1、 1 林州一中 2015 级高三 12 月调研考试 数学（理）试题 一、单选题（每题 5 分，共 60 分） 1 已知集合 ，则满足 的集合 的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 2 “ 2)4k k Z （ ” 是 “ 2cos2” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3 已知点 4, 3pm 在角 的终边上，且 3sin 5 ，则 cos 3的值为（ ） A. 4 3 310B. 4 3 310C. 4 3 310D. 4 3 3104已知函数 4)2( 42)( xxf xxf x ， 则 )3log1( 2
2、f 的值为（ ） A 6 B 12 C 24 D 36 5 已知曲线 31433yx，则曲线在点 P(2,4)的切线方程为 ( ) A. 4x y 4 0 B. x y 2 0 C. 2x y 0 D. 4x y 8 0 6 R 上的偶函数 fx满足 11f x f x ， 当 01x时， 2f x x ， 则 5logy f x x的零点个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 5 D. 10 7为了得到 cos2yx ，只需将 sin 23yx作如下变换（ ） A向右平移 3 个单位 B向右平移 6 个单位 C向左平移 12 个单位 D向右平移 12 个单位 8 已知数列 的前 项和为 ，若
3、 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 2 9 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 10 已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 P 在 COD 的内部（不含边界）若AP xAB yAD ,则实数对（ x， y）可以是（ ） A. 12,33B. 13,44C. 31,55D. 35,7711过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，分别过 、 两点作准线的垂线，垂足分别为 ， 两点，以线段 为直径的圆 过点 ，则圆 的方程为（ ） A. B. C. D. 12 已知函数 12 ln ,y a x x ee 的图象上存在点 P .函
4、数 2 2yx 的图象上存在点 Q ，且,PQ关于原点对称，则 a 的取值范围是（ ） A. 23,e B. 2,e C. 2214,eeD. 13,4 e二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13圆： 22 2 2 1 0x y x y 上的点到直线 2xy的距离最大值是 14 已知函数 fx是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， 21 logf x x ，则不等式 0fx 的解集是 3 15 已知正数 满足 的最小值是 16 三棱锥 P ABC 的三条棱 PA ， PB ， PC 两两互相垂直，且 PA ， PB ， PC 的长分别为2， 5 ， 7 ，则三棱锥 P ABC 的外接球
5、的体积为 三、解答题（共 70 分） 17 （ 10 分） 在锐角 ABC 中，内角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，且 22 c o s s in 2 12BC A . （ 1）求 A ； （ 2） 设 2 3 2a， ABC 的面积为 2，求 bc 的值 . 18.（ 12 分） 已知正项数列 na 满足： 231a， 1 323nn naa a （ 1） 求通项 na ； （ 2） 若 数列 nb 满足 nnn ab 2113，求 数列 nb 的前 n和 . 19 （ 12 分） 如 图 ， 四 棱 锥 的底面 是 平 行 四 边 形 ， 底面， ， ， ， . （ 1）求证：平面 平
6、面 ； 4 （ 2） 是侧棱 上一点，记 （ ），是否存在实数 ，使平面 与平面 所成的二面角为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 . 20 （ 12 分） 设函数 l n 1 0 , 0f x a x b x x a b （ 1）讨论函数 fx的单调性； （ 2）若 2ba ，求函数 fx的最值 21 （ 12 分） 已知椭圆 )0(1:2222 babyaxC 上的点到两个焦点的距离之和为 32 ，短轴长为 21 ，直线 l 与椭圆 C 交于 M、 N 两点。 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若直线 l 与圆 251: 22 yxO 相切，证明： MON 为定值 5 22
