1、第十一章 正弦稳态的功率 三相电路,本章先讨论正弦稳态单口网络的瞬时功率、平均功率和功率因数。再讨论正弦稳态单口网络向可变负载传输最大功率的问题以及非正弦稳态平均功率的计算。最后介绍三相电路的基本概念。,111 瞬时功率和平均功率,一、瞬时功率和平均功率 图示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下，它吸收的功率为,在单口网络工作于正弦稳态的情况下。端口电压和电流是相同频率的正弦电压和电流，即,其瞬时功率为,其中=u-i是电压与电流的相位差,瞬时功率的波形如图所示,图11-2正弦稳态单口网络的瞬时功率和平均功率,周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，用P表示，其定义
2、是,由此式看出正弦稳态的平均功率不仅与电压电流有效值乘积UI有关，还与电压电流的相位差=u-i有关，式中的因子cos称为功率因数。平均功率是一个重要的概念，得到广泛使用，我们通常说某个家用电器消耗多少瓦的功率，就是指它的平均功率，简称为功率。,下面我们讨论单口网络的几种特殊情况。 1. 单口网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个电阻。 此时单口网络电压与电流相位相同，即=u-i=0, cos=1，式(112)变为,其波形如下图所示。,瞬时功率p(t)在任何时刻均大于或等于零，电阻始终吸收功率和消耗能量。此时平均功率的表达式为,图11-3 电阻的瞬时功率和平均功率,2. 单口网络是一个电感或电容，或
3、等效为一个电抗。 此时单口网络电压与电流相位为正交关系，即 =u-i=90, cos=0，式(112)变为,此时平均功率的表达式(11-3)变为,这说明在正弦稳态电路中，任何电感或电容吸收的平均功率为零。,图11-4 电感和电容的瞬时功率和平均功率,其波形如图(a)和(b)所示。其特点是在一段时间吸收功率获得能量；另外一段时间释放出它所获得的全部能量。,3.由RLC元件构成的单口网络，其相量模型等效为一个电阻与电抗的串联或一个电导与电纳的并联。当等效电阻和等效电导为正时，其电压电流的相位差在-90到+90之间变化，功率因数cos在0到1之间变化。 此时瞬时功率p(t)随时间作周期性变化，所吸收
4、的平均功率为,式中的Re(Z)是单口网络等效阻抗的电阻分量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。 与此相似，式中的Re(Y)是单口网络等效导纳的电导分量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。,当单口网络中包含有独立电源和受控源时，计算平均功率的式(113)仍然适用，但此时的电压与电流的相位差可能在+90到+270之间变化，功率因数cos在0到-1之间变化，导致平均功率为负值，这意味着单口网络向外提供能量。 值得注意的是在用UIcos计算单口网络吸收的平均功率时，一定要采用电压电流的关联参考方向，否则会影响相位差的数值，从而影响到功率因数cos以及平均功率的正负。,功率因数c
5、os 之值与单口网络电压与电流间的相位差密切相关，故称=u-i为功率因数角。,二、功率因数 从式(113)可见，在单口网络电压电流有效值的乘积UI一定的情况下，单口网络吸收的平均功率P与cos的大小密切相关，cos表示功率的利用程度，称为功率因数，记为，它与P和UI的关系为,当单口网络呈现纯电阻时，功率因数角为零以及功率因数cos=1，功率利用程度最高。当单口网络等效为一个电阻与电感或电容连接时，即单口呈现电感性或电容性时，功率因数角=090以及功率因数cos1，以致于P0的前提下，负载获得最大功率的条件是,所获得的最大平均功率为,最大功率传输定理：工作于正弦稳态的单口网络向一个负载ZL=RL
