1、2017 学年第二学期浙江省名校协作体试题 高三年级数学学科 考生须知 ： 1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、市场号、座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 0 , 1 ,A B x x C x y x y A ， 则 A B C （ ） A 2,3,4 B 2,3,4,5,6 C 0,1,2,
2、3,4,5 D 3,4,5 2 在复平面内，复数 z 和 1ii 表示的点关于虚轴对称 ， 则复数 z （ ） A 1122i B 1122i C 1122i D 1122i 3 已知 2 5 7l o g 8 , l o g 2 0 , l o g 2 8a b c ， 则 ,abc的大小关系是 （ ） A abc B c a b C b c a D c b a 4 若不等式组 132 2 0xyxy 表示的平面区域经过四个象限 ， 则实数 的取值范围是 （ ） A ,2 B 1,1 C 1,2 D 1, 5 已知函数 32f x ax x x b ， 下列图象一定不能表示 fx的图象的是
3、（ ） A B C D 6 已知袋子中装有若干个标有数字 1,2,3 的小球，每个小球上有一个数字，若随机抽取一个小球，取到标有数字 2 的小球的概率为 13 ， 若取出小球上的数字 X 的数学期望是 2，则 X 的方差是 （ ） A 13 B 23 C 83 D 43 7 设函数 si n 2 si n 2 si n 2f x a x b x c x ， 则 “ 04f ”是“ fx是偶函数 ”的 （ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 8 设 为两个非零向量 ,ab的夹角 ， 且 0 2 ， 已知对任意实数 1,1t ， b ta 无最小值
4、， 则以下说法正确的是 （ ） A 若 和 b 确定 ， 则 a 唯一确定 B 若 和 b 确定 ， 则 a 由 最大值 C 若 确定 ， 则 ab D 若 不确定 ， 则 a 和 b 的大小关系不确定 9 如图所示，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 ， ,PQ分别是 11,BDBB 上的动点 ， 则 1CPQ 周长的最小值为 （ ） A 2153 B 4 2 2 C 8423D 2133 10 已知偶函数 fx满足 11f x f x ， 当 0,1x 时 ， 2*, Nf x ax bx c a b c 。若函数 fx在 100,100 上有 400 个零
5、点，则 abc 的最小值是 （ ） A 5 B 8 C 11 D 12 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分 11 一个 空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 _，体积为 _。 12 已知 na 是公差为 2 的等差数列 ， nS 为其前 n 项和 ， 且 2 5 71, 1, 1a a a 成等比数列 ， 则 1a _， 当 n _时 ， nS 有最大值。 13 在二项式 6631x x的展开式中 ， 所有有理项系数之和为 _， 把所有项进行重新排列 ， 则有理项互不相邻 的排法有 _种 。 14 在 ABC 中 ， 角 ,AB
6、C 所对的边分别为 ,abc。 若 32 ,sin 4c b C， 则 sinB _；若2 2 224abc ， 则 ABC 面积的最大值是 _。 15 设集合 2 22, 2 1 2 , , , , 2 , ,RRA x y m x y m x y B x y m x y m x y ，若AB ， 则实数 m 的取值范围是 _。 16 双曲线 2222 1 0 , 0xy abab 的右焦点为 F ， 过 F 的直线 l 与双曲线的渐近线交于 ,AB两点 ， 且与其中一条渐近 线垂直， 若 3AF FB ， 则此双曲线的离心率为 _。 17 空间单位向量 ,AB AC AD 满足 , , ,
7、 3A B A C A C A D A D A B 。空间区域 是由所有满足A P x A B y A C z A D 1 , 1 , 1x m y n z p 的点 P 构成 ， 且 的体积为 162 ， 则xy x y z 的最小值为 _。 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分 解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 18 函数 2 s in 1 0 , 02f x x 的图象过点 , 2 14， 且相邻两个最高点与最低点的 距离为 2 642 。 （ 1）求函数 fx的解析式和单调增区间 ； （ 2）若将函数 fx图像上所有点向左平移 38 个单位长度 ， 再将所得图象上所有点