7、（ 12 分） （ 本小題满分 12 分 ）已知数列 Nnan 满足 11a ，且对任意非负整数 nmnm ,均有： nmnmnm aanmaa 22211 （ 1）求 20,aa ； （ 2）求证：数列 *1 Nmaa mm 是等差数列，并求 *Nnan 的通项； （ 3）令 *13 Nnnac nn ，求证：1134nk kc 数学（理）答案 1 C 【解析】 由题意得 ,因此集合 的个数是 个 ,选 C. 2 A 【解析】 “ 2 4k k Z ”能推出 “ 2cos2”，反过来， “ 2cos2”不能推出“ 2 4k k Z ”，因为 24 k k Z ，所以是充分不必要条件，故选 A
8、. 3 A 【解析】由题意可得 24 , 3 , 1 6 9x y m r m ， 可得233s i n , 051 6 9ym yr m ，解得 1m 或 1（舍去 ）， 可得 44 , 3 , 5 , c o s 5xx y r r ， 可得4 1 3 3 4 3 3c o s c o s c o s sin3 3 3 5 2 5 2 1 0su n ，故选 A . 4 C 【解析】 试题分析： 21 232 ， 23log1 2 ， 33log12 2 ， 523log14 2 ）（ ， 24322)3l o g3()2)3l o g1()3l o g1( 33l o g3222 2 f
9、ff 5 A 【解析】由题意可得： 2yx ，则： 22| 2 4xy ， 据此可得切线方程为： 4 4 2yx ， 整理成一般式为： 4 4 0xy . 本题选择 A 选项 . 6 C 【解析】由 fx满足 11f x f x ，可得： 2f x f x，周期 T=2 0x1 时 f（ x） =x2， f（ x）是 R 上的偶函数， 1x1 时， f（ x） =x2， 令 g（ x） =| 5logx |， 画出函数 f（ x）和 g（ x）的图象 ， 如图示： 6 由图象得：函数 f（ x）和 g（ x）的交点有 5 个， 函数 y=f（ x） |log5x|的零点个数为 5 个， 故选：
10、 C 7 C 【解析】 试题分析：因为 c o s 2 s i n ( 2 ) s i n 2 ( ) 2 1 2 3y x x x ，所以只需将 sin(2 )3yx的图象向左平移 12 个单位即可得到函数 cos2yx 的图象，故选 C. 8 C 【解析】当 时，得 ，即 ，由 可知： ，两式相减可得 ，即 ，故数列 是从第二项起以 2 为公比的等比数列，则，故选 C. 9 A 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如右图 所示的组合体，其体积，故选 A. AQ aAB bAD ， 则10 D 【解析】在三角形 ABD 中，设点 Q 在直线 BD 上 ， 1ab 而 AP xAB yA
11、D且点 P 不在三角形 OCD 边界上，则当 1xy 时点 P 必定不在三角形 OCD 内，选项 A,B,C舍去，故选 D 5MF ，故 13 ，又11 B 【解析】试题分析：如图，由抛物线定义可知 轴， 23 ，从而 46 ，同理可 证得 1x ky， ，所以以线段 为直径的圆 C 过点，又根据抛物线的性质可知直线 AB 与圆 C 相 切，且切点为焦点 ,设的中点为 01,My ，设直线 AB 的方程 5MF ，所以 00 22y k y k ，又以线段 为直径的圆 C 过点 1,0F ，设 2,3N ，则 AB 的中点为 13,22E，所以 ME FN ，所以 1ME FNkk ，即，所以
12、圆心 1,1M ，所以半径为 1x ky，所以圆 C 的方程为，故选 B. 12 A 【解析】由题知 2 2ln 2a x x 有解，令 2 2 ln 2f x x x ， 22f x x x ，故函数在 1,1e 7 递减，在 1,e 递增，所以 1f a f e ，解得 23,ae. 13 21 【解析】 22 2 2 1 0x y x y 等价于22( 1) ( 1) 1xy ，则圆心 (1,1) 到直线 2xy 的距离21d，故直线与圆外离，具体如右图所示： 由图可得，圆 22 2 2 1 0x y x y 上的点 到直线 2xy 的距离的最大值等于圆心 (1,1) 到直线 2xy的距
13、离加 上半径 1，故最大值是21 14 （ 2， 0）（ 2， +） 【解析】20 1 log 0x x 或 2 0 1 lo g 0x x ，所以 2x 或 20x ，即解集是（ 2， 0） （ 2， +） 15 【解析】因为 ，所以由题设只要求 的最大值即可。画出不等式组表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线 经过点 时， 在 上的截距最大，且， ，应填答案 。 16 323 【解析】三棱锥 P ABC 的三条棱 PA ， PB ， PC 两两互相垂直 ,将其补成长方体 ,棱长分别为 2， 5 ， 7 ，设长方体的外接球半径 R,则 2222 2 5 7 4 2RR ,三棱锥 P ABC
