1、1Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。 I 质量连续性方程（质量守恒方程）I-1 方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变质量守恒假设。质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。在此假设下，对物质体 有 。根0dt据输运定理，设 时刻该系统所占控制体为 ，对应控制面 ，则有t CVS质量守恒方程积分形式。0ACVSdvst上式亦表明， 内单位时间内的质量减少= 上的质量通量。由奥高公式得 ，于是
2、有 。()CSCVvsv ()0CVvdt考虑到 的任意性，故有 ，即0t质量守恒方程微分形式dvI-2 各项意义分析：1） 流体微团密度随时间的变化率；定常流动 ；不可压缩流动 ；均质流体的不dt 0t0dt可压缩流动 。.const2）由 （ 为微团的质量）知 （ 为该微团 时刻体积） ，从而知 =0dtm1dttt v流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。3）不可压缩流体 ，故有 。t0v由奥高公式有 ，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有 。ACVCSvds 0ACSvds不可压缩流动满足的 或 是对速度场的一个约束。Svds例 1、1）定常流场中取一段流管，则由 易知：0AC
3、；如为均质不可压缩流动，则 。21SV12VS2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）则有 ，4(,)(rtm即 ，其中 代表点源强度（单位时间发出的流2V)t体体积） 。例 2、均质不可压缩流体（密度为 ）从圆管（半径为 ）入口端R2以速度 流入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即 。0V 21mrVR通常称这种流动为圆管的入口流。试求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度 。解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有： ， 由于管壁无渗透故上式0AdS与可写为： ，可得 。200RVrd02VmII 动量方程流体团所受合外力 = 该流体团的质
4、量 其加速度II-1 方程的导出1 直角坐标系下推导微分形式的动量定理时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团 时t t刻所占控制体 ，其边界 。CVS受力分析：体力合力=Fd面力合力 AnCSp, ,22, , ,22,xx xyxyyzxzzxx xyzspzsppspysz, ,22xyyzxyxz zpsps 于是有 ，yxzpdVFt即 。yxzpt2x3分量形式：yxxxzyxyzyyxxzzzpdvFttpdvt或写成 ，jiiiFdtx或 。VPt意义：单位体积流体团所受面力的合力。2 积分形式的动量定理的导出考虑体系 ，该流体团 时刻所占控制体 ，其边界 。
5、由动量定理有tCVSnCdFdptA利用输运定理可得 。CVCSdt于是得到积分形式动量定理： nVSVCSdpt该定理的应用：经常应用于求流体与边界的相互作用力。例题 1 求流体作用于闸门上的力。 （设渠宽 ）w解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的 方向分量方程。x212DVx方 向 动 量 通 量 21 220 0()()()DDa a aRPgydPgydhDP与闸门受合力 ha)(1代入动量方程方程得 )(2)( 21122 gwVw故 )()(2121221 DVwDgR 注：求 时可直接设 。R0aP注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如下： d
6、Vdd Vtttt4其中 ，因而得到0dmtt。CVdddVttt上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变化率之和。另外， ，nCSCSCVpdPA综上可得 ，再考虑到系统大小形状的任意性可得 。0VFt dVFPt尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。3 兰姆葛罗米柯形式的动量方程 2rotVVFPtII-2 地转参照系下的动量方程就很多空间和时间尺度都较小的流动而言，地球参
