1、第 2 章 习题同步解析1. 下列给出的两个数列，是否为随机变量的分布律，并说明理由（1） ；（2） ；（3）5,431,05ipi ,210,652ipi,2i解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证 是否满足下列两个条ip件： ， ,1,0ipi 1ip依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为 ；（3）中的数列不是随机变量的分布律，这是因064953为 5120ip2. 一袋中有 5 个乒乓球，编号分别为 1，2，3，4，5，从中随机地取 3 个，以 表X示取出的 3 个球中最大号码，求 的概率分布X解 依题意 可能取到
2、的值为 ，事件 表示随机取出的 3 个球的最大号码,X为 3，则另两个球的只能为 1 号，2 号，即 ；事件 表示随机取3510PC4X出的 3 个球的最大号码为 4，因此另外 2 个球可在 号球中任选，此时,；同理可得 235140CPX 2435160PX的分布律为3 4 5101063. 某射手有 5 发子弹，现对一目标进行射击，每次射击命中率为 ，如果击中就停7.0止射击，如果不中就一直射击到子弹用尽， 求子弹剩余数的分布列解 令 表示子弹剩余的数目，则 可能取值 ，根据题意得XX,234240.7;30.7.1;0.7.063PP43 11.189;.81iXi的分布律为XX1 2
3、3 4P0.8.90.1.74. 试确定常数 ，使 成为某个随机变量 的分布律，c,icX并求： ； 2PX152X解 要使 成为某个随机变量的分布律，必须有 ，由此解得 ；ic 1240iic316c（2） 201PXPX28436（3） 152 15. 一口袋中有 6 个球，在这 6 个球上分别标有 这样的数字从这袋中3,2任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字 的分布律与分布函X数解 可能取的值为 ，且 ，即X3,12111,326PXP的分布律为-3 1 26的分布函数X0,3,115,2,61.xFxPXx6. 设离散型随机变量 的分布函数为 ，求 的分布律X0
4、, .418, 31xFxX解 可以看出 取值为 ，且 在每点取值的概率是该点的跳跃高度，所以1,3；()0)(0).40.PXFF；1()10)(1)0.84.PXFF33(2所以其分布列为-1 1 2P0.4.7. 设随机变量 ，已知 ，求 与 的值(6,)XBp5XPp2PX解 由于 ，因此 661,01,6kkCp由此可算得 即551(),(),P解得 ；56()pp2p此时， 266154XC8. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.0001，在某天该段时间内有 1000 辆汽车通过，求事故次数不少于 2 的概率解 设 为 1000 辆汽车中出事故的次
5、数，依题意， 服从 的二X01.,1pn项分布，即 ，由于 较大， 较小，因此也可以近似地认为 服从(10,.)XBnpX的泊松分布，即 ，所求概率为.np (0.1)P01.0.21!948374.679.PXe9. 一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为 4 的泊松分布，求(1)某一分钟恰有8 次呼唤的概率；(2) 某一分钟的呼唤的次数大于 3 的概率解 设 为电话总机每分钟收到呼唤的次数，依题意 ，则X()XP（1）840.29!Pe（2）3440311.350.6!kkXe10. 某航线的航班，常常有旅客预定票后又临时取消，每班平均为 4 人若预定票而又取消的人数服从以平均人数为参数
6、的泊松分布，求:(1) 正好有 4 人取消的概率; (2) 不超过 3 人(含 3 人) 取消的概率;(3) 超过 6 人(含 6 人)取消的概率; (4) 无人取消的概率.解 设 为取消的人数，依题意 ，则X(4)XP（1） .40195!Pe（2） .3403!kX（3） .5446011.7852014!kkPee（4） .0483!X11. 设连续型随机变量 的密度函数为其 他01)(xAxf求（1） 常数 ；（2） ；(3) .0.5PX.25PX解：（1）112300()()1AAfxdx解 得 ：密度函数为： 其012)(xxf（2） .0.5.50.5200.PXfd（3） .
