.七、 函数与导数13. 已知函数 和 的图象关于 y 轴对称，且()yfx()g2()4fx（I）求函数 的解析式；（II）解不等式 ；()|1|2fx解：（I）设点 为函数 的图象上任意一点，则点 P 关于
20、 y 轴对称点为 ，因为函,Pxy()g (,)Pxy数 和 的图象关于 y 轴对称，所以点 一定在函数 图象上，代入得()yf()g(,)x)f，所以 .24xx24x（II） ()|1|f或 或 2|x20x210x1x12x1.2x所以不等式的解集为 1,214.如图，等腰梯形 的三边 分别与函数 ， 的图象切于ABCD,BCD21yx,2点 .求梯形 面积的最小值.,PQR解: 设梯形 的面积为 ，点 P 的坐标为 .s21(,)(0tt由题意得，点 的坐标为 ，直线 的方程为 .(0,2)y21,yxyx|xty直线 的方程为AB21()(),t即： 2ytx令 得，024,(,0).ttA令 得， 2y1xtBt
