1、 第23 卷第5 期2014 年10 月数 学 教 育 学报JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONVol.23, No.5Oct., 2014普通高中数学课程标准实验教科书人教 A 版与北师大版的比较研究 “ ”以函数及其表示为例贾随军1， 世虎吕 2， 定强张 2， 建温 红2（1浙江外国语学院 教育科学学院，浙江 杭州310012；2西北师范大学 教育学院，甘肃 兰州730070）摘要：比较分析普通高中数学课程标准实验教科书人教A “ ”版与北师大版，可以揭示两版本教科书呈现 函数及其表示“ ” 的过程与特点，为高中数学教科书的修订与高中函数教学提供参考建议研究表
2、明，两版本教科书呈现 函数及其表示 的“ ” “ ” “ ” “ ” 路径基本一致，但在 函数概念引入方式 、 例析函数定义域、值域的方式 、 函数的表示方法 、 映射概念的引入方式 、“ ” “ ” 习题的配置 等环节各具特色教科书修订与教学建议如下：尝试以 关系 为基础引入函数概念的方式；注重揭示函数、方程、曲线之间的区 ；在函数的表示方法中尝试引入 表示法与映射 表示法；注重一 映射数 函数 的 ，等等关 ：教科书比较；函数概念；教学建议中 分 ：G423.3 标 ：A ：10049894（2014）050046051 引 言教科书 为 课程标准 学 的教学，课程标与教学的具现，在一定程
3、currency1” 及其表示 的比较的具“表1表1 “ ”两版本教科书中关函数及其表示的具教科书 人教A 版 1.2.1 函数的概念；1.2.2 函数的表示法；习题 1.2；定学 的学习fifl 学 1中学教科书的比较研究为 基础教育研究的点之一“ ” 之以” 函数及其表示 为具的研究，北师大版习参考题第2 第1 节： 中的 关系；第2 第2 节：2.1 函数概念，2.2 函数的表示法；2.3 映射；习题2.2；习题普通高中数学课程标准实验教科书人教A “ 版以下 人教A ” 版 与普通高中数学课程标准实验教科书北师大版以“ ” 下 北师大版 两版本的教科书比较分析， 要以下两方的 其一，人
4、教A 版与北师大版在国范 较 的教科书，具 一定的 表 ；其，函数概念在数学及中学数学课程中具 重要 数学 以，函数概念一 数学的 国数学 F. klein函数为数学的 220 以， 各国的中学数学教学以方程为中 以研究函数为中 3但函数概念 学 数学学习中 的概念之一在中国，关函数的教学， 入的研究 ，如， 学 研究学 函数概念的45；高中数学 课程实 的 研究函数概念的教学67；数学 的 研究函数的教学89；课堂教学实践 研究函数的教学1011等研究者拟教科书比较的 研究函数的教学，通过揭示两版本教科书在函数概念呈现等方的特点，为高中数学教科书的修订提供参考建“ ” 议，为高中数学教师”
5、函数及其表示 的教学素 及创需要说明的，人教 A “ 版中映射概念在 函数的表示” 法 中出现，而北师大版通过独立的节引入映射概念；人教 A “ ” “ ” “ 版 习参考题 仅指与 函数的概念 、 函数的表” “ ” “ 示法 密切相关的题；北师大版 习题 仅指与” “ ” “ ” “ ” 中的 关系 、 函数概念 、 函数的表示法 、 映射密切相关的题2.2 研究的具问题“ ” 两版本教科书如何呈现 函数及其表示 的结构系？如何引入函数概念？如何取函数实例分析函数的定义域与值域？如何表示函数？如何引入映射概念？如何配置习题？2.3 研究方法基人教A 版与北师大版教科书的 本 ，以分析 比较
6、研究为 要研究方法3 研究结果3.1 “ ”呈现函数及其表示的路径基本一致“ ” 北师大版呈现 函数及其表示 的路径：造 的教学设计提供参考建议2 研究设计2.1 研究象研究比较的对象为人教A版与北师大版中关“ 函数收稿日期：20140410 中的 关系语言描述的函数概念函数的定 义域、值域函数的 3种 表 示方法函 数 概念 的 推 映射基金项：西北师范大学青 教师科研提升项 傅立叶分析的历史研究NWNU-LKQN-12-26）者介：贾随军1974，男，甘肃通渭人，副教授，学博士，硕士 导师， 要事数学史、数学教育研究第5 期 贾随军等：普通高中数学课程标准实验教科书人教A 版与北师大版的比