14、 的外接球的体积为 34 3233R ,故填 32.3 17（ 1） 30；（ 2） 42 8 【解析】 【 试题分析】 （ 1）先运用余弦二倍角公式将 22 c o s s in 2 12BC A ，化为 1 c o s si n 2 1B C A ，即 c o s s in 2 0B C A ，也即 c o s 2 sin c o s 0A A A ，进而求出12sinA ，借助 ABC 为锐角三角形求得 =30A ； （ 2）依据题设 1 sin 22bc A 及余弦定理2 2 2 2 c o sa b c bc A 建立方程组，即联立 8bc 与 2216bc ，求出 2 22 2 4
15、 2b c b c b c b c ： 解：（ 1）因为 22 c o s s in 2 12BC A ， 所以 1 c o s si n 2 1B C A ，所以 c o s s in 2 0B C A ， 所以 c o s 2 sin c o s 0A A A 又因为 ABC 为锐角三角形，所以 12sinA ，所以 =30A （ 2）因为 1 sin 22S bc A，所以 8bc 又因为 2 2 2 2 c o sa b c bc A ，所以 221 2 4 8 3 8 3bc ，所以 2216bc ， 故 2 22 2 4 2b c b c b c b c 18（ 1） 32na n
16、；（ 2） 2124 2n n nS n n 【解析】 试题分析： （ 1）将1 323nn naa a 变形可得11 1 23nnaa ，根据等差数列的定义可知数列 1na是等差数列，根据等差数列的通项公式可得 1na，从而可求得 na 。（ 2）根据 na 可得 1212n nbn，按分组求和法求其前 n项和，各组分别采用公式法和错位相减法在分别求和。 试题解析：（ 1） 1nna f a ， 1 323nn naa a ，即11 1 23nnaa ， 11 1 2 21 33n nnaa ，则 32na n. （ 2） nnn ab 2113， nb = nn 2112 9 nS = n
17、bbb 21 = n242 12 223221 nn2123( 1 ) (1 )2 2 2 nnnn 令21231 2 2 2n nnT 则231 1 2 32 2n nnT ，两式相减得 2 3 11 1 1 1 1 11 2( 1 )2 2 2 2 2 2 2 2n n n n nnnT ， 124( 1 )22n nnnT 2 124 2n n nS n n . 19 (1)见解析 ,(2) 存在 ，使平面 与平面 所成的二面角为 【解析】试题分析 ： 以 A 为原点，分别以 AD， AC， AP 所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系求得 A（ 0， 0，0）， D（ 2，
18、0， 0）， P（ 0， 0， 3）， B（ 2， ， 0）设 E（ x， y， z），由 =，得 E（ 2， ，3 3）求出平面 ADE 与平面 ADP 的一个法向量，结合题意可得 = 说明存在实数 ，使平面 ADE 与平面 PAD 所成的二面角为 60 （ ）证明：由已知，得 ， ， ， 又 ， 又 底面 ， 平面 ， 则 ， 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 平面 ， 平面 平面 （ ）解：以 为坐标原点，过点 作垂直于 的直线为轴， 所在直线分别为 轴，轴建立空间直角坐标系，如图 3 所示 则 ， 因为在平行四边形 中， ， 10 则 ， 又 ，知 设平面 的法向量为 ， 则 即 取 ，
19、则 设平面 的法向量为 ， 则 即 取 ，则 若平面 与平面 所成的二面角为 ， 则 ，即 ， 化简得 ，即 ， 解得 （舍去）或 于是，存在 ，使平面 与平面 所成的二面角为 点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角； 20（ 1）详见解析；（ 2）详见解析 . 【解析】试题分析： （ 1）先求导，分类讨论即可求出函数的单调区间；（ 2）求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出 ， 注意分类讨论 试题解析：（ 1） 0af x b xx ，令 0af x bx ，得 0x bx a， 若 0, 0ba，则 0fx 恒成立，所以函数 fx在 0, 上单调递增； 若 0, 0ba，则由 0fx ，得 ax b ；由 0fx ，得 0 ax b ， 所以函数 fx在 ,ab 上单调递增，在 0, ab上单调递减； 若 0, 0ba，则由 0fx ，得 0 ax b ；由 0fx ，得 ax b ，
