1、中華管理學報 第五卷 第二期 第 93-104頁 民國九十三年 93 資料包絡分析法權重設限之研究 劉春初 長榮管理學院國際企業學系副教授 台南縣歸仁鄉大潭村長榮路一段 396號 Tel： 06-2785123-2162 Fax： 06-2785662 E-mail： lccmail.cju.edu.tw 摘要 資料包絡分析法（ Data Envelopment Analysis, DEA）乃是利用數學規劃模式求取決策單位之相對效率，此一分析方法可得到組投入要素與產出之最佳權數， Boussofiane， Dyson Thanassoulis（ 1991）認為 DEA模式中經由運算得出之權數同
2、時具有優點與缺點。優是：權數的產生不受人為主觀因素影響非常公正且公平。缺點是：如果權數的刻意選擇將可能造成該 DMU為相對有效率，因此其效率未必來自本質效率（ inherent efficiency），而是來自於權數的選擇。是故如此的先天賦予權數所得之相對效率值是否合公平理，而被接受呢？故本研究針對此一缺點整合主、客觀權重設限法，使得評估結果更為接近事實最後以高雄市各區隊垃圾清運為例說明之。 關鍵 詞 ： 資料包絡 分析法， 相對效率，權重設限 A study of weight restrict in data envelopment analysis 1Chn-Chun Liu 1 Dep
3、artment of International Business, Chang Jung Christian University, Taiwan Abstract Data Envelopment Analysis (DEA) is a mathematical programming approach to accessing relative efficiencies within a group of Decision Making Units (DMUs). An important outcome of such an analysis is a set of virtual m
4、ultipliers or weights accorded to each (input or output) factor taken into account. This paper suggests a conceptual framework for the treatment of factor weights in DEA. First, the paper proposes general guidelines for setting bounds on factor weights in DEA. Then, this paper combined both Subjecti
5、ve weight restrict method and Objective weight restrict method to evaluate the twelve District Garbage Disposal Teams for the City of Kaohsiung. Key Words： Data Envelopment Analysis (DEA)， relative efficiency， weight restrict 一、問題之界定 由於社會資源有限，如何將有限資源作最佳的運用，素為大眾所關注。效率的衡量是提升效率的基礎，衡量的結果可以幫助組織瞭解本身的優勢與劣，
6、並體認環境所存在的機會或威脅，使各項資源能作最有效的運用。 中華管理學報 第五卷 第二期 第 93-104頁 民國九十三年 94 資料 包絡分析（ Data Envelopment Analysis，以下簡稱為 DEA）方法，自 Charnes、Cooper及 Rhodes於 1978年提出數學規劃模式之後， DEA便廣泛地被使用在多項投入、多項產出之效率評估上，尤其是在非營利組織或政府部門的效率評估，此一方法不但可對組織做整體性之考量並且可提供決策者一個改善的方向，可以說是比傳統之計量法，如比率分析、迴歸模式分析來得恰當（ Craycraft, 1999）。但是本方法也有其缺點存在， Bou
