1、第 1 页 共 5 页 极坐标的几种常见题型 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 互化条件：极点与原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合，长度单位相同 . 互化公式： sincosyx或 )0(tan222xxyyx 的象限由点 (x,y)所在的象限确定 . 例 1(2007 海南宁夏 ) O1和 O2的极坐标方程分别为 cos4 ， sin4 (I)把 O1和 O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过 O1， O2交点 的直线的直角坐标方程 解：以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位 (I) cosx ， siny ，由 cos4 得 cos
2、42 所以 xyx 422 即 0422 xyx 为 O1的直角坐标方程 同理 0422 yyx 为 O2的直角坐标方程 (II)解法一 :由 04 042222yyx xyx解得 0011yx ， 2222yx 即 O1， O2交于点 (0,0)和 (2, 2)过交点的直线的直角坐标方程为 y= x 解法二 : 由 04 042222yyx xyx,两式相减得 4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为 y= x 评述 :本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法 . 例 2(2003 全国 )圆锥曲线 2cossin8的准线方程是 (A) 2cos
3、 (B) 2cos (C) 2sin (D) 2sin 解 : 由 2cossin8去分母后两边同时乘以 得 : s in8c o s 22 ,所以 x2=8y ,其准线方程为 y= 2 ,在极坐标系中方程为 2sin ,故选 C. 例 3(1998年上海 )以直角坐标系的原点 O为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,若椭圆两焦点的极坐标分别是 (1, 2 ),(1, 23 ),长轴长是 4,则此椭圆的直角坐标方程是 _. 解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为 (0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3, 故所求椭圆的直角坐标方程为 43 22 yx =1 类题 :
4、1(1995年上海 )把直角坐标系的原点作为极点 ,x轴的正半轴作为极轴 ,并且在两种坐标系中取相同的长度单位 .若曲线的极坐标方程是 1cos4 122 ,则它的直角坐标方程是 _. (答案 :3x2-y2=1) 2(1998 年全国 )曲线的极坐标方程 =4sin 化成直角坐标方程为 (A) x2+(y+2)2=4 (B) x2+(y-2)2=4 第 2 页 共 5 页 (C) (x-2)2+y2=4 (D) (x+2)2+y2=4 (答案 :B) 3(2002 北京 )已知某曲线的参数方程是 tansecyx( 为参数 )若以原点为极点 ,x 轴的正半轴为极轴 ,长度 单位不变，建立极坐
5、标系，则该曲线的极坐标方程是 (A) 1 (B) 12cos (C) 12sin2 (D) 12cos2 (答案 :D) 二、已知曲线的极坐标方程 ,判断曲线类型 常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性 : 1、直线的极坐标方程 (a0) (1)过极点 ,并且与极轴成角的直线的极坐标方程 : = ; (2)垂直于极轴和极点间的距离为 a 的直线的极坐标方程 : cos =a; (3)平行于极轴和极轴间的距离为 a 的直线的极坐标方程 : sin =a; (4)不过极点 ,和极轴成 角 ,到极点距离为 a 的直线的极坐标方程 : sin(-)=a. 2、圆的极坐标方程 (a0) (1
6、)圆心在极点 ,半径为 a 的圆的极坐标方程 : =a; (2)圆心在 (a,0),半径为 a 的圆的极坐标方程 : =2acos ; (3)圆心在 (a, ),半径为 a 的圆的极坐标方程 : = cos2a ; (4)圆心在 (a, 2 ),半径为 a 的圆的极坐标方程 : =2asin ; (5)圆心在 (a, 23 ),半径为 a 的圆的极坐标方程 : = sin2a ; (6)圆心在 (a, 0),半径为 a 的圆的极坐标方程 : =2acos( - 0). 3、极坐标系中的旋转不变性 : 曲线 f( , + )=0是将曲线 f( , )=0 绕极点旋转 | |角 ( 0 时 ,按顺
