1、8-4 统筹规划知识点说明：统筹学是一门数学学科，但它在 许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率本讲主要讲统筹安排问题、排 队问题、最短路 线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它 们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。“节省跑空车的距离” 是物资调运问题的一个原则。“发生对流的调运方案” 不可能是最优方案。“小往大靠，支往干靠 ”。板块一、合理安排时间【例 1】 一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎 1 张饼需要 2 分钟(正面、反面各 1 分钟)问：煎 3张饼需几分钟？怎样煎？【巩固
2、】 (2000 年小学生数学报数学邀请赛)烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去 3 分钟，那么用一次可容下 2 块饼的锅来烙 21 块饼，至少需要多少分钟？ 【巩固】 一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎 1 张饼需要 2 分钟(正面、反面各 1 分钟)问：煎2009 张饼需几分钟？ 【例 2】 星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要 20 分钟，收拾厨房要 15 分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10 分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要 40 分钟，晾衣服要 10 分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？【巩固】 小明在家的一面墙上贴奖状，一共有 32 张，给一张奖状涂满胶水需要 2
3、分钟，涂完胶水后要过2 分钟才能往墙上贴，贴的过程需要 1 分钟，但是如果等待超过 6 分钟的话胶水就会干掉不能再贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？【例 3】 小明骑在牛背上赶牛过河共有甲、乙、丙、丁 4 头牛甲牛过河需要 1 分钟，乙牛过河需要2 分钟，丙牛过河需要 5 分钟，丁牛过河需要 6 分钟每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这 4 头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？【例 4】 有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥此桥每次只能让 2 个人同时通过，否则桥会倒塌过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空只有一个手电筒4 个人的行走速度不同：小强用 1 分种就可以过桥，中强要
4、2 分中，大强要 5 分中，最慢的太强需要 10 分中17 分钟后桥就要倒塌了请问：4 个人要用什么方法才能全部安全过桥？【例 5】 有一家五口人要在夜晚过一座独木桥他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要 12 分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8 分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要 6 分钟；两个孩子中姐姐需要 3 分钟，弟弟只要 1 分钟当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持 30分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？【巩固】
5、 (迎春杯试题)小强、小明、小红和小蓉 4 个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们 4 个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过 2 人，因此必须先由 2 个人拿着手电筒过桥，并由 1 个人再将手电筒送回，再由 2 个人拿着手电筒过桥直到 4 人都通过小木桥已知，小强单独过桥要 1 分钟；小明单独过桥要分钟；小红单独过桥要 2 分钟；小蓉单独过桥要 分钟那么，4 个人都通过小木桥，最1.5 2.5少要多少分钟？【例 6】 有甲、乙两个水龙头，6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满 6 个人的水桶所需时间分别是 5 分钟、4 分钟、3 分
6、钟、10 分钟、7 分钟、6 分钟怎么安排这 6 个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？【巩固】 6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满 6 个人的水桶所需时间分别是 5 分钟、4 分钟、3 分钟、10 分钟、7 分钟、6 分钟现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这 6 人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？【巩固】 理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、15、20 和 24 分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少时间为多少？【例 7】 (101 培训试题)车间
7、里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20 分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失 5 元现有两名工作效率相同的修理工， 怎样安排才能使得经济损失最少？ 怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？【例 8】 (三帆中学入学考试试题)设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要 1 分钟，注满第二个人的桶需要 2 分钟，如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？【例 9】 (小学数学报试题)右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间(单位：分)小明
8、从 A 到 B 最快要几分钟？HGFEDCBA756 5 04 6 463341【巩固】 (十一学校考题)下图为某三岔路交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B ，C 的机动车辆数如图所示，图中 ， ， 分别表示该时段单位时间通过路段1x23AB，BC ，CA 的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，问： ， ， 的大小关系 1x23 50530353020X3X2X1【例 10】 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显然公共汽车的速度比自行车速度快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可以看成是固定不变的
9、)，在任何情况下，他总是采用时间最少的最佳方案.下表表示他到达 A、B、C 三地采用最佳方案所需要的时间.为了到达离住地 8 千米的地方，他需要花多少时间？并简述理由.板块二、合理安排地点【例 11】 如图，在街道上有 A、B、C、D 、E、F 六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在何处？FEDCBA【巩固】 如图，在街道上有 A、B 、C、D、E 五栋居民楼，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应立于何处？EDCBA【巩固】 有 1993 名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位
10、沿公路走到集合地点的路程总和最小？【例 12】 如图，在街道上有 A、B、C、D 、E 五栋居民楼，每栋楼里每天都有 20 个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？ EDCBA【例 13】 在一条公路上每隔 100 千米，有一个仓库(如图)共有 5 个仓库，一号仓库存有 10 吨货物，二号仓库有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 公里需要 元运输费，那么最少要多少运费才行？0. 40一20一10一一一一一一【巩固】 (人大附中分班考试题)在一条公路上，每隔 10 千米