7、ssofiane， Dyson Thanassoulis（ 1991）認為 DEA模式中經由運算求出之權重同時具有優點與缺點。優點是：權重（ Weight）的產生不受人為主觀因素的影響非常公正且公平。缺點是：如果權重的刻意選擇將可能造成該 DMU為相對有效率，因此其效率未必來自本質效率（ inherent efficiency），而是來自於權重的選擇。是故本研究針對此一問題進行深入之探討，企圖找出最佳權重設定之方法 (結合主、客觀權重設定方法 )，使得評估結果更趨於合理。 二、相關文獻探討 2.1 效率評估模式與 DEA模式 評估效率的方法有好多種，最常見的是以勞動的生產力來表示 (Starr
8、,1978)，亦即每一員工之平均產量，而實際上從事生產之投入因子並不僅勞力一項，資本之重要性常凌駕於勞力之上，依此算法，對於高度資本化之廠商，其效率勢必高於勞力密集之廠商，如此評估效率將使生產趨於資本化，增加設備之投減少勞力使用，結果是否真正有效率，很值得懷疑，因此必頇將各種投入因子一併考慮，所得結果才有意義。 Forsund 等人（ 1980 ）將效率評估方法分為四類，可以圖 1表示之。確 定 性隨 機 性母數無 母 數統 計 型線 性 規 劃 法生 產 邊 界圖 1 生產邊界函數之分類 DEA分析法是一種採確定性無母數邊界法，此類方是採用相對比較之觀念，接受評估之區隊互相比較，在比較的過程
9、中，是採數學規劃方式，該法源於 Farrell（ 1957）提出以非預設生產函數代替常用的預設函數來推估效率值概念，利用數學規劃技巧求出效率邊界，亦即效率生產函數此邊界是屬於一般所謂的確定性無參數邊界（ deterministic non-paramtetric frontier）。然後利用實際觀察點與此邊界的相 對位置關係，求出技術效率（ technical efficiency ）。再考慮投入要素價格比，可測得價格效率（ price fficiency）或稱為分配效率（ Allocative Efficiency）；總效率（ overall efficiency）則為此二者的乘積。技術效率
10、所講求的是在現有技術上，有效利用生產要素，以生產最大產量之意；價格效率則為在既定的技術及要素價格比率下，使投入的要素組合之成本為最低的生產方法。 中華管理學報 第五卷 第二期 第 93-104頁 民國九十三年 95 該觀念由 Charnes， Cooper與 Rhodes（ 1978）加以擴充，對非追求利潤單位進行評估，將受評估者各項產 出與投入因子分別加以線性組合，以二線性組合之比值代表接受評估者之效率，即在各接受評估單位最有利情況下作佳選擇，各單位之效率值頇介於 0與 1之間，而最具效率的決策單元（ DMU）其效率值為 1，也就是說， DEA模式希望在所有 DMU的效率值皆小於或等於 1的
11、情況下，賦予某一 DMU最有利之要素加權值，儘量提昇該 DMU之效率值，因此 DEA模式可表示為一個分數線性規劃模式：programming）： CCR模式 MAX hkU r YrkrsVi ikms tU r YrjrsViXijimU r Vii mr sj n= 1Xi = 1= 11= 1 ,2 . . .= 1 ,2 . . .= 1 ,2 . . . .,10(1) 其中 Yrj 表第 j個 DMU的第 r個產出值 Xij 表第 j個 DMU的第 i個投入值 Ur 表第 j個 DMU的第 r個產出項的加權值 Vi 表第 j個 DMU的第 i個投入項的加權值 hk 表第 k個 DM
12、U的效率值 由於模式（ 1）是分 數線性規劃模式，為一種非線性 (nonlinear)模式，真正求解還很困難，可運用一連串的數學技巧轉化為一個線性規劃模式，此即 CCR模式。2.2 DEA模型權數設定之探討 有關探討 DEA模式的權重的文獻自 Charnes等人（ 1979）以來陸續已有許多學者鑽研此一問題，而國內對於權重的探討只有少數幾篇如蕭基淵（ 1989）等。這些研究雖然各有不同貢獻，惟大多著重在理論之探討與權重設限方法的，玆將有關探討權重之文獻列表 1以供參考。 中華管理學報 第五卷 第二期 第 90-101頁 民國九十三年 95 中華管理學報 第五卷 第二期 第 93-104頁 民國
