1、 高一数学 试卷 1 / 7 红 岭中学 2017 2018 学年度第一学期 高 一 年级 第二 学段 统一考试 数学 试卷 (说 明 :本 试 卷考 试时间为 150 分 钟 ,满 分 为 150 分 ) 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 函数 2log ( 1)2 xy x 的定义域是（ A） A (1,2) B (1,2 C (2, ) D ( ,2) 2.垂直于同一条直线的两条直线一定 ( D ) A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能 3.若两直线 01ykx 和 0kyx 相交且交点
2、在第二象限，则 k 的取 值范围是 A A. )0,1( B. 1,0( C. )1,0( D. ),1( 4.直线 0 aayx 与直线 01)32( yaax 互相垂直，则 a 的值为 ( C ) A. 2 B. 3 或 1 C. 2 或 0 D. 1或 0 5如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 ( D ) A 1222 B 21 2 C 12 D 22 6. 已知空间两条不同的直线 ,mn和两个不同的平面 ,，则下列命题 正确 的是 ( D ) A 若 / ,mn ，则 /mn B 若 ,m m n，则 n
3、 C 若 / , /mn，则 /mn D 若 / , ,m m n ，则 /mn 7.设 bca ，如果把函数 )(xfy 的图象被两条直线 bxax , 所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系中， )(cf 的最佳近似表示式是 ( C ) A. )()(21)( bfafcf B. )()()( bfafcf C. )()()()( afbfab acafcf D. )()()()( afbfab acafcf 8 如图，正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为 1，线段 11DB 上有 两个动点 FE, ，且 22EF ,则下列结论中错误的是 ( D ) 高一数学 试卷 2 / 7
4、(A) BEAC (B)EF 平面 ABCD (C)三棱锥 BEFA 的体积为定值 (D)AEF 与 BEF 的面积相等 9 已知 042422 yxyx ，则 3 332 x yx 的最大值 ( B ) A 2 B417C 529 D 13413 10 已知函数 2xxeefx ， 1x 、 2x 、 3xR ，且 120xx， 230xx， 310xx，则 1 2 3f x f x f x的值 ( B ) A.一定等于零 B.一定大于零 C.一定小于零 D.正负都有可能 11.三棱锥 P ABC中 ， PA 平面 ABC且 PA 2， ABC 是边长为 3的等边三角形 ， 则该三棱锥外接球
5、的表面积为 ( C ) A 43 B 4 C 8 D 20 12 已知函数 2 1 ( 0 )2xf x x e x 与 2 lng x x x a 图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a的取值范围是 ( A ) A. , e B. 1,eC. 1 , eeD. 1,ee二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.幂函数 12( 1) my m x 的单调增区间是 13. 0, ) 14 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为 2 的 等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体 积是 14 63 15 光线从 A（ 3， 4）点射出，到 x 轴上的 B 点后
6、，被 x 轴反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反 射 ， 这 时 反 射 线 恰 好 过 点 D （ 1 ， 6 ）， 求 BC 所 在 直 线 的 方程 . 15. 5 -2 7 0xy . 16.已知实数 yx, 满足 0186 yx ，则 1222 yyx 的最小值为 . 高一数学 试卷 3 / 7 16. 107 三、解答题（共 6 小题，共 70 分） 17.（本小题满分 10 分 ) 已知函数 ( ) log ( 0af x x a且 1)a 在区间 12， 4上的最 大值与最小值的差为 3，求 a 的值 17 解： 当 1a 时， ( ) logaf x x 在 (0， )
7、 上为增函数 ， 在 12， 4上函数 ()fx的最小值，最大值分别为m in 11( ) ( ) lo g ( )22af x fm a x( ) ( 4 ) lo g 4af x f ， 3 分 1log 4 log ( ) 32aa，即 lo g 4 lo g 2 lo g 8 3a a a ， 而 2log 8 3 ， 2a ； 5 分 当 01a时， ( ) logaf x x 在 (0， ) 上为减函数， 在 12， 4上函数 ()fx的最小值、最大值分别为 m in( ) ( 4 ) lo g 4af x f， m a x 11( ) ( ) lo g ( )22af x f，
8、7 分 1log ( ) log 4 32aa，即 1 1 1l o g ( ) l o g ( ) l o g ( ) 32 4 8a a a ， 而12 1log ( ) 38 12a ； 9 分 综上所述 2a 或 12a . 10 分 18. （本小题满分 12 分） 如下图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC 3， BC 4， AB 5， AA1 4，点 D 是 AB 的中点 高一数学 试卷 4 / 7 (1)求证： AC BC1； (2)求证： AC1 平面 CDB1； (3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值 解析 (1)证 明：在直三棱柱 ABC A1