7、 时针方向旋转 , 0 时 ,按逆时针方向旋转 )而得到 . 例 4(1990 年全国 )极坐标方程 4 sin2 2 =5 所表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 解 :由已知极坐标方程及三角 公式得 :2 (1-cos )=5, 2 =2 cos +5,由互化公式得 2 22 yx =2x+5,平方整理得 y2=5(x+45 ),方程表示抛物线 ,选 D. 评述 :对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的 ,一般 将其等价转化为直角坐标方程来判断其曲线类型 . 类题 :1(1991 年三南 )极坐标方程 4sin2 =3 表示的曲线是 (A)二条射线
8、 (B)二条相交直线 (C) 圆 (D) 抛物线 (答案 :B) 2(1987 年全国 )极坐标方程 =sin +2cos 所表示的曲线是 (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 (答案 :B) 3(2001 年广东、河南 )极坐标方程 2cos2 =1 所表示的曲线是 (A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 (答案 :D) 4(2003 北京 )极坐标方程 1c o s22c o s2 表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 (答案 :D) 例 5(1994 年全国 )极坐标方程 =cos( 4 - )所表示的曲线是 (A) 双曲线 (B)
9、椭圆 (C)抛物线 (D)圆 第 3 页 共 5 页 0 x 0 x 0 x 0 x 解 :曲线 =cos(4- )=cos( -4)是把圆 =cos 绕极点按逆时针方向旋 转4而得 ,曲线的形状仍然是一个圆 ,故选 D 评述 :把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程较为麻烦 ,利用旋转不变性则更容易得出答案 .方程 cos( - 0)=0 表示一条直线 ,方程 =acos( - 0)表示半径为 2|a ,圆心为 ( 2|a , 0)的圆 ,要注意两者的区别 . 例 6(2001 年全国 )极坐标方程 =2sin( +4)的图形是 (A) (B) (C) (D) 解 :圆 =2sin( +4)是把
10、圆 =2sin 绕极点按顺时针方向旋转4而得 ,圆心的极坐标为 (1,4),故选 C. 类题 :1(2002 江苏 )极坐标方程 cos 与 cos =21 的图形是 21 21 21 21 (A) (B) (C) (D) (答案 :B) 2(2004 北京春 )在极坐标系中，圆心在 ( ),2 且过极点的圆的方程为 (A) cos22 (B) cos22 (C) sin22 (D) sin22 (答案 :B) 三、判断曲线位置关系 例 7(2000 年京皖春 )直线 = 和直线 sin( - )=1的位置关系 (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合 解 :直线 sin
11、( - )=1是把直线 sin =1绕极点按逆时针方向旋转 角 而得 , 从而两直线平行 ,故选 B. 评注 :对直线 sin( - )=1 与直线 sin =1 的关系要十分熟悉 . 四、根据条件求直线和圆的极坐标方程 例 8(2002北京春 )在极坐标系中 ,如果一个圆的方程是 =4cos+6sin，那么过圆心且与极轴平 行的直线方程是 (A) sin=3 (B) sin = 3 (C) cos =2 (D) cos = 2 解 :将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得 :x2+y2=4x+6y,即 (x-2)2+(y-3)2=13. 圆心为 (2,3),所求直线方程为 y=3,即 sin=3
12、,故选 A. 评述 :注意直线的直角坐标方程极易求出 . 类题 :1(1992 年上海 )在极坐标方程中 ,与圆 =4sin 相切的一条直线的方程是 (A) sin =2 (B) cos =2 (C) cos = 4 (D) cos =- 4(答案 :B) 2(1993 年上海 )在极坐标方程中 ,过点 M(2, 2 )且平行于极轴的直线的极坐标方程是 _. 1 x 0 1 x 0 1 x 0 x 0 1 第 4 页 共 5 页 (答案 : sin =2) 3(1994 年上海 )已知点 P 的极坐标为 (1, ),那么过点 P且垂直于极轴的 直线的极坐标方程为 (A) =1 (B) =cos
13、 (C) = cos1 (D) = cos1 (答案 :C) 4(2000 年全国 )以极坐标系中点 (1,1)为圆心 ,1为半径的圆的方程是 (A) =2cos( -4) (B) =2sin( -4) (C) =2cos( -1) (D) =2sin( -1) (答案 :C) 五、求曲线中点的极坐标 例 9(2003上海 )在极坐标系中，定点 A(1,2),点 B在直线 0s inc o s 上运动，当线段 AB最短时，点 B的极坐标是 _. 解 :在直角坐标系中 ,A点坐标为 (0,1),B在直线 x+y=0上 , AB最短 ,则 B为 )21,21( ,化为 极坐标为 )43,22( .
