矩阵初等变换的应用.DOC

1、1 矩阵初等变换的应用 摘 要 矩阵的初等变换是 线性 代数中很重要的一部分，本文 从矩阵初等变换的概念开始，应用具体实例，介绍了矩阵的初等变换在高等代数中的一些应用 .运用矩阵的初等变换可以求出逆矩阵、矩阵的秩、求解矩阵方程和线性方程组、以及矩阵的特征值和特征向量等等 . 关键词 初等变换、逆矩阵、矩阵方程、 线性方程组 0 引言 矩阵理论是 线性 代数的 重要 内容之一，它是研究线性方程组、二次型及线性变换等问题的一个 常用 工具 .而矩阵的 初等变换 则 是贯穿于线性代数的一种 十分重要 的 方法，它包括线 性方程组的初等变换、行列式的初等变换和矩阵的初等变换， 许多线性代数问题都可用它

2、来解决， 在解决代数问题时，运用矩阵的初等变换可以使问题简单化 .本文从初等变换的概念开始， 利用实例 逐步介绍了初等变换在解题过程中的应用 ，通过这些实例更体现了矩阵的初等变换在数学中的重要地位 . 1 矩阵、矩阵的初等变换及初等矩阵的 基本 概念 定义 1 由 nm 个数排成 m 行 n 列的数表 aaaaaaaaamnmmnn212222111211称为 m 行 n 列的矩阵，或称为 nm 矩阵 . 定义 2 对某一矩阵施行的初等变换是指对该矩阵的行或列进行的如下三种变换的统称： （ 1）倍法变换：将矩阵 A 第 i 行（列）的各元素分别乘以 k ，其余行（列）不动，得到矩阵 B ，称对

3、 A 施行了一次倍法变换 . （ 2）消法变换：将矩阵 A 的第 j 行（列）乘以 加于第 i 行（列），其余行（列）不动，得到矩阵 B ，称对 A 施行了一次消法变换 . 2 （ 3）换法变换：将矩阵 A 第 i 行（列）与第 j 行（列）对调位置，其余行（列）不动，得到矩阵 B ，称对 A 施行了一次消法变换 . 定义 3 对矩阵的行（列）进行的倍法交换、消法变换和换法变换统称为初等行（列）变换 . 矩阵初等变换的表现形式： （ 1）倍法变换：非零常数 k 乘矩阵的第 i 行（列）： ikr 或 ikc ； （ 2）消法变换：矩阵的第 i 行（列）加上第 j 行（列）的倍： ji krr

4、或 ji kcc ； （ 3）换法变换：交换矩阵的第 i 行（列）与第 j 行（列）： ji rr 或 ji cc ； 定义 4 对单位矩阵 I 施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 .三种初等变换对应以下三种初等矩阵： （ 1）初等倍法矩阵：以数 k 乘单位矩阵的第 i 行（列），得初等矩阵 )( kiP ，称之为初等倍法矩阵； （ 2）初等消法矩阵：以数 k 乘单位矩阵的第 j 行（ 列）加到第 i 行（或用数k 乘单位矩阵的第 i 列加到第 j 列），得初等矩阵 )(,( kjiP ，称之为初等消法矩阵； （ 3）初等换法矩阵：把单位矩阵的两行（列）对调，得到初等矩阵 ),( jiP

5、，称之为初等换法矩阵 . 通常将以上三种矩阵依次简称为倍法矩阵、消法矩阵、换法矩阵 . 2 用初等变换求矩阵 和向量组 的秩 定理 1 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩 . 定理 1 表明：初等变换 虽然 改变了矩阵，但不改变矩阵的秩，所以称矩阵的秩是矩阵初等变换下的不变量， 且任意一个 nm 矩阵均可以经过一系列行初等变换化为 nm 梯形矩阵 ; 因此 , 确定一个矩阵的秩 , 首先要 利用 初等变换 把其变 为梯形矩阵 , 然后再由梯形矩阵的秩 来 确定原 来 矩阵的秩 . 3 例 1 求矩阵10111522116131221101A 的秩 . 解： 10111522116131221101

6、A 1200030300211102110130300120002111021101434232 rrrr rr阶梯矩阵中非零行的行数为 4 ，所以该矩阵的秩为 4 ，即 4Ar . 除了求矩阵的秩，在学习过程中可能还要求求向量组的秩，我们可以把每一个 向量作为矩阵的一行， 把 向量组就转变成 为 一个矩阵， 即 向量组的秩 就转化成了 矩阵的秩，问题就变简单了 . 例 2 求下列向量组的秩 )1,3,1,2(1 ， )0,2,1,3(2 ， )2,4,3,1(3 ， )1,1,3,4(4 解：以 4321 , 为列 , 构造矩阵 A , 再对 A 进行行初等变换 , 化为梯形矩阵 : 120

7、1142333114132, 4321 A 21101055033111055032242321_rr rrrr rr31212121102110331121104 211000003311211013 _ rr rr140000000033112110 rr 210000000021103311因此，阶梯矩阵中非零行的行数为 2 ， 所以矩阵的秩为 2 ，从而向量组 4321 ,的秩也是 2 . 3 用初等变换求逆矩阵 命题 1 如果 A 是 n 阶可逆矩阵 ,则经过若干次初等变换后可化为 I ,我们将A 与 I 并排放到一起 , 形成一个 n2n 的分块矩阵 )|( IA , 然后对此矩阵