7、较研究 47人教A “ ” 版呈现 函数及其表示 的路径： 人教 A 版 的 currency1认 为由 观下的函数概念3 具的 函 数实例语言 描述的 函数概念函 数的定 义域 、值域函数的 3种 表 示方法函 数 概念 的 推 映射向应观下的函数概念的过渡 准备北师大版以高速公路为背景，列举3 函数关系及1非函数关系，一方旨在现函数描述 之间 赖关系的数学模型，另一方旨在揭示函数关系一 特殊的关为促高中学 函数概念本质的，两版本教科书都列举 函数实例，再引入 语言描述的函数概念，然后结 实例分析函数的定义域、值域及函数的3 种表示方法， 后再把函数概念推 为映射概念“ ” 虽然两版本教科书
8、呈现 函数及其表示 的路径基本一“ ” “ 致，当仔细 研究 现，们在 函数概念引入方式 、 例” “ ” “ 析函数定义域、值域的方式 、 映射概念的引入方式 、 习” 题的配置 等环节都存在明显的差异系但北师大版并没 通过列举函数关系的归纳而得函数定义，基本 给出应观点下的以 语言叙述的函数概念北师大版陈述的重 定义函数概念的 “ ” 几百 ，随着数学的 可 远离高中学的数学 动经验3.3 例析函数定义域 值域的方式各 侧重两版本教科书例析函数定义域、值域的方式“表3表3 两版本教科书例析函数定义域 值域的方式3.2 引入函数概念的方式存在明显差异两版本教科书引入函数概念的方式“表2表2
9、两版本教科书引入函数概念的方式人教A 版举函数实例 一次函数、次函数北师大版 学温currency1与摄氏温currency1之间的函数关系沸点与气压之间的函数关系举实例函数实例非函数实例人教A 版炮弹的 射臭氧 空洞积的 我国城镇居民恩 系数的 北师大版高速公路 程数与 的 路程与间 的 与 高currency1的 与 currency1函数实例的表示 式分析函数实例比例函数析式分析一次、次函数的定义域与值域，比例的 给学 考12速 线 动中路程与速currency1之间的函数关系析式、列表、 象 两函数关系 分析定义域，而第 函数关系 分析定义域 分析值域13实例的分析引入高中函数概念的
10、给出高中函数概念定义的方式把3 函数实例中 与 的 范分 两数 表示12 与数 之间建立 系归纳 中 函数关系 非函数关系函数关系一 特殊的关系几百 ，随着数学的 ，函数概念的 入，函数概念的描述 13给出北师大版函数定义域与值域的分析 学中的3 函数关系，旨在 数学与其学科的 系， 3 函数关系分 析式、列表、 象3 种 式表示出，注重在函数的 表示 式下分析们的定义域与值域但北师大版 分析第 函数关系的定义域与值域，而 两函数关系， 分析们的定义域，3 函数关系定义域、值域的分析方式 一人教A 版函数定义域、值域的分析与义教育数学人教A 版通过3 函数关系的分析，建立 与数 之间的 系，以
11、归纳的方式非 然 得应观下的函数概念，揭示 观下的函数概念与应观下函数概念之间的 系 概念由数学 currency1 Eudoxus）引“ 入， 表“如线、 、积、积、 间 ”fi动的fl西 14在，为 数， 指定数值的，并 的 参与 R.Descartes在几何学中 线表示积、积等各种几何 ，而各种 型的 参与 为可 的 都可以 线表示，但currency1”Leonhard Euler并， 概念几何的 赖，数 的 currency1认 在1748 出版的分析引“ 第一卷中 ： 可以取何数 着数 数，数 分数，数 数等一切数，” 数一在的取值范中 15研究 现，在currency1”的观念中
12、， 等 数 currency1” 的 currency1认 为函数概念由几何 向 数 的定基础， ，课程的 非 ，在义教育 ，教科书虽然呈现一次函数、次函数、 比例函数，但并没 分析们的定义域与值域， 一 在人教 A 版高一 的教科书中得以但人教 A 版 分析析式 下 定函数的定义域与值域的问题，没 关注函数 表示 式下 定定义域与值域的问题3.4 “ ”函数的表示方法的 方式基本 两版本教科书都非注重函数表示的问题，都通过 列节 细 函数的3 种表示方法 析法、 象法、列表法北师大版分析一种表示方法的 与 ，人教 A 版 把种表示方法的特点 给学 考，以及的呈现方式说，两版本教“ ” 科书