11、有一座仓库(如图)，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1千米需要运费 元，那么集中到哪个仓库运费最少？0.960一10一20一30一10一EDCBA【例 14】 在一条公路上，每隔 100 千米有一座仓库，共有 8 座，图中数字表示各仓库库存货物的重量(单位：吨)，其中 C、G 为空仓库现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米需要 元，那么集中到那个仓库中运费最少，需要多少元运费？0.5601052010 30HGFEDCBA【巩固】 (04 年我爱数学夏令营试题)一条直街上有 5 栋楼，从左到右编号为
12、1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是 50 米第 1 号楼有 1 名职工在 A 厂上班，第 2 号楼有 2 名职工在 A 厂上班，第 5 号楼有 5 名职工在 A 厂上班A 厂计划在直街上建一通勤车站接送这 5 栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距 1 号楼多少米处？ 【例 15】 (奥数网习题库)右图是 A，B，C，D ，E 五个村之间的道路示意图，中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离(单位：千米)现在要在五村之中选一个村建立一所小学为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案EDCBA5423 5035202040【巩固】
13、(三帆中学分班考试题)有七个村庄 ， ， ， 分布在公路两侧(见右图)，由一些小路与1A2 7A公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？一一A6A5A7A4A3A2A1FEDB C【例 16】 (奥数网习题库)某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如右图试问麦场设在何处最好？(运输总量的千克千米数越小越好) 6000一一 4000一一1000一一5000一一2000一一3000一一GFEDCBA板块三、合理布线和调运【例 17】 新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水(如下图，距离单位为千米)，要安装水管有粗细两种选择，粗管足够供应所有村庄使用，细管只
14、能供一个村用水，粗管每千米要用 8000元，细管每千米要 2000 元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以降低费用，怎样安排才能使这项工程费用最低？费用是多少元？ 52223242530JIHGFEDCBA一一一一【例 18】 (奥数网习题库)有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水可以用粗、细两种水管，粗管每千米 7000 元，细管每千米 2000 元粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示(图中单位是千米)，现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？A10A9A8A7A6A5A4A3A2A152223242530一一【例
15、19】 北京、洛阳分别有 11 台和 5 台完全相同的机器，准备给杭州 7 台、西安 9 台，每台机器的运费如右表，如何调运能使总运费最省？6001000700800一一一一一一一一一一一一/一 一一【巩固】 北京、上海分别有 10 台和 6 台完全相同的机器，准备给武汉 11 台，西安 5 台，每台机器的运费如右表，如何调运能使总运费最省？一一一一/一一一 一一 一一一一一一5007006001000【例 20】 北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地 10 台，上海可以支持外地 4 台现决定给重庆 8 台，汉口 6 台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制
16、造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？5834一一一一一一一一一一一一/一 一一【例 21】 北仓库有货物 35 吨，南仓库有货物 25 吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去其中甲工厂需要 28 吨，乙工厂需要 12 吨，丙工厂需要 20 吨两个仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位：公里)已知运输每吨货物 1 公里的费用是 1 元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元？161256810 一一一一一一一一一【例 22】 A、B 两个粮店分别有 70 吨和 60 吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要 30 吨、40 吨和 50吨大米从 A，B 两粮店每运 1
17、 吨大米到三个居民点的运费如右图所示：如何调运才能使运费最少？一一一一/一一一 一 一AB030400一3020【例 23】 一支勘探队在五个山头 A、B、C、D、E 设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）【例 24】 下图是一个交通示意图， 、 、 是产地(用表示，旁边的数字表示产量，单位：吨)，ABC、 、 是销地(用表示，旁边的数字表示销量，单位：吨)，线段旁边有括号的数字表DEF示两地每吨货物的运价，单位：百元(例如 与 两地，由 到 或由由 到 每吨货物运价DBDB元)将产品由产地全部运往销地，怎样调运使运价最小？最小运价是多少？
18、10 一3一556589 (1)(3)(4)(6)(4)(3)FEDCBA板块四、其他最优化问题【例 25】 用 10 尺长的竹竿做原材料，来截取 3 尺、4 尺长的甲、乙两种短竹竿各 100 根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？ 【例 26】 山区有一个工厂它的十个车间分散在一条环行的铁道上四列货车在铁道上转圈运送货物。货车到了某一车间，就要有装卸工人装上或卸下货物各车间由于工作 量不同，所需装卸工人数也不同，各车间所需装卸工人数如图所示。当然，装卸工可以固定在车间等车；也可以坐在货车上跟车到各车间去干活；也可以一部分装卸 工固定在车间，另一部分跟车问怎样安排跟车人数和各车间固定人数，
19、才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？【例 27】 现有 段铁链，每段上有 个封闭的铁环现在要打开一些铁环，把这 个铁环焊接成一个一54 20环套一环的圆圈如果每打开一个铁环要 分钟，焊接上一个铁环要 分钟那么焊成这个圆23圈，至少需要_分钟第 8题【例 28】 国王准备了 1000 桶酒作庆祝他的生日，可惜在距离生日前十日，国王得知其中有一桶酒被人下毒，若毒服后则正好第 10 日发作有人提议用死刑犯试毒，问至少需要多少个死刑犯才能保证检验出一桶有毒的酒桶？如何试毒？【巩固】 欢欢、迎迎各有 4 张卡片，每张卡片上各写有一个自然数两人各出一张卡片，计算两张卡片上所写数的和，结果发现一共能
20、得到 16 个不同的和那么，两人的卡片上所写的数中最大的数最小是 【例 29】 一个物流港有 6 个货站，用 4 辆同样的载重汽车经过这 6 个货站组织循环运输每个货站所需要的装卸工人数如下图为了节省人力，可安排流动的装卸工随车到任何一个货站装卸在最优的安排下使物流港装卸工总人数最少，则是 人【巩固】 一个工厂有 7 个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品每个车间装卸货物所需工人数为 25、18、27、10、20、15、30若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？【例 30】 一次，齐王与大将赛马每人有四匹马，分为四等田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序一次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等自己的四等田忌有 种方法安排自己的马出场顺序，保证自己至少能赢得两场比赛