8、施以仅限于行的初等变换，使子块 A 化为 I ,同时子 块 I 即化成 1A 了 ,即 )|( IA 初等行变换 )|( 1AI 将其左半部分化为单位矩阵 , 右半部分就是 1A . 例 3 求矩阵 A3100520000110012的逆矩阵 . 解：作 84 矩阵 )|( 4IA )|( 4IA10003100010052000010001100010012 rr rr 43 21 01005200100031000001001200100011 r2r r2r 34 12_210010001000310000210010001000115 r1 r3rr1rr443221210010005

9、30001000021001000110001于是得到 21005300002100111A 上面所说用初等变换求逆矩阵的方法，仅限于对矩阵的行 作 初等变换，不 能进行 列变换 . 同样的道理，也可对矩阵 作 仅限于列的初等列变换 来 求逆矩阵 . 我们将 A 与 I 并列放到一起 , 形成 一个 nn2 的矩阵 IA, 因为 11 AIIAA , 所以对矩阵 IA 作一系列列初等变换 , 将其上半部分化为单位矩阵 , 这时下半部分就是 1A . 1AIIA 初等列变换4 用初等变换求解矩阵方程 我们都知道矩阵方程经过恒等变换后有三种可能形式： BAX , BXA , BAXC , 如果矩阵

10、 A,C 可逆，有 1111 BCA,XBAB ,XAX ,计算得到 X . 例 4 求解矩阵方程 BAX ,其中 A202030102 , B 200021021 解： BA, 200202021030021102 rr 132211000210300211026 r rr 2 313122110003231010242002 r12122110003231010121001因此 221031311211 BAX5 用初等变换求线性方程组的基础解系 考虑一般的线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111的求解问题 .记 m

11、nmmnnaaaaaaaaaA212222111211， nxxxx 21， mbbbb 21则方程组的矩阵形式为 bAx 其中 A 称为方程组的系数矩阵， b 为常数项矩阵，x 称为 n 元未知量矩阵 . 我们把方程组的系数矩阵 A 与常数项矩阵 b 放在一起构成的矩阵 mmnmmnnbaaabaaabaaabA21222221111211称为线性方程组的增广矩阵 . 5.1 求齐次线性方程组的解（当 0b 时， 0Ax 称为齐次线性方程组） 例 5 解线性方程组 0793083032054321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx -解：对增广矩阵 0A 作行初等变换

12、7 079310181303211015110A 08144004720047200151131413 rr rr 00000000000227100123010000000000047200123012 2242321-rrrrr即原方程组与下面的方程组 43243122723xxxxxx 同解，其中 3x ， 4x 为自由未知量 .因此求得两个解方程组的基础解系 0127234321xxxx， 10214321-xxxx5.2 非齐次线性方程组的解（ bAx ，其中 0b ） 例 6 求解2397483023254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解： 对增广矩

13、阵 0A 作行初等变换 441480227402274021511323971418130123121511141312-rr rrrr 000000000011272010231122242321-rrrrr8 原方程组同解于1272123432321xxxxxx 即 3243212721 231xxxxxx 令 32,xx 为自由变元，得它的通解为 21423122112721231ttxtxtxttx6 用初等变换求 n 阶数字矩阵的特征值与特征向量 方法： (1)解 A 的特征方程 0AI ,求出 A 的 n 个特征值 1 ， 2 ， n . (2)对每一特征值 i ，求解齐次线性 方

14、程组 0 xAIi ，得此方程组的基础解系 1 ， 2 ， s ，则 A 对应于 i 的全部特征值向量为 ssccc 2211 ， （ sccc , 21 为不全为零的任意常数） 例 7 求矩阵201034011A 的特征值和特征向量 . 解：矩阵 A 的特征方程为 0201034011 AI 化简得 012 2 - ，所以 21 ， 132 是矩阵 A 的特征值，“ 1”是矩阵 A 的二重特征值 . 当 21 时，解齐次线性方程组 02 xAI ： 0000100010100100010010140132 AI 9 得基础解系1101，则矩阵 A 对应于 21 的全部特征值向量是100111

15、 cc（ 1c为任意非零常数） 当 132 时，解齐次线性方程组 02 xAI ： 000210101210420101101024012AI 可得它的基础解系为1212- ，则矩阵 A 对应于 132 的全部特征值向量是121122-cc （ 1c 为任意非零常数） 7 用初等变换求矩阵的满秩分解 方法 ： 存在非奇异矩阵 P 、 Q 化矩阵为 A 成为简单形，即 00 0rIPAQ 或 1100 0 QIPA r BCQIIP rr 11 00其中 11 0,0 QICIPB rr例 8 求矩阵311131720021A 的满秩分解 . 解：10 100001000010000110031

16、11010317200100210IIA 100001000010000110131300123130001002123121rrrr- 100001000010002111300000123130001000132 rrC2C- 21 100000100100020111300000123310001000132 CC 1000331001000201113000001200100010001334232CCCC通过以上可知矩阵 A 的秩为 2 . 行变换矩阵1130120011P,列变换矩阵10003310010002012P 他们相对应的逆矩阵11101200111P,100000103130002112P 将 11P 的前两列与 12P 的前两行组合得 A 的满秩分解 3130 0021111201A