1、1概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、 2、对偶率：)(;ABABA .BAB；3、概率性率： )();()( ,PPA时 有 ：特 别 ， )(212121 为 不 相 容 事 件 ， 则、有 限 可 加 ： )()()( ABBA对 任 意 两 个 事 件 有 ：4、古典概型 22n !)(n,)-!(2nCPC！ ， 则自 成 一 双 为 ：！（解 ： 分 堆 法 ： 每 堆 自 成 一 双 鞋 的 概 率只 ， 事 件堆 ， 每 堆 为只 ， 分 为双 鞋 总 共例 ：5、条件概率 称 为 无 条 件 概 率 。的 条 件 概 率 ，条 件 下 ， 事 件称 为 在 事
2、 件 )(,)(|( BBAAPB|P()A( )|(乘 法 公 式 ： |)iii全 概 率 公 式 ： )|()(|( jjj iii BBPAi贝 叶 斯 公 式 ：例：有三个罐子，1 号装有 2 红 1 黑共 3 个球，2 号装有 3 红 1 黑 4 个球，3 号装有 2 红 2黑 4 个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球， （1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？ .3480)(|)|()2( .6931)( .21)|(;43)|(;32)|()|(),i)( 1121 321ii APBBPBP BAPBAPAiii由 贝 叶
3、斯 公 式 ： ， ， 依 题 意 ， 有 ：由 全 概 率 公 式 是 一 个 完 备 事 件、， 由 题 知取 得 是 红 球。，号 罐球 取 自设解 ：6、独立事件（1）P(AB)=P(A)P(B),则称 A、B 独立。(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件 A 发生或事件 A 不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p, (00）都是常数。2分布函数为： 。当 称为标准.,21)(2)(xt xdexF 时 ，1,0正态分布，概率密度函数为： 分布函数为：,21)2xx（.21)(2dtexx定理：设 )1,0(),(NXYNX则其期望 E(X)= ,D(X)= 。249、
4、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量 X 的所有可能取值确定因变量 Y 的所有可能值，然后通过 Y 的每一个可能的取值 (i=1,2,)来iy确定 Y 的概率分布。（2）连续型随机变量函数分布方法：设已知 X 的分布函数 或者概率密度 ，)(xFX)(xfX则随机变量 Y=g(X)的分布函数 ,其中)( YY CPygyPF， ，进而可通过 Y 的分)(|yxgCy dxfCyXY)(布函数 ，求出 Y 的密度函数。FY例：设随机变量 X 的密度函数为 ，求随机变量其 他,01|1)(xxfX。的 分 布 函 数 和 密 度 函 数12Y 其 他所 以 ， 时
5、，当 时 ， 得 ：当时那 么 当 得 ：函 数 ， 则 由的 分 布 函 数 和 概 率 密 度分 别 是 随 机 变 量和解 ： 设 ,021)( 2,1,)(,0)(,0|)1( 012y,1(2 )(|)(1)( 2,0)(, 1)(1 1-210 102 2yyFxf yFdx dxyXPyYyx xxPXPYy yyXyYFyfFYX YYyYYY 10、设随机变量 XN( ,Y= 也服从正态分布.即)2baX。(,baNY511、联合概率分布(1)离散型联合分布： 1ijiPX Y 1yj PX= ix1xip j11iPijj1jiPPY= jy iij1(2)连续型随机变量函
6、数的分布：例：设随机变量（X，Y）的密度函数1(),02,(,)8,xyyfy其 他求 ， ，D(X+Y).(),(),cov(,)fxyEXYXY解：当 0x2 时由 ，得： ，当dyxf）8/10 xfX4/1/8x(2）x2 时，由 ，所以，0)(2dyX0,4/11/8x,02)( xXf其 他同理可求得: ；2y0,4/11/8y02)( Yyf， 其 他 E(X)= ,由对称性同理可求得，E(Y)=7/6。7/6dx(20）Xf因为 E(XY)= 4/3.y)dx1/8(),(y2020 df所以，cov（X,Y ）= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6) =-1/