13、函数的表示方法 的 方式基本 3.5 映射概念的相关及引入方式 差异两版本教科书中映射概念的相关及引入方式如表4 示由表4 可以出，北师大版映射的相关为 ，引入一一映射的概念，揭示函数与映射之间的关系， 把一 映射数 函数 的重要 48 数 学 教 育 学 报 第23 卷表4 两版本教科书中映射概念的相关及引入方式 “ ” “ ” 函数值与 值 、 定函数析式 等方习题的映射概念的相关映射概念的引入方式人教A 版映射的概念应关系中 认映射通过 函数概念中的， 通过把两数 为两非空的方式函数概念推 为映射概念北师大版映射的概念一一映射的概念函数与映射之间的关系一 映射数 函数的重要 通过 3 具
14、的应关系 归纳 象概出映射的概念配置，当然，人教A 版在 3 方的习题 大一 之外，人教A “ ” 版习题 要 中 函数 相等 、“ ” “ ” 象中 取 息 、 画函数 象 等方，北师大版习“ ” “ 题 要 中 赖关系中 认函数关系 、 列举函数” “ ” “ 关系与非函数关系 、 认映射并表示 、 映射中 认一” 一映射与函数 等方（2 北师大版 20 习题涉及函数与 赖关系之间的关 与区 ，约占习题 的36%设置 方的习题十把一 映射数 函数 的 在高中数学课程中重要应 ，如， 一 在修数学1、2 中刻画随fi 及其分布问题；在修数学3、4 “ 中刻画 息安” “ ” “ 与密 中的
15、向函数、 矩阵与换 中的线 换、” “ ” 法与实验设计 中的标函数、 风险与策 中的损益“ ” 函数、 关电路与布 数 中的关电路等7，北师大版 映射数 函数 的 十分必要的北师大版通过 3 具的应关系的归纳得映射概念，人教 A 版 通过 把函数概念推 为映射概念，并注重应关系中 认映射分必要的， 习题 助学 区分曲线与函数 象、方程与函数等概念其中 12 习题要 赖关系中 认函数关系， 12 习题 可以分为3 ：第一 ，曲线表示的关系中 认函数关系，如， 1 、 2 、 3 函数 象吗？3.6 两版本教科书习题 型及一 型的数 差异 图1 图2 图3习题中学数学教科书的重要组部分，承着引入
16、知 、巩固知 、 知 、培养 维 、评价学 学 水平等功 16 人教A “ ” “ 版 考 栏，北师大版 第 ，列表表示的关系中 认函数关系，如表 6列出的一 数学测试”题的答案表6 数学测试”题答案” 考交流 栏， 栏要么为引入知 铺垫，要么为巩固知 服功 考虑，们与习题的功 基本题 答案 C A D D13 14 15 16一致在研究中把人教 A “ ” 版中的 考 栏以及北“ ” 师大版中的 考交流 栏都归习题的范畴研究中的“ ” “ ” “ ” “ ” “ 习题 指 考 考交流 、 练习题 、 节后” “ ” 习题 在研究中，为与 习题 区分，一节后的习“ ” “ ” “ ” 题为 节
17、后习题 、 习参考题 习题 的 在习题数 计 ，如 次提问的习题，按一题 计， 若干题的习题， 按题的数 计17研究拟习题 型及应的数 两维currency1两版本教科书的习题配置比较分析表5 “ ”两版本教科书中函数及其表示习题 型及应的数 计表函数关系吗？第 ，日 中的一 赖关系中 认函数关系，如，某十 路口，通过 的数 与 间的关系 为函数关系？研究者认为应当再增 一 ，方程表示的 赖关系中 认函数关系，如，y3 x 2 ，y2 x 2 函数？增 一 型习题的的揭示方程与函数之间的区 （3 “ ” 北师大版涉及 映射 的习题 11 远远高人教A 版相应的习题 3 ，与人教A 版相比，北师