14、 例 10(1999 年上海 )极坐标方程 5 2cos2 + 2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为 _. 解 :由 5 2cos2 + 2-24=0 得 5 2(cos2 -sin2 )+ 2-24=0 化为直角坐标方程得 164 22 yx ,该双曲线的焦点的直角坐标为 ( 10 ,0)与 (- 10 ,0),故所求 焦点的极坐标为 ( 10 ,0)、 ( 10 , ). 评述 :本题考查圆锥曲线极坐标方程的基础知识 ,掌握点的直角坐标与极坐标的对应关系极为有用 . 例 11(2001 年京皖蒙春 )极坐标系中 ,圆 =4cos +3sin 的圆心的坐标是 (A) ( 25 ,arcsi
15、n53 ) (B)(5,arcsin54 ) (C)(5,arcsin53 ) (D)(25 ,arcsin54 ) 解 :由 = 4cos +3sin =5( 54 cos +53 sin )=5cos( - )(其中 sin =53 ) 所以所求圆心坐标为 ( 25 ,arcsin53 ),故选 A. 类题： (2002 上海 )若 A、 B两点的极坐标为 A(4, 3 ),B(6,0),则 AB 中点的极坐标是 _.(极角用反三角函数值表示 ). 答案 .( 43arctan,19 ) 六、求距离 例 12(2007广东文 )在极坐标系中，直线 的方程为 sin=3，则点 (2,6 )到
16、直线 的距离为 _. 解 : 将直线 的极 坐标方程 sin=3 化为直角坐标系方程得 :y=3, 点 (2, 6 )在直角坐标系中为 ( 3 ,1),故点 (2,6 ) 到直线 的距离为 2. 评注：本题主要考查极坐标系与直角坐标系之间的互化 . 例 13(1992 年全国、 1996 年上海 )极坐标方程分别是 =cos 和 =sin 的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) 2 (C) 1 (D) 22 解法一 :两圆的圆心坐标分别为 ( 21 ,0)与 ( 21 , 2 ),由此求得圆心距为 22 ,选 D. 解法二 :将极坐标方程化成直角坐标方程得 (x- 21 )2+y2=41 与
17、x2+(y-21 )2=41 ,由此求得圆心距为 22 ,选 D. 第 5 页 共 5 页 评述 :本题考查对极坐标的理解 ,理解深刻者可在极坐标系上画出简图直接求解 , 一般理解者 ,化极坐标 方程为直角坐标方程也能顺利得到正确答案 . 例 14(1997 年全国 )已知直线的极坐标方程为 sin( +4)=22,则极点到该直线的距离是 _. 解法一 :化直线方程为 =)4sin(22 ,根据极坐标的概念极点到该直线的距离等于这个函数的最小值 ,当 sin( +4)=1 时 , 取最小值 22 即为所求 . 解法二 :对极坐标欠熟悉时 ,可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程 x+y=1, 应
18、用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为 22 . 类题 :1(2000 年上海 )在极坐标系中 ,若过点 (3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 = 4cos 于 A、 B 两点，则|AB|=_. (答案 :2 3 ) 2(2004上海 )在极坐标系中 ,点 M(4,3)到直线 : 4)s inc o s2( 的 距离 d=_. (答案 : 5152 ) 七、判定曲线的对称性 例 15(1999 年全国 )在极坐标系中 ,曲线 = 4sin( - 3 )关于 (A) 直线 = 3 轴对称 (B)直线 = 65 轴对称 (C) 点 (2, 3 )中心对称 (D)极点中心对称 解 :把圆 = 4s
19、in 绕极点按逆时针方向旋转 3 便得到曲线 = 4sin( - 3 )= )65c o s (4)65c o s (4)3(2c o s 4 ,知其圆心坐标为 (2, 65 ),故圆的对称轴为 = 65 ,应选 B. 评述 :方程表示的曲线是圆 ,为弄清轴对称或中心对称的问题 ,关键是求出其圆心的坐标 . 八、求三角形面积 例 16(2006 上海 )在极坐标系中 ,O 是极点，设点 A(4, 3 )， B(5, 65 )，则 OAB的面积是 . 解 :如图所示 ,在 OAB中，656532,5|,4| A O BOBOA 5s in21 A O BOBOAS A O B 评述 :本题考查极坐标及三角形面积公式 . A B O x