13、九十三年 96 表 1 有關權重探討之理論與實證研究 作者 主要貢獻 Charnes,Cooper Rhodes（ CCR）（ 1978） 將 Farrell（ 1957）之觀念予以推廣，建立一般化之數學規劃模式，該模式對權重之設定為非負條件（ 0 ）。 Charnes,Cooper Rhodes（ 1979） 修正原始模式（ CCR）中有關各個權重的限制，從非負條件（ 0 ）修正為絕對為正（ 0 ）的限制。 Boyd Fare（ 1984） 對 CCR模式中權重之非負條件提出評論。 Charnes,Cooper,Lewin,Morey&Roassea-u（ 1985） 引進非阿基米德數 (
14、610, )。 Fare Hunsaker（ 1986） 提出權重設限方法。 Dyson Thanassoulis（ 1988） 修正 DEA模式以處理當權重受限制時之效率評估問題。 Golany（ 1988） 引進各權重間順序關係之概念，以擴展 CCR模式之應用範圍。 Charnes,Cooper,Wei Huang（ 1989） 提出權重設限之方法（錐比率模式， CCWH）。 蕭基淵（ 1989） 討 論權重的重要性 Cook,Roll Kazakov（ 1989） 應用權重設限模式衡量美國高速公路維護巡邏站之效率。 Thompson,Langemeier,Lee,Lee Thrall（
15、1990） 討論 DEA模式中權重的範圍在效率分析上之角色。（ AR法） Wong Beasley(1990) 修正 DEA模式中以處理權重受限時之效率評估。 Roll,Cook Golany（ 1991） 發展尋找權重設限範圍之技巧。（ CSW法） Ali,Cook, Seiford（ 1991） 探討 DEA模式中，權重間有 次序關係時模式之修正。 Cook,Kress Seiford（ 1992） 探討如何修正 DEA模式，使其評估結果可區分效率邊界間之優劣。 Roll Golany（ 1993） 討論處理權重設限之理論方法。 黃旭男（ 1993） 探討區界確定分析法的使用。 Shang
16、&Sueyoshi(1995) 利用權重限制以獲得更佳的評估效果（彈性製造系統） Francisco Pedraja-Chaparro(1996) 利用權重限制以獲得更佳的評估效果（西班牙法院） Thompson et al(1996) 運 用區界確定分析法評估休市頓大學中小企業發展中心之經營效率 高強 (1997) 運用平均權重、自定權重及 CCR模式評估圖書館效率 Schafffnit(1997) 運用區界確定分析法評估加拿大銀行之經營效率 Allen(1997) 強調價值判斷對權重設限的影響 Taylor(1997) 運用區界確定分析法評估墨西哥銀行之經營效率 Seifert&Zhu(1
17、998) 結合 Delphi, AHP及區界確定分析法探討權重的設限對效率衡量的影響 吳濟華、劉春初 (1998) 權重設限對效率值之影響 劉春初（ 1998） 結合 DEA與 AHP對公共部門效率之評估 Kim(1999) 運用區界確定分析法求得南韓電信事業之經營效率 Li& Reeves (1999) 以多準則方法輔助權重設定增強 DEA效率評估之鑑別能力 資料來源：本研究整理。 DEA分析模式的目的之一是，根據受衡量的每個 DMU之投入產出項資料運算出一組最佳的權重，使各 DMU多項產出的加權總值除以多項投入的加權總值之比率極大，且以此比率來定義各個 DMU之相對效率。意即此模式利用線性
18、規劃的方法配出一組最佳的權重。 Lewin Morey（ 1984）對權 重做以下解釋：每減少一單位投入或每增加一單位產出對效率值邊際增量。由此可知權重代表投入產出項之相對要性，而其實質意義為每個投入產出要素項對其 DMU的相對效率值之貢獻程度，當一投入產出項與效率值之相關程度愈大時，其所對應之權重值愈大。 中華管理學報 第五卷 第二期 第 93-104頁 民國九十三年 97 Charnes， Cooper Rhodes於 1978年提出的 CCR模式，對於權重的設定是設定其大於等於零（ 0 ），此一限制會造成不合理的現象，也就是各 DMU為求本身效率極大，將會捨棄不利之因子，即令其權重為零，