6、+jXL供电，如果该单口网络可用戴维宁等效电路(其中Zo=Ro+jXo ,Ro0)代替，则在负载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共轭复数（即 ）时，负载可以获得最大平均功率,通常将满足 条件的匹配，称为共轭匹配。在通信和电子设备的设计中，常常要求满足共轭匹配，以便使负载得到最大功率。,例11-3 图(a)所示电路中，为使RL=1000负载电阻从单口 网络中获得最大功率，试设计一个由电抗元件组成 的网络来满足共轭匹配条件。,解：1. 假如不用匹配网络，将1000负载电阻与电抗网络 直接相连时，负载电阻获得的平均功率为,图11-9,2. 假如采用匹配网络满足共轭匹配条件，1000负载电阻可能获得的最
7、大平均功率为,由上可见，采用共轭匹配网络，负载获得的平均功率将大大增加。,图11-9,3. 设计一个由图(a)所示电感和电容元件构成的网络来满足共轭匹配条件，以便使负载获得最大功率。 将电容和电阻并联单口等效变换为串联单口，写出输入阻抗,图11-9,令上式的实部相等可以求得,代入电阻值得到,令式(11-12)虚部相等可以求得,代入电阻和电容值得到,计算表明，如选择L=0.3H，C=3F，图示电路ab两端以右单口网络的输入阻抗等于100，它可以获得25W的最大功率，由于其中的电感和电容平均功率为零，根据平均功率守恒定理，这些功率将为RL=1000的电阻负载全部吸收。,图11-9,我们也可以采用理
8、想变压器来作为匹配网络使负载电阻RL=1000 获得最大功率。此时理想变压器的变比的计算公式如下：,变比n=3.162的变压器将1000的电阻变换为100来满足阻抗匹配条件，由于理想变压器不消耗功率，根据平均功率守恒定理，25W的最大功率将全部为负载电阻RL=1000所吸收。,图11-9,补充题：图示电路中，为使RL=100负载电阻从单口网络 中获得最大功率，试设计一个由电抗元件组成的 网络来满足共轭匹配条件。,郁金香,114 平均功率的叠加,本节讨论几种不同频率正弦信号激励的非正弦稳态的平均功率。,图示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下，假设其电压和电流为,单口网络的瞬时功率
9、为,瞬时功率随时间作周期性变化，它在一个周期内的平均功率为,一般来说，n种不同频率正弦信号作用于单口网络引起的平均功率等于每种频率正弦信号单独引起的平均功率之和，即,其中,将这些平均功率相加得到单口网络吸收的平均功率,解：分别计算每种频率正弦信号单独作用产生的平均功率,式中的 是周期性非正弦电流的有效值。,解：分别计算各种频率成分的平均功率再相加，即,一般来说，周期性非正弦电压和电流，用傅里叶级数分解出它的直流分量和各种谐波分量后，可以用以下公式计算其有效值。,引入周期性非正弦电压和电流的有效值后，可以用以下公式计算电阻的平均功率,应该特别注意的是电路在频率相同的几个正弦信号激励时，不能用平均
10、功率叠加的方法来计算正弦稳态的平均功率。 应该先计算出总的电压和电流后，再用公式P=UIcos来计算平均功率。,例11-6 图11-11(a)所示电路中，已知 试求该单口网络向外传输的最大平均功率。,解：分别计算出每个频率成分正弦信号所产生的最大平均 功率，然后相加。,图 11-11,1. 单独作用时，画出1=1rad/s的相量模型，此时,图 11-11(b),当负载阻抗为 时，含源单口网络输出的最大平均功率为,2. 单独作用时，画出2=2rad/s的相量模型，此时,图 11-11(c),当负载阻抗为 时，含源单口网络输出的最大平均功率为,3. 将不同频率成分正弦信号产生的平均功率叠加得到单口
