1、,第三章周期信号的傅里叶级数表示,Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768出生于法国.1807,实现周期正弦信号用正弦级数表示；1829,Dirichlet 在增加若干精确条件的基础上给出了证明.1960s,Cooley 和 Tukey 提出了快速傅立叶算法傅立叶算法才得到真正意义上的广泛应用,第三章周期信号的傅里叶级数表示,3.2 LTI 系统对复指数信号的响应,(1) 连续时间 LTI系统,( 系统函数 ),第三章周期信号的傅里叶级数表示,(2) 离散 LTI 系统,( 系统函数 ),第三章周期信号的傅里叶级数表示,例3.1 P130,第三章周期信号的傅里叶级数
2、表示,3.3 连续时间周期信号的傅立叶级数表示,(1) 一般形式,3.3.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合,成谐波关系的复指数信号集:,T 为基本周期,第三章周期信号的傅里叶级数表示,因此任意周期信号都可以表示为,: 基波,: 二次谐波,: N次谐波,( 傅立叶级数 ),例 3.2,第三章周期信号的傅里叶级数表示,(2) 实周期信号傅立叶级数表示:,实周期信号: x(t)=x*(t),所以 a*k=a-k,令 (A),第三章周期信号的傅里叶级数表示,(B),第三章周期信号的傅里叶级数表示,3.3.2 连续时间周期信号傅立叶表示的确定,X(t)两边乘于,( 傅立叶级数 ),而,第三章周期信号
3、的傅里叶级数表示,傅立叶级数变换对:,3.3连续时间周期信号的傅里叶数表示 例3.2 傅里叶级数与周期信号 (P132图3.4),常数项,一次谐波分量,欧拉方程,二次谐波分量,三次谐波分量,例3.3 复指数正弦信号的傅里叶级数的系数,欧拉方程,(不用系数公式),例3.5 一般周期信号的傅里叶级数的系数,如图3.6P136,1),2),(用系数公式),例3.8,的傅里叶级数,傅立叶级数对周期信号的逼近过程,如例 3.5,定义:,高频部分,低频部分,低频主要勾画轮廓,高频勾画细节,傅立叶级数及其系数公式的理解,复杂信号 系数（k）基本信号（k）,系数（k）复杂信号与基本信号（k） 的相关性(相似性
4、),因为,相关积分,表明x(t)与y(t)的相关性(相似性),相关积分值,相关积分值,同号机会少：,同号机会多：,不相似,相似,频谱系数及其性质,角频率,性质,离散角频率,谱线间隔,当,周期 频谱密集度,衰减,衰减,时衰减,(系数频谱),反映各次谐波频率分量间的相对关系,幅度大小相对关系 ：,位置间的相对关系 ：,3.4 傅里叶级数的收敛,误差:,(1) 无穷级数,3.4 傅里叶级数的收敛,条件 1: 绝对可积,(2) Dirichlet 条件,3.4 傅里叶级数的收敛,条件 2: 单个周期内最大值和最小值的个数有限,(2) Dirichlet 条件,3.4 傅里叶级数的收敛,条件3: 只有有
5、限个不连续点,(2) Dirichlet 条件,3.4 傅里叶级数的收敛,(3) 吉伯斯现象,1898, 美国物理学家Albert Michelson做了一台谐波分析仪 , 发现xN(t) 和x(t)非常一致,但当他测试方波信号时发现一个重要的让他吃惊的结果. 数学物理学家Josiah Gibbs, 给出了一个数学解释,并命名为吉伯斯现象.,3.4 傅里叶级数的收敛,(3) 吉伯斯现象,3.4 傅里叶级数的收敛,(3) 吉伯斯现象,结论:,在任何连续点: xN(t1) x(t1) 在接近不连续点时: 波纹幅度不随着N有增大而减小不连续点: 最大峰值9%,3.5 连续时间傅里叶级数的性质,3.5
6、.1 线性性, : 周期 T,P146 表 3.1,: 周期 T,3.5.2 时移,周期 T,周期T,3.5.3 时间反转,周期 T,3.5.4 时域尺度变换,周期T1, 角频率为,周期T1/a, 角频率为,3.5.5 倍乘,周期 T,卷积,周期 T,周期 T,3.5.6,共轭与共轭对称,对实信号有 :,如 :,共轭 :,实信号 :,偶信号 :,奇信号 :, 实偶信号,:,实奇信号,共轭对称,偶对称,奇,实,偶,虚,奇,反转 :,3.5.7 Parsevals 定理,x(t)一个周期的平均能量,一个同期的K次谐波的平均能量,总平均功率 各次谐波平均功率,3.5.8 性质列表 P146表 3.1
7、,积分,微分,周期 T,周期 T,3.5.9 例,1,-4 -1 1 4,1,的Fourier 级数,1, 设 1) 是实信号 2) 周期 T=4 3)时 4) 是奇函数 5),则:,搭建信号框架,确定待定参数,解:2)3) 4)C. 4),4) 实奇信号,Parsevals 关系,5),Parsevals 关系,3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示,(与3.3节内容相似，有限长度级数(区别1)，系数周期性(区别2)离散时间周期指数,(如 1.3.3所述),是周期函数,如,基本周期为N,基本频率,参数K的周期性质 N个不同的值,B., N 不同的值,Fourier 级数,周期信号,周期信号