19、此為 CCR模式的缺點。 基於上 述權重未設限所產生的問題，其後的學者乃不斷研究以修正 CCR模式，如 Charnes， Cooper Rhodes於 1979年修正其原始模式 (CCR模式 )中權重的限制，從非負條件（ 0 ）調整為絕對為正（ 0）的限制。 Charnes， Cooper， Lewin， MoreyRoasseau於 1985年後引進非阿基米德數 ( 610, )來限制各投入產出項之權重，使其不為零， Fare Hunsaker於 1986年提出若給予一固定數值 ( 610, )，並無法適用於所有情況，而且此修正還是無法解決前述之問題。因此，從 1988年以後陸續有許多學者針
20、對權重未設限的缺點提出不同的修正方向（如權重應該設限與順序之觀念），以修正原始 CCR模式。從此 DEA模式之權重自動賦予的優點，反而成為其缺點。學者為了彌補此一缺點皆認為權重應該給予設限，以決定其權重範圍但是此一的設定實為一大問題。 Golany於 1988年開始不斷的研究權重未設限的問題，並於 1993年提出下列權重設限的參考原則： 1.允許不同 DMU之相同投入產出項的權重可以不同，但變動範圍不 宜太大。 2. 較重要的投入產出項權重之設限範圍要較不重要的投入產出項來得寬廣。 3.被分析的 DMU資料可靠度低時，投入產出項權重設限的範圍宜較廣闊。 4. 權重設限的程序並無一定規則，需賴不
21、同案例的著重情況而定。 有關此一範圍的設定，綜合相關文獻可歸納成兩大類： 1. 絕對設限法：指各投入、產出項權重之上下限明確的給予一數值。如法、平均權重比率法、共同權重組合法。 2. 相對設限法：指選定某一投入或產出項為基準，其他各投入產出項相較於此一基準，就其相對重要性設定上下限。如錐比率模式、區界確定分析法。 基於上述有關資料包絡分析法之權重問題，可知未來發展方向將著重於價值判斷以獲得最適之權重，以真實表達投入產出之重要程度。然而在權設限方法的探討上基本上不是採用絕對主觀權重設限，就是採用客觀權重設以求得評估指標值，此二種方法各有其優缺點，是故，本研究將針對此一問題結合主、客觀權重設限方法
22、以改善上述文獻中之缺失，使評估結果更趨於合理。 三、主、客觀權重設限之方法 3.1 主觀權重設限法 目前主觀權重設限法有多種 (AHP、 Delphi及多準則決策等 )，這些方法的共同特點是各評價指標的權重是 由專家根據自己的經驗和對實際的判斷主觀所給出的。選取的專家不同，求出的權重也不同，這種方法的主要缺點是觀隨意性較大，為克服這一缺失，人們可採取補救辦法，如增加專家數量、慎選等，但主觀隨意性較大仍是中華管理學報 第五卷 第二期 第 93-104頁 民國九十三年 98 主觀權重設限法的主要不足之處，該方法的優點是專家可以根據實際間題，合理確定指標權重之間的排序，也就是說儘管主觀權重設限法不能
23、準確的定各指標權重，但它可以有效地確定各指標按重要程度給予權重的優先順序，不致於出現指標權重與指標實際重要程度相悖的情況，而這種情況在客觀賦權法中則是可能出現的。在本研究中將採用 AHP為主觀權重設法，以下為該分析法之簡略說明： 分析層級程序法（ Analytic Hierarchy Process）係 Thomas L. Saaty於 1971年首度提出，近十餘年來，該法因沙提與其同僚及其他專家學者的投入研究，從有關文獻中運用AHP法之研究類型可統合歸納為 31種類型 (Smith, 1989)，遂使 AHP分析法躍升為現代企業組織極為重視的一項管理利器。 分析層級程序法最強的功能乃是使錯綜
24、複雜之系統簡化成為明要素層級結構系統，其程序簡言之，即將影響各決策點之誘因以名目尺度 (Nominal Scale)執行要素間之成偶比對 (Pairwise Comparison)，並經由量化的過程建立比對矩陣 (Comparison Matrix)，據以求出特徵向量 (Eigen Vector)代表層級間各因素之權重 (Weight)，並滋衍特徵值 (Eigen Value)，藉以評定單一成偶比對間之一致性強弱程度，供作決策資訊取捨或在評估之指標。另 AHP分析法中之因素層級若係多重架疊，則需將各層級之優先因素權重，再加以關連串合，俾求解最低層級各因速對層級之合成權重，再連結所有比對矩陣之一
