1、 英国小学 数学 毕业测试中 空间观念 试题 的 分析 张麟 唐彩斌 空间观念是义务教育数学课程标准（ 2011 版）中提到的十个核心词之一，所谓 空间观念 ，主要是 根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。 怎么来评价学生的空间观念，一直是摆在我们面前迫切需要解决的问题。在 国 内 的小学测试卷中 我们 经常会看到这样一道 题目：如下 图所示，在正方体木块的 6 个面上分别刻有不同的点数，其中按箭头方向翻动木块，当翻到 E 格时，向上的面的点数是（ ）。（填数字） 可能 有 老师会认
2、为这是 一道 好题，学生要经历充分的空间想象才能解决这个问题，达到了测查空间观念的目的。其实并不然，很多学生拿到这道题目根本 想都不去想，直接拿起一块橡皮 ，将数字标在相应的面上，然后按图示翻转一下，便填上了答案 （甚至有的老师平时就是这样教的） 。可想而知，这样的解决过程学生是没有经历空间想象的 ，违背了题目的本 意，没有达到测查空间观念的目的。当然不能怪学生 和老师，只能反思我们这样的题目是否很科学，卷面 测试中 如何测查空间观念？怎样的题目是合适的 、是科学的 ？这些问题或许我们可以从英国的小学数学毕业试卷中得到些启示。 一、 英国通过哪些内容来测查学生的 空间观念 ？ （一） 立体图形
3、与展开图 立体图形的展开图是考察学生空间想象能力的常用形式，在英国的毕业卷中也多次出现这样的题目。题目的类型主要有以下两种： 1 判断立体图形的展开图是否正确 例 1： 2000 年 毕业 测试 B 卷中的第十三题。 看着下面的图案，哪些是正方形为底的棱锥 的展开图，打上，不是的话，请打上。 此题是一题开放题，主要考察学生是否能够通过空间想象将展开图与立体图形之间进行转换，关于棱锥展开图的题目国内比较少见。 2 在展开图上画出立体图形上相对应的图案 例 2： 2006 年毕业测试 B 卷第十六题 这里有一个正方形，它的上半部分涂了阴影，下半部分是白色的。把它展开后，如图所示，请将阴影部分补充完
4、整。 本题需要 学生根据正方体上的图案特征，然后想象出展开后这些图案会在相应的哪 个面上， 并判断出正确的摆放位置 。需要学生有较 强的空间想象力。 （二） 轴对称 关于轴对称的题目是在英国毕业测试卷中出现频率最高的题型。 英国 毕业 测试卷 总题数 一般 为 2226 题 不等， 而每份卷子中都会有与轴对称相关的题目出现，题数在 13 题不等，由此 可见英国对于轴对称的重视程度。 题目的类型主要有以下 三类 ： 1 判断是否是轴对称图形 例 3:2000 年毕业测试 A 卷第九题 格子图中有一些阴影图形。哪三个是对称图形？ 本题需要学生根据这些图形的特征， 假设 出对称轴 的位置 ，并想象着
5、将图形对折，从而判断是否是轴对称图形。其中 B 和 F 这两个图形可能会造成学生判断失误。 2 画已知图 形的对称轴 例 4： 2002 年 毕业测试 B 卷 第五 题 用尺子画出下面每个图形的对称轴。 本 题比较有特色，既需要考虑到 外轮廓 图形的 对称性，也要考虑到图形内部的若干个圆对图形对称性的影响。而且第 1 幅 图、第 3 幅 图都不只一条对称轴，具有一定的开放性。 3 根据部分图形及对称轴将 图形 画完整 例 5： 2011 年毕业测试 A 卷第二题 根据对称轴画出对称图形的另一半，并涂上阴影（其中有一个格子已经画好）。 本题的 对称轴是 45方向的，对于学生来说具有一定的难度。需
6、要具有较强的空间想象能力。 （三） 图形 的运动 描述图形的运动和变化是空间观念内容之一。这块内容在 国内 平时的教学中越来越 重视， 但在测试中还是出现相对较少 。 在英 国的毕业测试中对孩子这个方面能力的测查出现的比较多 ，主要 有以下的三类： 1 平面图形的 平移 例 6： 2010 年毕业测试 A 卷第二十四题 这张方格纸中有一个四边形。这个四边形被平移了，因此点 A 就移动到了点B。在新的位置画出这个四边形。使用直尺。 本题是斜着将图形平移，而且有一个点已经给出 了。解决的策略有两种：一是可以判断点 A 的移动路径，然后将其他点重复这样的路径移动 ，最后画出移动后的 图形 。二是可以