8、的横坐标变为 原来的 12 ， 得到函数 gx的图象 ， 求 gx在 ,12 3上的值域 。 19 在如图所示几何体中，平面 DAE 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为等腰梯形 ， 四边形 DCFE 为菱形 。已知 1/ / , 6 0 , 12A B C D A B C C D A B . （ 1）线段 AC 上是否存在一点 N ，使得 /AE 平面 FDN ?证明你 的结论； （ 2）若线段 FC 在平面 ABCD 上的投影长度为 12 ， 求直线 AC 与平面 ADF 所成角的正弦值 。 20 已知实数 a 满足 12a， 设函数 321132af x x x ax 。 （ 1）当
9、2a 时 ， 求 fx在 1,2 上的最小值 ； （ 2）已知函数 21 1 22 l n 2 Rbg x b x x bx 的极小值点与 fx的极小值点相同 ， 求 gx的极大值的取值范围 。 21 已知抛物线 2: 2 0C x py p， 且抛物线 C 在点 1, 1Pf 处的切线斜率为 12 。 直线 l 与抛物线交于不同的两点 ,AB，且直线 AP 垂直于 直线 BP 。 （ 1）求证：直线 l 过定点 ， 并求出定点坐标 ； （ 2）直线 BP 交 y 轴与点 M ， 直线 AP 交 x 轴与点 N ， 求 APBPMPNP的最大值。 22 已知数列 na 中 ， 111, 2 1
10、 nnna a a 。 （ 1）证明： 13nna是等比数列 ； （ 2）当 k 是奇数时 ， 证明 ：111 1 92kkkaa ； （ 3）证明：121 1 1 3na a a 。 2017 学年第 二 学期浙江省名校协作体 参考答案 高三年级数学学科 首命题：长兴中学 次命题兼审校：温岭中学 审核： 嘉兴市第一中学 一、 选择题 （每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D D B C B B C 二、 填空题 （ 11-14 题每题 6 分； 15-17 题每题 4 分 ，共 36） 11. ， ； 12. ， 10 ； 13.
11、 32 ， 144 ； 14. ， ； 15. ； 16. ； 17. 8 三、解答题（ 18 题 14 分， 19-22 题 每题 15 分，共 74分 ） 18. （ 14 分） （ 1） 由已知 相邻的两个最高点和最低点的距离为 ， 可得 ，解得 2 （ 2 分） 又 （ 4 分） （ 6 分） 当 单调递增时， 解得 的单调增区间为 . （ 8 分） (2)由题意得到 的解析式为 （ 10 分） 当 时， ， （ 14 分） 19. （ 15 分） （ 1）在线段 上存在点 ,使得 平面 ,且 是 的中点 . 证明如下： 如图，连接 交 于点 ,连接 . 四边形 为菱形， 为 的中点
12、. 在 中，由中位线定理可得 .（ 4 分） 平面 ， 平面 平面 在线段 上存在点 ,使得 平面 ,且 是 的中点 .（ 6 分） （ 2） 解法一： 在平面 上的投影长度为 平面 平面 作 ,则 平面 则 ，且点 为线段 的中点 以 为原点， 方向为 轴，过 平行 方向为 轴，过 以垂直 平面方向为 轴， 轴在平面内 . 可得 O D A C B E F N D A C B E F O z ， ，（ 9 分 ） （ 11 分） 设平面 的法向量为 ，则 ，得 解得一个法向量为 . （ 13 分） 若 直线 与平面 所成角 为 ，则 （ 15 分） 解法二： 在平面 上的投影长度为 平面 平
13、面 作 ,则 平面 则 ，且点 为线段 的中点 , （ 7 分） 设点 到平面 的距离为 ， ， （ 8 分） , 取 的中点 ，连接 .取 的中点 ，连接 . ,且 为 的中点 平面 D A C B E F O M N , 即 为直角三角形 （ 12 分） （ 14 分） 设直线 与平面 所成角为 ，则 （ 15 分） 20 （ 15 分）（ 1） 当 时， .（ 1 分） ，令 ，解得 （ 2 分） -1 1 2 在 上单调递增，在 单调递减 （ 4 分） （ 6 分） （ 8 分） （ 2） 当 时， 的极小值点 ，则 的极小值点也为 . （ 10 分） ，则 ， ， 仅有两根 . 令 则 即， . （ 12 分） 当 ， ， 时， 当 时， 所以 极大值的取值范围是 （ 15 分） 21.（ 15 分） (1) 当 时，得 ， 抛物线的方程为 （ 2 分） 设 ， ，解得 （ 4 分） 又 直线 即 （ 6 分） 将 式代入 得 令 解得直线 过定点 （ 8 分） (2)设直线 方程为： ，不妨设 联立 ，得 ， 利用韦达定理得 ， 由于 ，同理可得 （ 10 分） 又 （ 12 分） 的最大值为 . （ 15 分） 22.（ 15 分） （ 1） 又 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列 . （ 5 分） (2)由（ 1）可知 即