25、致性指數，求出整體層級之一致性 指數與一致性比率，據以評估整體層級之共識性。 3.2 客觀權重設限法 為了克服主觀賦權法的缺失，人們研究了客觀權重設限法 (DEA、灰色預測及主成份分析法等 )。客觀權重設限法的原始數據來自於評估矩陣的實際數據，切斷了權重主觀性的來源，使權重具有絕對的客觀性。這種方法的優點是權重客觀性強，但也存在一個不可避免的缺陷，就是確定的權重有時與實際相悖。從理論上來講，這種可能性是存在的，最不重要的指標可能具有最大的權重，而要指標卻不一定具有最大的權重，如在許多 DEA分析中可獲得如此結果。 由此可見，主觀賦權法在 根據指標本身含意確定其權重方面具有優勢，而客觀權重設限法
26、在不考慮指標實際含義的情況下，在確定權重方面具有優勢。而實證中，若僅僅根據主觀或客觀權重設限法得到的權重數值來進行評估，而忽視兩種權重的本質差別，求出效率值的合理性是值得懷疑的。 故本文根據上述事實（ DEA分析法所得之權重有違背事實），整合主、客觀權重設限的優點，為更合理地確定投入、產出各指標的權重以提供決策參考。 3.3 整合主、客觀權重設限的分析方法 3.3.1 基本思維 由以上分析得知，雖然主觀權重設限法在確定權重中具有主觀性，但的 排序方面具有較高的合理性。因此，在求指標權重時，應以主觀權重設限法為基礎，通過分析主、客觀權重設限法求出的權重排序之間關係，確定各指標的權重。若此兩種方法
27、求出的權重排序一致，則以客觀權重設限法求出的為評估，若中華管理學報 第五卷 第二期 第 93-104頁 民國九十三年 99 此兩種方法求出的權重排序不致，應根據指標重要程度等級做不同的處理。 3.3.2 整合主、客觀權重設限的分析方法 3.3.2.1 基本假設 設 ai為第 i個指標的主觀權重， bi為第 i個指標的客觀權重，第 i個指標的最終權重可由下式表示之 : Wi = *ai+(1-)bi ， 而確定 的數值是該分析方法的核心。 在多目標決策中，各指標的相對重要程度往是不同的。根據多目標決策基本概念，可透過決策者事前顯示偏好或是不顯示偏，將指標按其重要程度分為若干等級。設評估指標為 V
28、1,V2,.Vn，評估指標等級為 R1, R2, Rk ，其中等級的重要性可用R1R2Rk 表示，若位在 R1級的指標絕對比 R2級重要，位在 R2級的指標絕對比 R3級重要，依此類推，每一類指標等級中又含有若干個指標，這些重要程度的差別遠小於跨等級指標間的差別。 3.3.2.2 分析模式 (1)若各評估指標間無差異的 話，即位於同一重要等級上，且由客觀權重設限法求出的權重排序與主觀權重設限法求出的權重排序完全相同，此時取 =0，即按客觀權重設限法求出的權重為各指標的權重。 (2) 若各評估指標間無差異的話，即位於同一重要等級上，且由客觀權重設限法求出的權重排序與主觀權重設限法求出的權重排序不
29、完全相同，此時可取 =0.5，即將主、客觀權重設限法求出的權重取加權平均值為各指標的權重，或是採用試誤法（ trial and error）求出最佳權重再由決策者決定是否接受為止。 (3)若各評估指標位在不同重要等級上，但由客觀權重設 限法求出的權重排序與主觀權重設限法求出的權重排序完全相同，則說明重要的指標得到權大，次得到權重小。為了去除人為主觀因素的影響，故只取客觀權重設限法求出的為各指標的權重，此時取 =0。 (4)若各評估指標位在不同重要等級上，由客觀權重設限法求出的排序與主觀權重設限法求出的權重排序又不完全相同，但評估指標按重要等級的排序卻是相同，此時可取 =0.5，即將主、客觀權重
30、設限法求出的權重取加平均值為各指標重，或是採用試誤法（ trial and error）求出最佳權重再由決策者決定是否接受 為止。 (5)若各指標處在不同重要等級上，由客觀權重設限法求出的排序與主觀權重設限法求出的權重排序不相同，評估指標按重要等級的排序也不相同，此時說明由客觀權重設限法求出的權重已不是按指標本身的重要程度求出，因此客觀權設限法求出的權重對於確定各指標權重不具有參考價值，這時僅以主觀權重設限法求出的權重為各指標的權重，即取 =1。 10 中華管理學報 第五卷 第二期 第 93-104頁 民國九十三年 100 (6)這裡存在一種特殊情況，即由客觀權重設限法求出的權重中若有一個或