11、向外传输的最大平均功率为,你能够设计一个负载ZL (j)来满足以上传输最大功率吗？,郁金香,115 三相电路,由三相电源供电的电路，称为三相电路。三相供电系统具有很多优点，为各国广泛采用。在发电方面，相同尺寸的三相发电机比单相发电机的功率大，在三相负载相同的情况下，发电机转矩恒定，有利于发电机的工作；在传输方面，三相系统比单相系统节省传输线，三相变压器比单相变压器经济；在用电方面，三相电容易产生旋转磁场使三相电动机平稳转动。 本节介绍三相电路的一些基本概念和简单三相电路的计算。,一、三相电源,三相供电系统的三相电源是三相发电机，三相发电机由定子和转子两大部分组成。定子铁心的内圆周的槽中对称地安
12、放着三个绕组，它们在空间上彼此间隔。转子是旋转的电磁铁，它的铁心上绕有励磁绕组。选择合适的铁心端面形状和励磁绕组分布规律，使励磁绕组中通以直流时，产生在转子和定子间气隙中的磁感应强度，沿圆周按正弦规律分布。当转子恒速旋转时，AX、BY、CZ 三绕组的两端将分别感应振幅相等、频率相同、相位相差的三个正弦电压。,若以 作为参考相量，这三个电压相量为,它们的相量图和波形图分别如图(a)、(b)所示。这样三个振幅相等、频率相同、相位差120的一组正弦电源称为对称三相正弦电源。,图11-12 对称三相电压源的相量图和波形图,它们分别称为A相、B相和C相，每相的电压称为相电压。按照各相电压经过正峰值的先后
13、次序来说，它们的相序是A、B、C，称为正序，如果各相电压到达正峰值的次序为uA(t)、uC(t)、uB(t)，称为负序。用户可以改变三相电源与三相电动机的连接方式来改变相序，从而改变三相电动机的旋转方向。,三相电源有两种基本联结方式：星形联结和三角形联结。星形联结(又称Y形联结)是将三相电源的末端 X、Y、Z接在一起，形成一个结点，记为 N，称为中性点或中点，将各相的首端 A、B、C以及中点N与四根输电线（分别称为相线和中性线）连接，如图(a)所示。与传输线相连接的负载，可以从相线与中性线之间得到三个相电压，用 表示，也可以从三根相线之间得到三个线电压，用 表示。线电压与相电压之间的关系可以从
14、图(b)相量图中计算出来。,图11-13,从上式可以看出，线电压是相电压的 倍，即 。例如我们日常生活用电是220V相电压，相应的线电压则是380V。从相量图上可以看出，三个对称相电压以及三个对称线电压之间存在以下关系,在星形联结中，流过相线的线电流等于流过每相电源的相电流，即 Il=IP,图11-13,对称三相电源可以采用三角形联结(又称联结)，它是将三相电源各相的始端和末端依次相连，再由A、B、C引出三根相线与负载相连，如图1114所示。,将三相电源作三角形联结时，要求三绕组的电压对称，如不对称程度比较大，所产生的环路电流将烧坏绕组。对称三相电源在联结时，不能将各电源的始末端接错，否则将烧
15、坏绕组。,图1114 三相电源的三角形联结,二、YY连接的三相电路,三相负载也有Y和两种连接方式。下图表示Y形三相负载连接到Y形对称三相电源的情况。当三相负载相同时，即ZA=ZB=ZC=Z时，该电路是对称三相电路。,图1115,列出电路的结点方程，并代入 得到,由于 ，相当于中线短路，每相负载上的电压是相电压，其电流可以单独计算如下：,例11-7 图1115所示电路中，已知 试求三相电流。,图1115,从以上分析计算可以看出，在YY形联结的对称三相电路中，由于 ，中线电流为零，中线可以不用，可以只用三根相线传输(称为三相三线制)，适合于高压远距离传输电之用。,解：由于 ，相当于中线短路，可以按
16、单相电路计 算出三相电流,L11-7 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 元 件 元 件 类型 编号 节点 节点 支路 数 值1 数 值2 数 值3 数 值4 V 1 1 0 220.00 .00000 V 2 2 0 220.00 -120.00 V 3 3 0 220.00 120.00 Z 4 1 4 10.000 10.000 Z 5 2 4 10.000 10.000 Z 6 3 4 10.000 10.000 Z 7 4 0 1.0000 1.0000 独立节点数 = 4 支路数 = 7角频率 w= 314.00 rad/s - 结 点 电 压