7、照系通常课近似看作惯性系。但是对于大尺度的流体运动问题，必须考虑地球自转的影响。在海洋和大气的大尺度运动问题中，通常把地心看成惯性参照系，地球相对于地心有自转运动。我们在此介绍地转参照系下的动量方程，为将来学习物理海洋学、地球流体动力学等打基础。地球上运动质点的绝对速度 ，其中 代表质点相对于地球表面的运动速度，牵连速度areVrV（牵连速度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速度） ， 为地球自转角速度。eVr 绝对加速度： ，arecw其中 代表相对加速度，牵连加速度 ，科氏加速度 。r edwrrt2crwV动量方程： 1r ecdVFPt其中 ， 。rrrdtiix 因为真实力与参照
8、系无关，故 P一般情况下可以忽略地球自转角速度的变化，认为 ，于是有0dt。12rr rVFPrVt III.能量方程III1 能量方程的推导： 时刻流体团 所占控制体 ，其边界 ，能量平衡关系式：tCVS5时刻t1与 2 3 4与与其中， 代表单位质量流体的内能（分子热运动动能+分子间相互作用势能）2(1)()dVUt2nCSCVFpsA， 为热流强度，根据付利叶热传导定律对各向同性流体)3(SfskTffkT设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为 ，则)4( q(4)CVqd故能量方程积分形式为： 2() nCVCSCSCVdUFpskTsqtA因为 2 222 2Vddt t dV
9、dVUUt tt 与nCSCSCSCSCSpVsnPsnPsPVsPAAA与kTkT所以得到能量方程微分形式： ，2()()dVUFkTqt其中 。()()ji jiijiijijijippPVspaxxx由于旋转运动张量 是反对称张量，而应力张量 是对称张量，故有 （因 是对称张量）AP0jiijp记 。另外 ，于是有如下形式的能量方程：:jiijpsS()jiipVx。2()():()dUFPSkTqt方程中各项意义分析：6代表单位体积流体能量变化率；2()VdUt代表作用在单位体积流体微团上的体力的功率；F代表作用在单位体积流体微团表面的面力的合力的功率；()VP代表单位时间内单位体积流
10、体微团通过热传导和辐射吸收从外界获得的能量。kTqIII 2 动能方程将动量方程 两边同时点积 得： 。dVFPtV()dFVPt其中 ，故有动能定理21()2dttt。2()VFPt上式表明：单位体积流体微团动能变化率作用于该微团上的体力的功率作用于该微团上的合面力的功率。III 3 热流量方程： :()dUPSkTqt面力的功率包含两项 ，其中合面力的功率 转化为系统的宏观运动动能，V ()VP另一部分 转化为系统的内能。:PS尽管系统内部的应力是内力，但是粘性应力必然导致机械能的耗散。如果系统要维持定常状态，必须有外力对系统做功，补充其机械能损耗。参考本章后面的例题。IV.本构方程数学预
11、备：记 ，根据二阶张量定义，将坐标系旋转，从原坐标系 到旋转后的坐标系 ，二阶VE o-xyzo-xyz张量 的张量元满足变换：，j nimjixx其中变换矩阵 。ijikjij逆变换： 。jnmijiVxx本构方程的导出71 应力张量分解： Pp偏应力张量，代表运动流体的应力张量与各向同性应力张量（记为 ）的差异。记作P p； 是对称二阶张量。ij2 线性假设（Newton 粘性定律的推广，对于剪切流动 ， ）12ukx112ux偏应力产生于速度场的不均匀性。线性假设：假设偏应力张量各分量与速度梯度张量的各分量成线性关系：。kijijlucx是四阶张量，满足变换关系 。ijkl ijklim
12、jnkplqmncc是由 81 个系数组成的一组系数，这组系数确定了偏应力张量各张量元与速度梯度张量各张量元之ijlc间的关系，由于偏应力张量和速度梯度张量都满足二阶张量定义，于是有 qmnmnpijijij lkpimjnlqkucuxxc 可知 。数学上定义，由 81 个元素组成的量，若其元素满足该变换的则称之为四ijklijnkplqnklc阶张量。3 各向同性流体及其四阶张量 的表达式ijklc31 各向同性流体：若在原坐标系 和旋转后的坐标系 中偏应力张量分别表示为o-xyzo-xyz和 ，若 则应当有 ，于是要求 。lijijkucxlijijkucllkuijijijklijlc
13、*考虑一个特例来理解流体粘性的各向同性：水池中插入并移动平板引起的两个纯剪切流动的粘性应力大小与平板放置方向无关。只要加上一个速度梯度，就对应一个粘性应力，粘性系数与速度梯度的方向无关。112122lkuucxx 112122lkuucxx*1x2 11u 12u832 对于各向同性流体，可以证明（参见吴书 p75）四阶张量 可表示为ijklc，其中 是标量，即ijklijklikjliljkc,。,ijkl lijklilj when 33 偏应力张量是对称张量 ，于是 ，于是 。ijkljilcijklijklikjliljkc另外，由上式还可知 。ijklijl4 分解 ，于是lkllu