7、根据这个四边形的特征，由已知的一个点，画出这个四边形。需要学生有一定的空间想象力以及对图形特征的把握能力。 2 平面图形的旋转 关于平面图形的旋转又可以分成两类：一类是画出旋转后的图形（例 7），另一类是选择正确的旋转后的图形（例 8）。 例 7： 2007 年毕业测试 B卷 第二十题 格子图中有一个阴影图形，杰米绕着格子图的中心将这个图形顺时针旋转90 度，请在新的位置画出旋转后的图形。 本题因为有预设的环状网格， 每一格 30， 所以降低了解决的难度。需要学生判断旋转的方向 和 中心点，然后根据图形的特征在正确地 位置画出来。 例 8:2009 年毕业测试卷 A 卷第三题 斯蒂芬在正方形卡
8、片里画了这样的图案。 他转动了卡片，下面卡片中哪些与斯蒂芬的卡片有相同的图案，请打。 本题需要学生整体考虑正方形卡片内的一个角以及另外三个图形之间的 相对位置关系，需要有一定的空间想象能力。 正确的答案为第 2 幅图。 3 立体图形的运动 例 9： 2001 年毕业测试 B卷第八题 汤姆用四个小方块组成一个图形，并画了两个圆。汤姆摆动图形，请在下图中画出两个圆的位置。 本题是由 四个小立方体拼成的一个立体图形，进行翻动，然后判 断出原来立体图形上的两个圆点的位置。 需要考虑到立体图形的相对位置，也要考虑到圆 点在立体图形上的绝对位置， 考察了学生的空间想象能力。 （四） 图形的分割与拼组 在图
9、形的 分割 与 拼组 的过程中，需要把握图形的特征，想象出分解后或组合后图形的情况，是培养空间观念的一种有效的手段。 特别是图形的分割为后续学习添加辅助线打下了基础。 英国的毕业试卷中出现了多道有关于图形 分割 与 拼组的试题 。 1 图形的分 割 例 10： 2003 年毕业测试 B卷第十题 从 A 点出发画出两条直线，把下图分成一个四边形和两个三角形。 本题学生 需要 明确四边形和三角形的特征，然后想象出两条直线画完后，整个图形的分割情况。 题目的答案不唯一，具有开放性。 2 图形的 拼组 例 11： 2009 年毕业测试 B卷第六题 这里有四个图形。它们能沿着直线排成一行，彼此之间没有空
10、隙。把它们的排列顺序写在横线上。 本题需要学生先观察各个图形的特征，然后根据各个图形之间的关系，通过想象将这些图形尝试着进行拼合，需要较强的观察力和空间想象能力。 正确的答案为： D、 B、 A、 C。 （五） 坐标中的位置关系 课程标准指出： 空间观念的内容包括， 想象出物体的方位和相互之间的位置关系 。英国 的毕业测试卷中出现了很多根据图形的特征，并利用坐标系来表示出相应点的位置，以考察学生的空间观念。 例 12： 2004 年毕业测试 A 卷第 二十 题 这是一个风筝形，请写出 D 点的坐标。 本题学生需要掌握 风筝形的特征，然后 将 B 点平移到 A 点正上方，得出距离为 2， 然后推
11、断出 B点到 D 点的距离应该是 4，从而得出 D 点的坐标 （ 5,2） 。考察学生的 综合分析能力和 空间 想象力。 二、英国 小学数学毕业试卷空间观念的试题特点。 （一）避免操作可以得出结果的试题 在平时测试中我们时常发现 ， 有时 需要空间想象解决的题目，如果出得 不好，往往学生会现场制作一个符合题意的物品，然后用一个 简单的操 作完成，而没有去通过观察和想象完成，这样题目就失去了原有的意义 。英国的毕业试题中就很好地避免了这个问题， 设计的试题， 要么是无法进行实物操作 ， 要么是制作这个物品很困难 ，这样就突显出考察学生空间观念 的意义。 例 13： 2004 年毕业测试 A 卷第