17、相 量 - 实部 虚部 模 辐角 V 1=( 220.0 +j .0000 ) = 220.0 exp(j .00 ) V 2=( -110.0 +j -190.5 ) = 220.0 exp(j-120.00 ) V 3=( -110.0 +j 190.5 ) = 220.0 exp(j 120.00 ) V 4=( .0000 +j .0000 ) = .0000 exp(j .00 ) - 支 路 电 流 相 量 - I 1=( -11.00 +j 11.00 ) = 15.56 exp(j 135.00 ) I 2=( 15.03 +j 4.026 ) = 15.56 exp(j 15
18、.00 ) I 3=( -4.026 +j -15.03 ) = 15.56 exp(j-105.00 ) I 4=( 11.00 +j -11.00 ) = 15.56 exp(j -45.00 ) I 5=( -15.03 +j -4.026 ) = 15.56 exp(j-165.00 ) I 6=( 4.026 +j 15.03 ) = 15.56 exp(j 75.00 ) I 7=( .0000 +j .0000 ) = .0000 exp(j .00 ) * 正 弦 稳 态 分 析 程 序 (ACAP 2.11 ) 成电 七系-胡翔骏 *,对于日常生活的低压用电，由于三相负载不完
19、全对称，还有一定的中线电流存在，中线还必须保留，即采用三相四线制供电系统。假如不用中线，不对称三相负载的三相电压将不相同，过高的相电压可能损坏电气设备。 例如将例117中的C相负载阻抗变为ZC=(2+j2)，用正弦稳态电路的计算方法可以得到在不用中线时的三相电压为,L11-7 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 元 件 元 件 类型 编号 节点 节点 支路 数 值1 数 值2 数 值3 数 值4 V 1 1 0 220.00 .00000 V 2 2 0 220.00 -120.00 V 3 3 0 220.00 120.00 Z 4 1 4 10.000
20、10.000 Z 5 2 4 10.000 10.000 Z 6 3 4 2.0000 2.0000 OC 7 4 0 独立节点数 = 4 支路数 = 7角频率 w= 314.00 rad/s - 结 点 电 压 相 量 - 实部 虚部 模 辐角 V 1=( 220.0 +j .0000 ) = 220.0 exp(j .00 ) V 2=( -110.0 +j -190.5 ) = 220.0 exp(j-120.00 ) V 3=( -110.0 +j 190.5 ) = 220.0 exp(j 120.00 ) V 4=( -62.86 +j 108.9 ) = 125.7 exp(j
21、120.00 ) - 支 路 电 压 相 量 - U 1=( 220.0 +j .0000 ) = 220.0 exp(j .00 ) U 2=( -110.0 +j -190.5 ) = 220.0 exp(j-120.00 ) U 3=( -110.0 +j 190.5 ) = 220.0 exp(j 120.00 ) U 4=( 282.9 +j -108.9 ) = 303.1 exp(j -21.05 ) U 5=( -47.14 +j -299.4 ) = 303.1 exp(j -98.95 ) U 6=( -47.14 +j 81.65 ) = 94.29 exp(j 120.