14、saxijijklijklijklcsacs如果流体只有旋转运动而没有变形运动，那么偏应力张量0。偏应力与变形运动相关联。5 将 的表达式带入上式，得ijklc2ijijlikjliljklkijijsss最后得到： 12323ijiijkijijkiijijkijij kijkijjjpss其中 代表无体积变化的纯剪切运动， 代表各向同性膨胀运动。13ijkijs kijs6Stokes 假设对于不可压缩流体， 0。对于可压缩流体 表示流体发生膨胀或收缩时引起的法向应力，kijs kijs被称为第二粘性系数或膨胀粘性系数。Stokes 假设：系统处于准热力学平衡状态时，可近似认为 。07 的
15、意义考虑纯剪切运动， ，粘性应力 ，可知 为动力学粘性系数。uky2121usy8 的意义p设流体满足 Stokes 假设，可以证明作用于球形微团上的法应力的平均值。pSo, its a measure of the local intensity of the “squeezing” of the fluid.证明：The average value of the normal component of the stress on a surface element at position over all rdirections of the normal to the element i
16、s n9证明：.11sin44n ijpPndpdSince ,(sico,si,co)1si3nij ijipp或者在球坐标系下 ，(1,0)resin4nrrrpPedHence， characterizing the fluid pressure in a moving fluid which is analogous to the static fluid pressure pin the sense that its a measure of the local intensity of the squeezing of the fluid.（关于 与热力学压强的关系，建议学生查庄礼
17、贤流体力学对应章节。 ）9 关于偏应力张量 PA general relative motion near any point may be represented as the superposition of two simple shearing motion, each of which gives rise to a tangential stress determined by and the corresponding velocity gradient, together with a rigid rotation and an isotropic expansion, nei
18、ther of which has an effect ( in a fluid of isotropic structure ) on the non-isotropic part of the stress tensor and may of cause be regarded )3(2ijijijsdas the only possible linear tensorial relation, involving one scalar parameter, between and a symmetrical ijstensor whose diagonal elements have z
19、ero sum . ijd(以上 8 和 9)引自 Batchlor,1994) 本构方程（广义牛顿公式）的适用范围：1）大多数液体；2）非高温、非高频振动的气体；非牛顿流体：油漆、橡胶、蜂蜜、血液、沥青等。例 1 写出纯剪切流动偏应力张量各分量例 2 吴书 p203，23 1） 平板上的切应力 ，平板所受总阻力 。02121usyh021ublh2） 处流体内摩擦力为 0。3/yh例 3 吴书 p203，22柱坐标系下应力张量的表达式见 p190。除 外，应力张量其他非对角元均为零。rzrup管壁处的切应力 ，单位长圆管对流体的阻力 。002rzrcr 20024rzpcr与圆管共轴的半径为
20、 的单位长流体柱表面的总摩擦力 。/ c10V 流体力学基本方程组V-1 完备的微分形式流体力学基本方程组 ()0,:(), 12, (,)3,.tdFPUSkTqtPpIIdivVIiT 内能 ，具体函数形式由热力学理论给出。对于完全气体 。 ,UT vUCTV-2 N-S 方程将 代入动量方程即得： ，其中 。2()3ksPpISI 12()3dVpFSIt ks当流场温度变化不大时， 近似为常数，故有，22()33VSISV其中。12ji ji iijijuuVxxx 最后得到。2()3dVpFVt又，若流体不可压缩，方程化为 NS 方程： 。2t又，若流体粘性可略，方程化为理想流体 Euler 方程： 。dVpFtV-3 耗散函数耗散函数 单位时间内粘性导致的单位体积流体机械能转化成的内能。:23ijijijijjiPSpsssdv2)(ijii 22:()3pVSVp其中 为压缩功，而 为粘性力的功，它将导致机械能转化成内能。pV:()3S