18、大版设置一一映射方的习题以及现映射与函数之间关系的习题（4 人教A “ ” “ ”版在 画函数 象 、 象中 取 息关系与函数关系函数概念函数表示习题 型 赖关系中 认函数关系列举函数关系与非函数关系函数概念 析函数定义域、值域函数值与 值函数 相等定函数的析式画函数 象及中 取 息人教A 版10255北师大版128011 166 10051 10等方的习题 明显高北师大版相应的习题 设置 方“ 的习题 着重要义，为 树立 函”数 质，学 函数的关 74 研究结及建议4.1 结 论4.1.1 人教 A 版与北师大版都采 函数后映射的知 安 顺序映射概念列表表示函数及中 取 息 2认映射并表示
19、2定映射的像与 像 1映射中 认一一映射与函数 0计270456人教A 版与北师大版都采 函数后映射的知 安顺序， 与普通高中数学课程标准实验的建议相一致由学 在初中已经 一具的函数关系， 54表5 可以出：（1 “ ” 两版本教科书都比较注重 函数定义域、值域 、规律但映射概念的引入打 函数定义 质的知顺序，与教 之后函数 质 关的 系 紧第5 期 贾随军等：普通高中数学课程标准实验教科书人教A 版与北师大版的比较研究 49密，显得 点突兀184.1.2 人教A 版与北师大版都注重函数的关 关 美国数学课程的重要念，中国基础教育数学课程追 的标之一关 两方的义，一方，数学一可分割的， 概念、
20、命题甚至数学分支之间要 系；另一方，数学与其学科乃至现实 要 系人教 A 版在引入函数概念 ，通过 表示的手把初中函数概念与高中函数概念 fi关 起， 在例析函数的定义域与值域 举例子都学 在初中 学过的 重要的3 函数一次函数、次函数、 比例函数；北师大版在第一节列举 中的 关系；在第节中 通过 学中的例子分析函数的定义域与值域，另外配置一习题企 揭示函数与曲线，函数与方程、函数与映射之间的关 与区 细节充分说明注重数学与现实 及其学科的关 、注重数学 之间的关 两版本教 共 秉持的基本念之一4.1.3 人教A 版与北师大版函数概念的关注点 共 差异人教 A 版与北师大版都注重 函数的定义域
21、、值域、函数值以及函数的析表达式，相比较而言，人教 A 版注重分析函数的 要素，注重画函数 象以及 象中 取 息；而北师大版注重各种关系中 认函数关系4.2 建 议4.2.1 “ ” 在教 教学中尝试以 关系 为基础引入函数概念的方式函数概念的 历史，在19 ，傅立叶JosephFourier、狄 Dirichlet等数学 给出应观下的函数概念由数学严 的需要，在20 30 末，布 巴基Nicolas Bourbaki学派关系的 currency1认 函数，把函数定义在关系的基础之，而关系 的一子 ，可以 序数表示19虽然关系基础的函数定义现 数学 的 ，一比较 象的定义，但美国的 高中数学教
22、科书把函数定义为一种特殊的关系，当然们并没 给出关系的严 定义，而通过大 实例说明关系一 序数的 2021“ ” “ ” “ 然北师大版教科书把 关系 分为 函数关系 与 非” “ ” 函数关系 ，建议北师大版尝试以 关系 为出 点引入函“ ” 数概念， 序偶的 刻画 关系 ，把函数概念建立在关系的基础当然， 一部分学者 在中学数学课程中把函数定义在关系的基础如，张宙，Thorpe, J. A. 等学者，们的观点分 “ 3以及 22事实， 序偶的 刻画函数概念一 非 然的事，为我们 象 列表去表示函数，而 象 列表仅仅序偶 的“ 呈现方式而已如果北师大版 之间的关” “ ” 系 ，其次再 一
23、特殊的关系 函数关系 ，那么 后之间的关 可 fl 一点研究者曾甘肃省两师范院 的职 数学教师大 数学系师范 学 随fi 取102 本做 查，其中 一 查题：你认为(1, 4), (2, 5), (3, 9)函数吗？结果 79 人约占77.5% 认为函数，另外 5 人约占4.9%没 给出答案 认为法 如果现在的教科书关系的 currency1引入函数概念， 序数的 表示函数的话，可 fl出现 职 数学教师错误 的 次 查 现，部分职 数学教师曲线与函数 象之间的关系、方程与函数之间关系的认 “ ” “ ” “ 方程一定函数 、 函数一定方程 、 曲线一定” “ 函数 等观点都比较普遍的，其中，