22、00 ) U 7=( -62.86 +j 108.9 ) = 125.7 exp(j 120.00 ) * 正 弦 稳 态 分 析 程 序 (ACAP 2.11 ) 成电 七系-胡翔骏 *,中线断开，负载不对称时，三相负载的电压变化可能很大，过高的电压会损坏电气设备。,由此可见，A相和B相的电压由220伏升高到303伏，这两相的电气设备可能损坏；B相的电压降低到94伏，使得C相的电气设备不能正常工作。 由此可知，在三相四线制供电系统中，保险丝绝对不能接在中线上，因为中线断开后，各相负载上的电压将随负载大小变化，过高的电压可能损坏电气设备。 从以上分析可以看出，在YY连接的对称三相电路中，其负载
23、电压电流关系为,三、Y连接的三相电路,三相负载也可以按照三角形方式连接。图(a)表示Y形连接的对称三相电源和形连接的对称负载，这是一个对称三相电路。每相负载上的电压为线电压，其相电流为,图1116,此时三根相线中的线电流为,由此看出，Y连接的对称三相电路中，线电流是相电流的 倍，即,图1116,例11-8 图11-16(a)所示电路中，已知 试求相电流和线电流。,图11-16,此时三个线电流为,解：三个相电流为,相电流和线电流的相量图，如图(c)所示。,从以上分析可以看出，在Y对称连接时，其负载电压电流关系为,图11-16,四、对称三相电路的功率,其中cos是功率因数，是相电压与相电流的相位差
24、，UA、IA是相电压和相电流的有效值。由于线电压和线电流容易测量，注意到关系式 ，上式变为,对称Y形连接负载吸收的总平均功率,最后得到对称三相电路中三相负载吸收的平均功率的一般公式,在例117的电路中，,三相负载吸收的平均功率为,用相似的方法，得到对称形联结负载吸收的总平均功率,下面讨论对称三相电路的瞬时功率。,由于上式中的三项交变分量之和为零，三相瞬时功率是不随时间变化的常数，并且等于其平均功率。在这种情况下，三相电动机的转矩是恒定的，有利于发电机和电动机的工作，是三相电路的优点之一。,例11-9 三相电炉的三个电阻，可以接成星形，也可以接成 三角形，常以此来改变电炉的功率。假设某三相电 炉
25、的三个电阻都是43.32，求在380V线电压上， 把它们接成星形和三角形时的功率各为多少?,图11-17,解：1.三相负载为星形联结时，如图(a)所示，则线电流为,三相负载吸收的功率为,2. 三相负载为三角形联结时，如图(b)所示，则相电流为,线电流为,三相负载吸收的功率为,通过以上计算表明，三相电炉连接成三角形吸收的功率是连接成星形时的三倍。,郁金香,116 电路设计，电路实验和计算机分析电路实例,首先介绍用正弦稳态分析程序ACAP来计算正弦稳态电路的各种功率。再介绍LC匹配网络的设计。最后介绍提高功率因数的一个实验。,一、计算机辅助电路分析,例11-10 用计算机程序计算例112电路中各元
26、件的电压 电流以及所吸收的功率。,解：电路如图(a)所示，用ACAP程序分析该电路的数据如 图(b)所示。运行正弦稳态分析程序ACAP，读入图(b) 所示数据后， 选择计算电压电流和功率的菜单，计算 机屏幕上显示以下计算结果。,图1118,- 节 点 电 压 相 量 - 实部 虚部 模 幅角 V 1=( 2.000 +j .0000 ) = 2.000 exp(j .00 ) V 2=( 1.500 +j .5000 ) = 1.581 exp(j 18.43 ) V 3=( .0000 +j -1.000 ) = 1.000 exp(j -90.00 ) V 4=( -1.000 +j -1
27、.000 ) = 1.414 exp(j-135.00 ) V 5=( -1.000 +j -5.9605E-08) = 1.000 exp(j-180.00 ) - 支 路 电 压 相 量 - U 1=( 2.000 +j .0000 ) = 2.000 exp(j .00 ) U 2=( .5000 +j -.5000 ) = .7071 exp(j -45.00 ) U 3=( 1.500 +j 1.500 ) = 2.121 exp(j 45.00 ) U 4=( .0000 +j -1.000 ) = 1.000 exp(j -90.00 ) U 5=( 1.000 +j .0000