31、K 個為 0 值 (DEA 分析中經常出現 )，說明在這種指標下，各方案的屬性值均相同，這時這些指標對決策相排序無任何 影響，此時應將這類指標從評價指標中去掉，對剩下的指標，再按上述各種情況處理。 由上分析看出，當主、客觀權重設限法求出的權重排序完全相同時，則用客觀權重設限法求出的權重作為各指標的最終權重，可有效地消除指標的主觀性，當這兩種方法求出的權重按指標重要等級排序不一致時，採用主觀權重設限法求出的為各指標的最終權重，可消除由客觀權重設限法確定的與指標實際重要程度相違悖的錯誤，處於中間狀態時，可採用折衷的方法。這種分析綜合了主、觀權重設限法的優點，使得 DEA分析法權重的確定更趨於合理。
32、 四、實例說明 4.1 評估步驟本文所採用之案例為高雄市垃圾清運區隊為例 ( 吳濟華、劉春初， 1998)，分析結果由原始 CCR模式，可求得權數未設限的情況下各個 DMU的投入與產出之權數值。表 2顯示一些有權數為 0之投入產出項，投入產出項的產生是經過專家學者、有關文獻及統計分析等非常嚴謹的選出，但是還出現權數為 0之現象產生，權數為 0意味著對相對效率值絲毫無貢獻，由此更說明了上述所論及之權數問題浮台面，是故如此的先天賦予權數所得之相對效率值是否合公平理，而被接受呢？故作者又提出一修正模式 (劉春初， 1998) 做一修正得到更 符合事實之權重，其研究針對權數的設定經由專家學者、環保官員
33、及社會大眾等相互溝通，建立成偶比對矩陣據以計算分析投入與產出之權重排序，如表 3所示，並且透過一致性比率 (CR-Consistency Ratio)與一致性指數 (CI-Consistency Index)的檢定獲得全體之共識，獲致令人滿意的一性實證結果 (CI與 CR皆0.1) 。為了進一步使評估結果更趨於合理，作者運用整合主、客觀權重設限法進行評估所得之權重如表 4所示，其評估步驟如下分析： (一 )首先根據決策者之偏好決定其投入、產出指標之等級排列為 投入指標屬無差異（同一等級）而產出指標分為兩個等級，第一級為清運量及車次而二服務人數與清運區域。 (二 )基於整合主、客觀權重設限的分析
34、方法之第 6項之假設，其投入或產出指標為 0時則將其去除再排列優先順序。 (三 )由於投入指標屬於同一等級，故此時將採用客觀權重設限法 (DEA)所求得之權重為投入指標之權重。 (四 )而產出指標分為兩個等級，主觀權重設限法下其等級優先順序為 R1(清運量及車次 )、 R2(服務人數與清運區域 )，與客觀權重設限法下所得之產出指標優先順序不一致，故所採用之權重依據前節所述之情況給於適 當之權重。 (五 )選擇最適之權重後再代入 DEA分析模式計算其相對效率值。 表 2 DEA分析模式 (CCR模式 )所得之權數值與排序 中華管理學報 第五卷 第二期 第 93-104頁 民國九十三年 102 產
35、出 投入 車次 清運量 服務人數 清運區域 人力 車輛 耗油量 鹽埕 （排序） .00096 (1) 0 .00001 (2) 0 0 .04044 .05150 鼓山 （排序） .00520 (1) 0 0 0 0 .05 0 左營 （排序） .00035 (1) .00009 (2) 0 0 0 0 .05353 楠梓 （排序） 0 .00008 (3) .00001 (2) .00031 (1) .00571 0 .02415 三民東 （排序） .00034 (1) 0 0 .00001 (2) .00461 0 .00239 三民西 （排序） .00038 (1) 0 0 0 0 .0
36、3704 0 新興 （排序） .00052 (1) 0 0 0 .00559 0 .01027 前金 （排序） .00078 (1) 0 0 0 0 .03288 .04187 苓雅 （排序） .00025 (1) 0 0 0 0 .02381 0 前鎮 （排序） .00025 (1) 0 0 0 0 .02439 0 旗津 （排序） 0 .00069 (1) .00001 (2) 0 0 0 .15974 小港 （排序） 0 .00005 (2) 0 .00022 (1) .00405 0 .01710 資料來源：本研究計算結果 表 3 投入要素與產出要素權重排序 產出 投入 清運量 車次 服務面積 服務人數 車輛 耗油量 人力 1 2 3 4 1 2 3 資料來源：本研究計算結果