24、认为 方程一定函” 数 的比例达40% “ ” ， 曲线一定函数 的比例达30%如果在教 函数概念教学中， 列举一 象表示“ ” 的、列表表示的、方程表示的众 关系 的实例，再启 学 中 函数关系，可 fl 助学 区分曲线与函数 象、方程与函数等概念4.2.2 人教 A 版的教师在引入函数概念 应提供 B域等 值域的例子人教A 版以如下方式定义函数概念：设A ，B 非空的数 ，如果按照某种 定的应关系 f ， A 中的一数x ，在 B 中都 唯一 定的数f 应，那么 f : A B 为 A B 的一函数，记 y f ，x A ， 函数值的 f x A叫做函数的值域12教科书在引入函数概念 提供
25、的 3 例子都 B 完等 值域的 ， 可 fl学 一错误的认 ： B 域等 值域“ 教科书 显然，值域 B ” 的子 但学 赖 己头脑中的函数概念象concept image 维23，而函数概念象的建立与学 的函数实例 紧密关系24 建跃，陶维林，邵光华等学者都 函数举例在函数概念教学中的重要 ，们的观点“ 11以及 25 建议 人教A 版的教师在引入函数概念 提供 B 域等 值域的例子，如， 4 表示的函数， 建议 如 5 示的映射 域与值域的关系， 免学 把 B 域与值域等 起图4 图54.2.3 在函数的表示方法中尝试 充 表示法与映射 表示法研究者建议在教科书修订 教学中可以尝试 充两
26、种表示函数的方法，第一， 表示法， 把函数表示为序偶的 ，各版本高中数学教科书在呈现函数概念之 ，都“ 引入 概念，的 基本的 语言表示 关”的数学象 26而函数概念高中数学课程中 语言描述的第一数学象，但要把函数概念建立在 概念基础之，而完可以 的语言表示函数，如，(1, 4), (2, 5), (3, 9)可以表示一函数第，50 数 学 教 育 学 报 第23 卷映射 表示法， 种表示函数的方法在以 高中教科书中比较“的，如 4 绝大 数的普通高中数学课程标准实验教科书并没 把函数概念建立在映射概念的基础，但完可以 映射 的方法表示函数映射 的表示法具 独特之 ，的 在 观 揭示函数的域与
27、值域 的 当然，函数表示方法的，可以把 函数举例， 函数的定义域、值域的中，一定设置 的节 中 参 考 文 1 “ ” 叶立军，王晓楠中美国高中数学教 比较研究 以 几何概型 为例J数学教育学报，2012，21（2）：49-522 ，王青建， 安 数学通史下 M ： 教育出版 ，20013 张宙，张 中学 数研究M北 ：高等教育出版 ，20064 函数概念学习的 分析J数学教育学报，1999，8（4）：23-245 服，王 式与函数概念学习J 师范大学学报，2001，（3）：263-2656 史 中， 安 中学数学课程与教学中的函数及其 数学教育点问题系列 之 J课程u25945X材u2594
28、5X法，2007，（4）：36-407 ，王 高中数学 课程中函数设计 路及其教学J课程u25945X材u25945X法，2008，（2）：498 ， 中国中学数学函数概念百 考J数学通报，2011，（7）：13-179 贾随军函数概念的 及其高中函数教学的启示J课程u25945X材u25945X法，2008，（7）：4910 建跃，陶维林注重学 维参与 的函数概念教学J数学通报，2009，（6）：1911 建跃，陶维林注重学 维参与 的函数概念教学fiJ数学通报，2009，（7）：2612 人民教育出版 课程教 研究中学数学课程教 研究 中 普通高中课程标准实验教科书数学1必修（A 版M北
29、：人民教育出版 ，200713 严士 ，王 普通高中课程标准实验教科书数学1必修M北 ：北 师范大学出版 ，201014 Mu20811X 数学 第一 M：科学出版 ，200215 currency1”分析引M张 ： 西教育出版 ，199716 currency1再平数学习题M：教育出版 ，199117 ， 学中国与 “初中数学教 中概习题的比较研究J数学教育学报，2010，19（6）：70-7318 张，fifl顺中 高中数学教 的比较及启示 以大 VCE 课程与人教版高中数学教 函数与映射节为例J数学教育学报，2013，22（2）：71-7519 函数概念300 年J 然法研究，2001，