7、52.1PXP.120.251.9375x12. 设随机变量 的分布函数为X0)()(xeF求相应的密度函数，并求 1P解：因为 ，知随机变量 的密度函数为()FxfX1(),000()xxeefx所以 .11()2PXF13. 设随机变量 X 具有概率密度 0,)(3xKexf（1）试确定常数 ； （2）求 ； （3）求 .K0.1P()F解： （1）由于 ，即)(dxf=xf)( 13)3(30030 KexdKee x得 .于是 的概率密度3KX；0,)(3xxf（2） = ;(0.1)P.0df 748.31.0de（3）由定义 = 。当 时， =0；当 时，Fxt)(x()Fx0=
8、=f xee3301所以.0,1)(3xexF14. 若随机变量 在 上服从均匀分布，试求关于 的方程 有实根的(1,6) t210t概率是多少？解：方程 有实根的条件是 ，20t240或由于 在 上服从均匀分布，其密度函数为(1,6) 1,6,()5xfx其 它 .所以有实根的概率为 .62208Pd15. 某类日光灯管的使用寿命 (单位:小时)服从参数为 的指数分布.问任X12取一只这种灯管, 求能正常使用 1000 小时以上的概率 解：使用寿命 的密度函数为： X120,()xefx.所以 .1120200.510|67xxPxed16. 设 ，2(3,)N（1）求 ；5,410,|2,
9、3XPPX（2）试确定 使得 ；cc（3）设 满足 ，问 至多为多少？d.9d解：（1） ,532()()(10.5)328PX,10434 (.96,|22(.)7PX.3131(0)5PXx（2）由题意可知 ，即 ，查表可知 .c3()0.52c3c（3）因为 ，可知 ，得0.9.92XddP().1X，31()0.1().查表可知 ，所以 .(.2).5.4d17. 标准普尔中公司股票的价格（单位：美元）服从 的正态分布，问30,8（1） 某公司股票价格至少为 40 美元的概率是多少？（2） 某公司股票价格不超过 26 美元的概率是多少？（3） 若公司股票价格排名位于全部股票的前 10%
10、，则公司股票至少应达到多少？解：设股票价格为 ，由题意可知 ，X2(30,8)N（1） .440111(.5)016P（2） .2630()(.5)8（3）可设股票价格为 美元，由题意知 ，即 ，查k09PXk3().98k表可知 ，所以(1.9)0.5.94.3218. 设离散型随机变量 的分布列为X21012P0.1 0.2 0.3 0.3 0.1求（1） 的分布列；（2） 的分布列31Y2Z解：（1） 5147P0.1 0.2 0.3 0.3 0.1（2） Z0280.3 0.5 0.219. 设随机变量 服从 上的均匀分布，求随机变量 的概率密度函数X(0,2) 3YX解：由题意可知
11、的概率密度为 1,02,()xfx其 它 .函数 ，其值域为 ，单调且有唯一反函数 ， ；3()ygx0,8 3()hy0,8且 ，得 的概率密度函数为231hy Y2323 1,08,08,() ()6,Yxyf f其 它 其 它 .20. 设随机变量 ，求 的概率密度()XEXYe解：由题意可知 的概率密度为 20,()xf函数 ，其值域为 ，单调且有唯一反函数 ，()xyge1,()lnxhy；且 得 的概率密度函数为1,()hyY2ln1 3,2,0,()0,yeyf f 其 它 其 它. .21. 设 ，求（1） 的概率密度；（2）求 的概率密(0,)XN1YX|ZX度解：（1）先求
12、 的分布函数 注意到 的值域是 ，因此，()YFy211Y当 时， y()0YFyP当 时，12122yyXPX(1)/2(1)/2xy yXfxded再用求导的方法求出 的密度函数Y(1)4,()2(0yY efyF其.（2）先求 的分布函数 注意到 的值域是 ，因此，Z()Zz|X0Z当 时， 0z()FzP当 时，|ZzzPz21()xz zXfxded再用求导的方法求出 的密度函数 2 2,0, ,0,() ()00z zZeefzFfx 其其 .第 2 章 自测题与答案（满分 100 分，测试时间 100 分钟）一、 填空题（本大题共 10 个小题，每小题 2 分，共 20 分）1随
13、机变量 的分布函数 是事件 的概率X)(xF2当 的值为 时， 才能成为随机变量 的分a(),1,23kPXa X布列 3已知离散型随机变量 X 的概率分布如下表1 2 3P0.2 0.3 0.5则概率 ， 34设随机变量 服从 上的均匀分布，则 X01， 25PX5设离散型随机变量 ，若 ，则 (2,)Bp:91p6已知连续型随机变量 ，若概率 ，则常数 39Naa7已知连续型随机变量 ，若 ，则 ()XE:10.5PX8设随机变量 ，若 ，则 2,4,BpY91PY9已知连续型随机变量 的分布函数是 ，则X30,1()27,xFx， 2PX1P10设随机变量 ，则 服从 分布(2,8)N5
14、1YX答案：1 ； 2 0.5； 30.5,0.8； 40.3； 50.6； 63； PXx7 ； 8 ；9 , ； 10 ln0.95618271(9,20)N二、单项选择题（本大题共 5 个小题，每小题 2 分，共 10 分）1下面哪一个符合概率分布的要求( )A. B. (1,23)6xPX(1,23)4xPXC. D. ,2,82设随机变量 ，其概率密度的最大值为（ ） ),(2NXA. 0 B. 1 C. ； D. 121)(3设连续型随机变量 X的分布函数是 ，密度函数是 ，则 ( )(xFxfPXxA. B. C. D. 以上都不对)(xF)(xf04若函数 是一随机变量 的概率
15、密度，则（ ）一定成立fyA. 的定义域为0,1; B. 非负；)( )(xfyC. 的值域为0,1; D. 在 内连续xf ),5设随机变量 ，则随 的增大，概率 应（ ）2(,)XNPXA. 单调增大； B. 单调减小； C. 保持不变； D. 增减不定答案：1A 2D 3C 4B 5C三、计算题（本大题 5 个小题，每小题 10 分，共 60 分）1已知随机变量 ， ，求参数 ，并求 ()XP0.42PX解：由题意知 ，4 分 0.ln.5!ee所以 4 分211PX2 分ln2.50.40.352设随机变量 的分布密度函数为 ，且X01,(0,)()bkxbkf其，求 10.75Pbk,解： ，4 分11100()()|()bfxdxdkxk2 分110.52|71.752bbX
