1、- 1 -1. 已知数列 的通项公式为 若 成等差数列，则 的取na1,na*2,(N,2)nnkak值集合是_.解 ，21824nkk，从而可得 . 答案为 .4,8k(,)10,5(6),8(3,12)n5,68122. 已知等差数列 a的前 n 项和为 nS，若 20aa，3201201，则下列四个命题中真命题的序号为 _ S； ； 201； 201S 解析： 由题可得 ，且 ， 所以不好判断；应为大于2012aa,201（一种结构的思维！）3.已知数列 的通项公式为 ， 若对于一切 的自然数，不等式na1na1n恒成立,则实数 的取值范围为_32)(log2.21 n a解： 1nn
2、n 令 ，122baa232n nba 111()nn ， 恒成立； 数列 对 ， 上单调递增,N0nnbN ；由题意可知min2347() 2ba min2log()()123ab 又 ； ； log1a1a54.已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，若 na1212345aa对 恒成立，则实数 的取值范围是 _221nat*Nt(,1234521na2343512()()nna- 2 -，所以 ，所以242()na 22484nan2284nt对 恒成立， ，8t*N1t5：已知数列a n的首项 a1a，S n是数列a n的前 n 项和，且满足：S 3n 2anS ，a n0，n2，nN *
3、 （1）若数列 an是等差数列，求 a 的值；2 n 2 n 1（2）确定 a 的取值集合 M，使 a M 时，数列a n是递增数列 解：（1）在 S 3n 2anS 中分别令 n2，n3，及 a1a 得2 n 2 n 1(aa 2)212a 2a 2，( aa 2a 3)227a 3(aa 2)2，因为 an0，所以 a2122a，a 332a 因为数列a n是等差数列，所以 a1a 32a 2，即 2(122a)a32a，解得 a3经检验a3 时，a n3n，S n ，S n1 满足 S 3n 2anS 3n(n 1)2 3n(n 1)2 2 n 2 n 1（2）由 S 3n 2anS ，
4、得 S S 3n 2an，即(S nS n1 )(SnS n1 )3n 2an，2 n 2 n 1 2 n 2 n 1即(S nS n1 )an3n 2an，因为 an0，所以 SnS n1 3n 2， (n2)， 所以 Sn1 S n3(n1) 2，得 an1 a n6n3，(n2) 所以 an2 a n1 6n9，得 an2 a n6，(n 2)即数列 a2，a 4，a 6，及数列 a3，a 5，a 7，都是公差为 6 的等差数列， 因为 a2122a，a 332a所以 an a， n 1，3n 2a 6， n为 奇 数 且 n 3，3n 2a 6， n为 偶 数 ， )要使数列a n是递
5、增数列，须有a1a 2，且当 n 为大于或等于 3 的奇数时，a na n1 ，且当 n 为偶数时，a na n1 ，即 a122a，3n2a63(n1) 2a6(n 为大于或等于 3 的奇数)，3n2a63(n1)2a6(n 为偶数) ，解得 a 94 154所以 M( ， )，当 a M 时，数列 an是递增数列 94 154 6：已知数列 满足 数列 满足 ，数列 的前 项n113,2,4nb1nanc和 （1） 求数列 的通项公式；（2） 令 ， 为数列2nSnb 1()dT- 3 -的前 项和，求 ；（并项求和法） （3） 若使不等式 成立的nd21nT 128npncb自然数 恰好
6、有 4 个，求正整数 的值.p解答：(1) 由 即 ， 为首项是 ，公比为 2 的等比数列1()nna12nbnb4；(2) ，324nbA35nc5nc21843nTn（1）由 得 ， 时上式成立 时，原式变为18pncb3482np1,令 则 时，34258n35()nf32()25()nfA4n(1)f(3)4(5)6(7)fff 37(3)1,4),(),(6)248ffff由 解得 ，所以841pp4031p3p7.设数列 ，对任意 都有 ，(其中 、na*N112()()n nkbapa k、 是常数)（1）当 ， ， 时，求 ；bp0k34p3（2）当 ， ， 时，若 ， ，求数
7、列 的通项公式；kbp95n（3）探究数列 为封闭数列的充要条件na（4）若数列 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当 ， ， 时，设 是数列 的前 项和， ，试问：是否存在1k0bpnSna21a这样的“封闭数列” ，使得对任意 ，都有 ，且*nN0nS若存在，求数列 的首项 的所有取值；若不存在，12318nSS na1- 4 -请说明理由解：（1）当 ， ， 时， ， 0k3b4p1123()4()nnaa用 去代 得， ， -得，n12()na， ，在中令 得， ，则 0， ，113()2nna3n1an13na数列 是以首项为 1，公比为 3 的等比
8、数列， =n 123n 2（2）当 ， ， 时， ， k0bp112()()nnaa用 去代 得， ， 1n121()nn -得， ， 0na用 去代 得， ， 21()na-得， ，即 ， 数列 是等差数列21nn21nnana ， ，公差 ，3a9593d3n（3） ，则 恒成立，则 恒成立，则121nmp12pa12a的偶数1a（4）由（2）知数列 是等差数列， ，na21a1()na又 是“封闭数列” ，得：对任意 ，必存在 使n ,mnNp，得 ，故 是偶数，111()2()()ap1()m1a又由已知， ，故 . 一方面，当 时，18S12a182，对任意 ，都有 。1()nSa0*nN1231nSS另一方面，当 时， ， ，则12()nSn- 5 -，取 ，则 ，不合题意1231nSS 2n12138S当 时， ， ，则14a()n1()3n，12311()823nSSn 8当 时， ， ，16a1()na()()nS，123 11()83238nSS又 ， 或 或 或8a1416a1810a