12、十三题 下面是一个柱体的展开图，在正确的图案下面打。 本题如果通过制作一个实物然后操作是非常困难和费时的，在测试中是不太能实现的。所以只能通过在头脑中想象着打开和折叠，才能做出判断，这样就达到了考察学生空 间想象能力的目的。 （二） 充分利用了坐标 坐标是联系点和数的有效工具，有了坐标就可以进行图形 和数之间的转换。小学阶段主要运用到坐标系的第一象限，用于表述平面内的某个点的 位置。 英国的小学毕业测试中有很多关于坐标的试题，以考察学生的空间观念。 例 14:2000 年毕业测试 A 卷第二十二题 这个阴影三角形是这个白三角形沿着对称轴画出的轴对称图形。写出 A 点和 B 点的坐标。 例 15
13、： 2002 年毕业测试卷 A 卷第十七题 阴影图形是一个平行四边形，请写出 A 点的坐标。 从 这两个例题可以看出，英国的小学数学毕业测试中运用坐 标是非常普遍的，有的是跟轴对称知识相结合 ，有的是与图形的特征知识点相结合，将这些知识点与坐标结合，可以更 有效地考察学生的空间观念。 我们平时讲数对更多地用来表示现实物体，比如：说座位，看来我们需要更快地过渡到用数对来描述图形的属性。 （三） 作图题的背景网格图 变化丰富 跟 平移与旋转 或轴对称 有关的作图题 一般 都会提供 网格图，国内 比较常见的就是正方形的网格图。英国则不同，它的网格图变换较多，有正方形（见 前面 例6）、近似圆弧形（见
14、 前面 例 7）、 正六边 形 、菱形、 圆形和正方形结合 等。 如下面各题： 例 16： 2005 年 毕业测试 B 卷第五题 下面的格子图是由六边形组成的，请画出它的轴对称图形。 例 17： 2007 年毕业测试 B 卷第二题 画出下面阴影图形的轴对称图形。 例 16： 2009 年毕业测试 A 卷第八题 画出下图阴影图形的轴对称图形，并涂上阴影。 作图题背景的 变化可以有效地避免 解题的 程式化。 变化就带来了思考，学生在观察 图形 本身特征的时候，还要观察 构成 网格图 的图形的特征，这样对学生锻炼价值就更大了，增加了题目的思考含量 ，可以更好地反应出学生的空间观念水平。 （四） 注重
15、考察对基本图形特征的掌 握 对一些基本图形 特征的掌握是空 间观念能力的基础。英国的毕业测试中有一些试题是专门考察学生对于某 些基本 图形特征 的 掌握情况，但没有出现 直接考察概念性的问题，而是设计了比较巧妙的试题。如下面各题： 例 17:2000 年毕业测试 A 卷第 6 题 画两条直线使下图成为一个长方形，使用直尺。 例 18： 2003 年毕业测试 A 卷第十五题 下面的图中是三个四边形的对角线，请写出这些四边形的名称。 例 19： 2004 年毕业测试 B卷第十二题 下面是一个正六边形，添上 3 条线组成一个等边三角形。使用尺子。 这几题虽然没有出现直接考察这些图形特 征的语句，但通
16、过这样的形式，很好地 检测 了学生是否掌握了正方形、长方形、“风筝型”、 正三角形等基本图形的特征。 （五）注重思考的 开放性 英国的毕业测试中很多关于 空间观念的试题答案不唯一，具有一定的开放性。这种开放性增加了 想象的空间，对于锻炼学生的空间观念是很有帮助的。如下面各题： 例 20： 2002 年毕业测试 B卷第四题 在下图中画出一个没有直角的三角形，使用尺子。 例 21:2003 年毕业测试 B卷第八题 下面是一个无盖的正方体的展开图，请在方格图中画出正方体的顶。 上面的两题答案都有多种，一 方面给了学生充足的思考空间，另一方面也能体现学生之间 在空间观念上 的个体差异。 虽然中国和英国两国的文化有所不同，小学数学 的内容和教学方式也可能有所差异，但对于培养学生的空间观念都非常 重视。 “他山之石可以攻玉”， 英国小学毕业测试中有很多好的理念、好的做法、好的试题，值得我们借鉴和学习。 我们的推介是 希望能 在 中国的 书面检测 中 看到更好 的、更科学的 有关空间观念的试题，在平时的教学中学生的空间观念能力能得到更好的 锻炼。 （ 通讯地址：杭州市孝女路 4号 杭州市天长小学 310006 联系电话： 13588181848 ）