9、B1C1 中，底面三 边长 AC 3， BC 4， AB 5， AC BC. 又 C1C AC. AC 平面 BCC1B1. BC1 平面 BCC1B， AC BC1. (2)证 明： 设 CB1 与 C1B 的交点 为 E， 连 接 DE，又四 边 形 BCC1B1 为 正方形 D 是 AB 的中点， E 是 BC1 的中点， DE AC1. DE 平面 CDB1， AC1平面 CDB1， AC1 平面 CDB1. (3)解： DE AC1， CED 为 AC1 与 B1C 所成的角在 CED 中， ED 12AC1 52， CD 12AB 52， CE 12CB1 2 2， cos CED
10、 252 2 25 . 异面直 线 AC1 与 B1C 所成角的余弦 值为 2 25 . 19 （本小题满分 12 分） 已知线段 AB 的两个端点 A、 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，且 AB =2 （ 1）求线段 AB 的中点 P 的轨迹 C 的方程； （ 2）求过点 M(1， 2)且和轨迹 C 相切的直线方程 解 : (1) 方法一：设 P(x , y ), AB =2,且 P 为 AB 的中点， OP =1 2 分 点 P 的轨迹方程为 x2+y2=1 4 分 方法二： 设 P(x , y )， P 为 AB 的中点， A (2x , 0 ), B(0 , 2y ), 2 分 又
11、 AB =2 (2x)2+(2y)2=2 化简得 点 P 的轨迹 C 的方程为 x2+y2=1 4 分 (2) 当切线的斜率不存在时，切线方程为 x=1, 由条件易得 x=1 符合条件 ; 6 分 当切线的斜率存在时，设切线方程为 y-2=k(x-1) 即 kx-y+2-k=0 由22 11kk 得 k=34 , 切线方程为 y-2=34 (x-1) 即 3x-4y+5=0 高一数学 试卷 5 / 7 综上，过点 M(1， 2)且和轨迹 C 相切的直线方程为： x=1 或 3x-4y+5=0 12 分 20.（ 本小题满分 12 分 ） 已知 BCD 中 ， BCD=90， BC=CD=1，
12、AB 平面 BCD， ADB=60， E、 F 分别是 AC、 AD 上的动点，且 ( 0 1).A E A FA C A D （）求证：不论为何值，总有平面 BEF平面 ABC； （）当为何值时，平面 BEF平面 ACD？ 证明：（） AB平面 BCD， AB CD， CD BC 且 AB BC=B， CD平面 ABC. 2 分 又 ),10( ADAFACAE 不论为何值，恒有 EF CD， EF平面 ABC， EF 平面 BEF, 不论为何值恒有平面 BEF平面 ABC. 5 分 （）由（）知， BE EF，又平面 BEF平面 ACD， BE平面 ACD， BE AC. 7 分 BC=C
13、D=1， BCD=90， ADB=60， ,660t a n2,2 ABBD 8 分 ,722 BCABAC 由 AB2=AE AC 得 ,76,76 ACAEAE 10 分 故当 76 时，平面 BEF平面 ACD. 12 分 21 （本小题满分 12 分） 2() 1ax bfx x 是定义在区间 ( 1,1) 上的奇函数，且 12()25f （ 1）求 ()fx解析式； （ 2）证明 ()fx为增函数； （ 3）求不等式 ( 1) ( ) 0f x f x 的解。 解： （ 1） ()fx为奇函数 (0) 0f 即 0b FEDBAC高一数学 试卷 6 / 7 又1122()12514a
14、f 即 1a 2() 1xfx x 3 分 （ 2）设 1211xx 即 210x x x 2 1 2 1 1 221 2 2 2 22 1 2 1( ) ( 1 )( ) ( ) 1 1 ( 1 ) ( 1 )x x x x xxy f x f x x x x x 111x 211x 1211xx 1210xx 又 210xx 2221( 1)( 1) 0xx 0y ()fx在 ( 1,1) 上为增函数 （ 3） ()fx为奇函数 又 ( 1) ( ) 0f x f x ( 1) ( ) ( )f x f x f x 又 ()fx在 ( 1,1) 上为增函数 1 1 1111xxxx 10
15、2x 不等式的解集为 102xx 12分 22 （本小题满分 12 分） 已知圆 C 过点 M（ 0， -2）、 N（ 3， 1），且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上 （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A， B 两点，是否存在实数 a，使得过点 P（ 2， 0）的直线 l 垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由 解： （ 1）设圆 C 的方程为： x2+y2+Dx+Ey+F=0 高一数学 试卷 7 / 7 则有- - 1 024 - 2 01 0 3 0D EEFD E F 3 分 解得 644DEF 圆 C 的方程
16、为： x2+y2-6x+4y+4=0 6 分 （ 2）设符合条件的实数 a 存在， 由于 l 垂直平分弦 AB ，故圆心 (3, 2)C 必在 l 上 所以 l 的斜率 2PCk ， 而 1AB PCka k ， 所以 12a 8 分 把直线 ax-y+1=0 即 y=ax +1代入圆 C 的方程， 消去 y ，整理得 22( 1 ) 6 ( 1 ) 9 0a x a x 由于直线 10ax y 交圆 C 于 ,AB两点， 故 223 6 ( 1 ) 3 6 ( 1 ) 0aa ， 即 20a，解得 0a 则实数 a 的取值范围是 ( ,0) 10 分 由于 1 ( , 0)2 ， 故不存在实数 a ，使得过点 (2, 0)P 的直线 l 垂直平分弦 AB 12 分