8、,Fourier 级数,coefficient,C.,基本周期为N,为周期为信号,基本周期为N,系数公式 (证明见书),复杂信号 系数（k）基本信号（k）,系数（k）复杂信号与基本信号（k） 的相关性(相似性),看数字信号处理教程书,由 C、D，有,E. 关于K的周期性质,F. 例,不使用系数公式,Fourier 级数,欧拉公式,解,欧拉公式,P154 217 图3.15,用欧拉公式, 用系数公式,G. 上例中当,由定义,P156, 图 3.18,的卷积,3.7离散傅里叶级数（DFS）的性质,设 和 是周期为N的周期序列，各自的DFS分别为：,1 线性,式中，a和b为任意常数，所得到的频域序列
9、也是周期序列，周期为N。,2. 序列的移位,3 周期卷积,如果,则,或,将变量进行简单换元，即可得等价的表示式,上式是一个卷积公式， 但是它与非周期序列的线性卷积不同。 首先， 和（或 和 都是)变量m的周期序列，周期为N，故乘积也是周期为N的周期序列; 其次，求和只在一个周期上进行，即m=0到N-1，所以称为周期卷积。,周期卷积的过程可以用下来说明，这是一个N=7 的周期卷积。每一个周期里 有一个宽度为4的矩形脉冲， 有一个宽度为3的矩形脉冲，图中画出了对应于n=0, 1, 2 时的 。周期卷积过程中一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的同一位置的序列值就移入计算区间。运算在m=0到N-
10、1区间内进行， 即在一个周期内将与 逐点相乘后求和，先计算出n=0, 1, , N-1的结果，然后将所得结果周期延拓，就得到所求的整个周期序列 。,两个周期序列（N=7）的周期卷积,两个周期序列（N=7）的周期卷积,离散时间傅里叶级数的性质如P157表3.2,3.8 傅里叶级数与LTI系统,3.8.1 LTI系统的系统函数,系统函数,冲激响应,Laplace 变换Ch.9,傅里时变换Ch.4,z 变换Ch.10,离散傅里叶变换Ch.5,冲激响应,频率响应,3.8.2 周期信号的频谱分析,周期 : T,周期 : N,A. 理想,L,L,;,B. 步骤,周期 : T,周期 : T,周期 : N,周
11、期 : N,:,:,:,:,C. 例 ,3.9 滤波器,3.9.1 频率合成滤波器,例1: 均衡器,例2:微分滤波器 (边缘增晰),3.9.2 频率选择滤波器,几种滤波器的类型 : (1) 低通 (2) 高通 (3) 带通,3 种连续时间的滤波器类型(P170),3 种离散时间的滤波器类型,3 种离散时间的滤波器类型实际的滤波器:,3 种离散时间的滤波器类型实际的滤波器:,3 种离散时间的滤波器类型实际的滤波器:,3 种离散时间的滤波器类型,利用高通和低通滤波器分离信号,如两个信号的频率很接近，则滤波器的设计就富有挑战性了,3 种离散时间的滤波器类型,从宽带噪声信号中提取窄带信号 BPF,3
12、种离散时间的滤波器类型,滤除不需要的窄带信号 NF,3.10 用微分方程所描述的连续时间滤波器举例(171)3.10.1 简单RC低通滤波器,3.10 用微分方程所描述的连续时间滤波器举例(171)3.10.1 简单RC低通滤波器其频率响应模和相位图如图3.30所示(P172),3.10 用微分方程所描述的连续时间滤波器举例(P173)3.10.2 简单RC高通滤波器,3.10 用微分方程所描述的连续时间滤波器举例(171)3.10.2 简单RC高通滤波器其频率响应的模和相位图如图3.32所示(P173),3.10 用微分方程所描述的连续时间滤波器举例(171)3.10.2 简单RC高通滤波器
13、其冲激响应模和阶跃响应图如图3.31所示(P173),3.10 用微分方程所描述的连续时间滤波器举例(171)3.10.2 简单RC高通滤波器阶跃响应图如图3.33所示(P174),3.11 用差分方程所描述的离散时间滤波器举例(174)3.11.1 一阶递归离散时间滤波器,3.11 用差分方程所描述的离散时间滤波器举例(174)3.11.1 一阶递归离散时间滤波器 频率响应如图3.34所示(175),3.11 用差分方程所描述的离散时间滤波器举例(174)3.11.2 非递归离散时间滤波器,3.11 用差分方程所描述的离散时间滤波器举例(174)3.11.2 非递归离散时间滤波器,调节平均窗口M+N+1的大小,就可以改变截止频率,3.11 用差分方程所描述的离散时间滤波器举例(174) 非递归也能用于高通滤波器,离散2点差分器,频率响应,本章小结:本章对连续信号和离散时间系统引入并建立了傅里叶级数表示，而且利用这些表示对信号与分析方法中的一个重要领域滤波有了初步的涉及这一章的目的就是想在建立傅里叶分析方法以及在利用这些方法作出正确的评价做一个初步的探索作业:P179 3.1 3.3 3.13 3.14 3.19 3.22 3.36(A) 3.37(B) 3.38 3.60(A)(B)(E)(G) 3.71 (思考题),最好能做一下.,