28、 ) = 1.000 exp(j .00 ) U 6=( .0000 +j -1.000 ) = 1.000 exp(j -90.00 ) U 7=( -1.000 +j -5.9605E-08) = 1.000 exp(j-180.00 ) - 支 路 电 流 相 量 - I 1=( -1.000 +j 1.000 ) = 1.414 exp(j 135.00 ) I 2=( 1.000 +j -1.000 ) = 1.414 exp(j -45.00 ) I 3=( 1.000 +j -1.000 ) = 1.414 exp(j -45.00 ) I 4=( 1.000 +j .0000
29、) = 1.000 exp(j .00 ) I 5=( 5.9605E-08 +j -1.000 ) = 1.000 exp(j -90.00 ) I 6=( .0000 +j -1.000 ) = 1.000 exp(j -90.00 ) I 7=( .0000 +j -1.000 ) = 1.000 exp(j -90.00 ),- 支 路 功 率 -( 电压电流用有效值 ) 有功功率 P 无功功率 Q 视在功率 S 1 V : -2.0000 -2.0000 2.8284 2 R : 1.0000 .00000 1.0000 3 L : .00000 3.0000 3.0000 4 C
30、: .00000 -1.0000 1.0000 5 L : 5.96046E-08 1.0000 1.0000 6 R : 1.0000 .00000 1.0000 7 C : 5.96046E-08 -1.0000 1.0000 功率之和: 5.96046E-08 .00000 10.828,从以上数据可见，计算机在计算各支路电压电流相量的基础上，计算出各二端元件吸收的有功功率，无功功率和视在功率。从这些计算结果来看，显然整个电路的视在功率并不守恒；无功功率是守恒的；有功功率也应该是守恒的，计算结果显示电感元件的有功功率并不完全为零，而有一个很小的数值，这是由于数字计算机二进制数字的位数有限
31、所造成的误差，这也是数值分析程序的一个缺点，读者应该能够理解和识别这种误差。,例11-11 用计算机程序计算例11-3电路中各元件的电压电 流以及所吸收的功率。,解：电路如图(a)所示，用ACAP程序分析该电路的数据如 图(b)所示。运行正弦稳态分析程序ACAP，读入图(b) 所示数据后，计算结点3和结点 0之间单口网络的等效 电路，计算机屏幕上显示以下计算结果。,图1119,- 任 两 结 点 间 单 口 的 等 效 电 路 - 3 - 0 实部 虚部 模 幅角 Uoc=( 100.0 +j -300.0 ) = 316.2 exp(j -71.57) Z0 =( 1000. +j .000
32、0 ) = 1000. exp(j .00) Isc=( 1.0000E-01+j -.3000 ) = .3162 exp(j -71.57) Y0 =( 1.0000E-03+j .0000 ) = 1.0000E-03exp(j .00) Pmax= 25.00 (电源用有效值时) Pmax= 12.50 (电源用振幅值时)* 正 弦 稳 态 分 析 程 序 (ACAP 2.11 ) 成电 七系-胡翔骏 *,计算结果说明LC匹配网络设计是正确的，它使RL=1000负载上获得25W的最大功率。,例11-12 图(a)所示电路中的电压源电压波形如图(b)所示， 试用计算机程序计算电路中各电压
33、电流的有效值 以及电压源和各电阻吸收的平均功率。,解：用ACAP程序分析图(a)所示电路的数据，如图(c)所示， 运行ACAP程序，读入上述数据后，选择非正弦电流 电路分析的菜单，可以得到以下计算结果。,图1120,- 电 压 电 流 的 有 效 值 - V 1= 140. V 2= 48.5 U 1= 140. U 2= 112. U 3= 48.5 U 4= 48.5 I 1= 2.24 I 2= 2.24 I 3= .969 I 4= 2.02 - 支 路 的 平 均 功 率 - 1 2 3 4 5 6 P1= -298. = -200. -83.1 -9.03 -3.25 -1.66 -1.00 P2= 251. = 200. +43.5 +4.54 +1.63 +.828 +.501 P3= 47.0 = .000 +39.5 +4.49 +1.62 +.827 +.500 P4=-1.375E-07= .000 -1.329E-07-5.138E-09+5.079E-10+4.748E-11-1.510E-11SUM: -.268E-04 +.000 -1.329E-07-4.820E-07+5.079E-10+4.748E-11+5.959E-08 * 正 弦 稳 态 分 析 程 序 (ACAP 2.11 ) 成电 七系-胡翔骏 *,