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32、matics Education, 1989, 20(4): 356-366.25 邵光华， 建跃数学概念的分 、特及其教学 J课程u25945X材u25945X法，2009，（7）：47-5126 中华人民共 国教育部普通高中数学课程标准实验M北 ：人民教育出版 ，2003Comparative Analysis between the PEP and BNUP Series of the Textbooks Based the CSOSHSMTaking “Function and Its Characterization” as an Example JIA Sui-jun1, LV S
33、hi-hu2, ZHANG Ding-qiang2, WEN Jian-hong2(1. Educational Institute, Zhejiang International Studies University, Zhejiang Hangzhou 310012, China;2. Educational Institute of Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China) Abstract: Through a comparative analysis between the Peoples Education
34、Presss and the Beijing Normal University Presssseries of the textbooks based the Curriculum Standard (Experimental Version) for Ordinary Senior High School Mathematicsespecially in the presentation of the concept of function and its characterization, the paper aims to provide some references andsugg
35、estions for the revision of the textbooks and for teaching. The final endings are as follows: The processes of presentation arealmost the same, but there are distinguishing differences in “the mapping of the concept together with its domain and range,” in“the method of characterization,” and in “how
36、 the exercises are given and organized.” The suggestions are as follows: Try tointroduce the concept of function on the basis of relations and the characterization by set and mapping diagram; Try to indicate theconnection and difference among function, equation, mapping and digitization; Try to permeate the thought of mapping digitization.Key words: textbooks comparative analysis; concept of function; suggestions of teaching ” ：学