7、36。 61)7()()() 2202 xfXEXD，同理得 D(Y)= ,所以， =361Y1)(,covD6D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)= 9512、条件分布：若的 条 件 分 布 函 数 发 生 条 件 下 ，为 在称X AxFAPXxPAxF )|(,|)|( 13、随机变量的独立性：由条件分布设 A=Yy, 且 PYy0,则：，设随机变量（X,Y ）的联合分布概率为)(,|( yFxyYPxXyYxFYF（x,y） ，边缘分布概率为 ，若对于任意 x、y 有：)(X、，即： ，则称 X 和 Y 独立。,yxyxXP )(),(FYX14、连续型随机变量的条件密
8、度函数：设二维连续型随机变量（X,Y ）的概率密度为,边缘概率密度函数为 ，则对于一切使 0 的 x,定义在 X=x 的)(yxf )(yfxfYX、 )(xfX条件下 Y 的条件密度函数为： ，同理得到定义在 Y=y 条件下 X 的条)(,| xffX件概率密度函数为： ，若 = 几乎处处成立，则)(,)|(| yfxfYYX,yf)(yfxYX称 X,Y 相互独立。例：设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为：，求（1）确定常数 c；（2）X,Y 的边缘概率密其 它,00,),()2(yxceyxfy度函数；（3）联合分布函数 F(x,y);(4)PYX;(5)条件概率密度函数 ；（6）P
9、X0，D(Y)0，则当且仅当存在常数 a，b（ ） ，使：0.1;101| XYXYXYabaP 时 ，当时 ， 而 且时 ，附注： 独 立 。与从 而 不 能 推 注 可 能 有 其 他 函 数 关 系 ，之 间 不 是 线 性 关 系 ， 但与时 ， 只 能 说 明XY0设 e=EY-( ,称为用 来近似 Y 的均方差，则：设 D(X)0，D(Y)0,有：2)baba使均方误差达到最小。),(,)(cov000 XEYXD18、切比雪夫不等式：设随机变量 X 的期望 E(X)=,方差 D(X)= ,则对于给定任意正数2，有： .1| 22 PP， 或 者 为 ：919、大数定理：设随机变量
10、 X ,X ,X 相互独立，且具有相同的期望和方差：12n，i=1,2,3， ，则对于任意 0,有：2)(,)(iiDXEniiY1记 为 概 率 。发 生 的 次 数 ， 重 伯 努 利 中为其 中推 论pA npnPYP AAnnn (|,1| liml 20、中心极限定理；（1）设随机变量 X ,X ,X 相互独立，服从同一分布，且12n， i=1,2,3，则：2)(,)(iiXDE.21/1 2li dtexnPtniin (2)棣莫佛拉普拉斯定理：设随机变量 X ,X ,X 相互独立，并且都服从参数为12np 的两点分布，则对任意实数 x，有： ）xdtepnXPtxniin (2)
11、1(/2lm第二部分 数理统计 ，分 布 。的服 从 自 由 度 为 的 样 本 ， 称 统 计 量是 取 自 总 体分 布 ： 设）（ nDEnXXNn 2)(,)()1,0(, 2 222211 1024、点估计常用方法（1）矩估计法：先求 E（X ）,得到一个 E(X)与未知参数的式子，用E(X)表示未知参数，再把 E(X)用 代替即可。例：已知总体 X 的概率分布为 求参数 的矩估计。,210,)1(22kCkP。的 矩 估 计 为 ：得 到代 替用 样 本 均 值 ，）（）（解 ： 2-1)( 2)(-1-x0)( 221 XXE XExni （2）最大似然估计：一般方法：a、写出最
12、大似然函数 L( ;),21nx或 c、判断并求出最大值点，在最大值点0)(bdL令 求 出 驻 点 ；,0)(lndL得表达式中，用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值。 估 计 量 。的 矩 估 计 量 和 最 大 似 然为 一 个 样 本 ， 试 求 参 数，设 是 未 知 参 数 ，（， 其 中其 它的 概 率 密 度 为例 ： 设 总 体 nXxxf 2,1 )1,1)() nii niinii nnni nx xdL xnLxxLXxX XEEXdxE1 1 21211210l- ,0l)(l,l)l( )l()l()(,(,- )(,1)(2,1)()( 的 最 大 似 然 估 计 值 ：从 而 解 得取 取 对 数 似 然 函 数 为 ：的 一 组 观 察 值 ， 则 最 大，是 相 应 样 本设 ，得 到 矩 估 计 为 ： 即代 替用 样 本 均 值解 ：
