1、 湖州市 2018 届高考科目适应性考试 数学试题卷 注意事项： 1本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答 2本试卷分为第 卷（选择题）和第 卷（非选择题 ）两部分，共 4 页，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 第 卷 （选择题，共 40 分） 来源 :学 _ 科 _ 网 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知 集合 1 2 3A ， ， ， 2 0B x x x R ，则 AB A 1 B 01， C 1 2 3， ， D 0 1 2 3， ， ， 2 若 复数 z满足方程 ( 1)z
2、 z i (i 为虚数单位 ),则复数 z的共轭 复数 z对应的点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 一个棱锥的三视图如图 （单位： cm ） ，则该棱锥的 表面积 是 A 4 2 6 2cm B 4 6 2 2cm C 43 2cmD 2 2 6 2cm 4.下列命题正确的是 A若平面 内存在 无数条 直线平行于直线 l ，则直线 l 平行于平面 ； B若平面 内存在 无数条 直线垂直于直线 l ，则直线 l 垂直于平面 ； C若平面 内存在 无数条 直线平行于平面 ，则平面 平行于平面 ； D若平面 内存在 无数条 直线垂直于平面 ，则平面 垂直于平面 . 5
3、在 5 6 18 191 1 1 1x x x x 的展开式中，含 3x 的 项的系 数是 A. 4840 B 4840 C 3871 D 3871 6 已知实数 x ， y 满足2 7 02 50,xyxyxy NN，则 34xy 的最小值是 A 19 B 17 C 16 D 14 正视图 俯视图 侧视图 2 2 (第 3 题图 ) 2 1 2 1 7 已知函数 1( ) ( ) c o sf x x x xx ， ，且 0x ，则下列描述正确的是 A函数 ()fx为 偶 函数 B函数 ()fx在 0， 上有 最大值无最小值 C函数 ()fx有 2 个不 同的零点 D函数 ()fx在 0，
4、上 单调递 减 8 已知 ,Rab ，随机变量 满足 P x ax b 1,0,1x 若 13E ， 则 2ED A 13 B 23 C 1 D 439. 如图，已知三棱锥 D ABC 满足 ACABBC， D 在底面的投影 O 为 ABC 的外 心，分别记直线DO 与平面 ABD、 ACD、 BCD 所成的角为 , ，则 A. B. C. D. 10. 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 ， 正方体所在 空间的动点 P 满足1 2PB PC，则 1APAD 的取值范围是 A 0,4 B 1,4 C 0,2 2 D 1,2 2 第 卷 （非选择题部分，共 110 分）
5、 注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效 二、填空题 （ 本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 ） 11 双曲线 2 2 14x y的实轴长是 ，焦点到渐近线的距离是 来源 :学 &科 &网 Z&X &X&K 12 若实数 1ab，且 319lo glo g 2 abba，则 ablog ， 3ba (第 9 题图 ) yxBOFA（第 14 题） 13等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 1a ， 63 aS ，且 kaaa , 63 成等比数列， 则 nS ， k 14已知抛物线 2:2C x y ， F 是其
6、焦点， AB 是 C 上的一条弦若点 A 的坐标为 ( 2,2) ，点 B 在第一象限上 ， 且 2BF AF ，则直线 AB 的斜率为 ， ABF 的外接圆的标准方程为 . 15 将不同颜色的 2 个小球放入 5 个不同的盒子中，每个盒子最多可以放一个小球， 则三个空盒中恰有两个空盒相邻的方法共有 种 .（用数字回答） 16 在 ABC 中， 3A ， 3BC ，点 D 在线段 BC 上，且 DCBD 2 ， 则 AD 的最大值是 . 17 已知函数 R babaxxxf ,3 ，若对任意的 1,0, 21 xx ， 2121 2 xxxfxf 恒成立，则 a 的取值范围是 . 三、解答题
7、（ 本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 ） 18 (本小题满分 14 分 )已知函数 2 3( ) 3 co s s i n co s 2f x x x x （ 0 ） 的最小正周期为 . （） 求 ()12f 的值； （ ） 当 70, 12x 时，求 ()fx的单调区间及取值范围 . 19. (本小题满分 15 分 ) 如图，三棱柱 1 1 1ABC ABC 所有的棱 长均为 1， 1 1 1AC BC （） 求证： 1AB AC ； （） 若 1 1AB ，求直线 11AC 和平面 11ABBA 所成角的余弦值 20 (本小题满分 15 分 ) 已知
8、函数 01 xxexf x （） 求 函 数 xf 的单调区间 ； （） 求证： 02 xexf x (第 19 题图)C 1B 1A 1A CB（第 19 题 图 ） 21 (本小题满分 15 分 ) 椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab 的离心率为22，其 右 焦点到 椭圆 C 外一 点 )1,2(P 的距离为2 ， 不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，且线段 AB 的长度为 2 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ） 求 AOB 面积 S 的最大值 . 22 (本小题满分 15 分 ) 设 数列 na 满足 0na ， )(121 Nnna naa n n
9、n，记 nn aaaS 21 （） 证明：当 Nn 时，1 nn anS ； （）证明：当 Nn 且 2n 时， nSn 2018 年 5 月高三数学调研测试卷参考答案 一、选择题 :本大题共 10 小题 ， 每小题 4 分 ， 共 40 分 。 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要 求的 。 二、填空题 :本大题共 7 小题， 多空题每题 6分，单空题每题 4 分，共 36分 。 11.4 ， 1 ； 12.3， 1； 13. 22 nn ， 12 ； 14.12 ， 221 1 3 1 2 52 4 1 6xy ； 来源 :Z。 xx。 k.C o m 15.12； 16.
10、13 ； 17. 1,2 三、解答题 :本大题共 5 小题，共 74 分 。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 。 18 (本题满分 14 分 )已 知函数 2 3( ) 3 co s s i n co s 2f x x x x （ 0 ） 的最小正周期为 . （） 求 ()12f 的值； （ ） 当 70, 12x 时，求 ()fx的单调区间及取值范围 . 解： （） 3 ( 1 co s 2 ) 1 3( ) s i n 22 2 2xf x x 2 分 31c o s 2 s in 222xxco (2 )6x 4 分 22T ， 1. 5 分 ( ) c o s( 2 )6f x
11、 x 6 分 1()12 2f 7 分 （ ） 当 70, 12x 时， 42 , 6 6 3x 8 分 来源 :Z.xx.k.C o m 当 2 , 66x 即 50, 12x 时 ()fx单调递减，所以 ()fx的减区间为 50, 12 , 10 分 当 42 , 63x 即 57 , 12 12x 时 ()fx单调递增，所以 ()fx的增区间为 57 , 12 12, 12 分 3( ) 1, 2fx . 14 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D B C B B D A 19 （本题满分 15 分）如图，三棱柱 1 1 1ABC ABC 所有的棱长均
12、为 1， 1 1 1AC BC （） 求证： 1AB AC ； （）若 1 1AB ，求直线 11AC 和平面 11ABBA 所成角的余弦值 19.（） 证明：取 AC 中点 O ，连接 BOOA ,1 ， ACBO 2 分 连接 1AB 交 1AB于点 M ，连接 OM ，则 1 /BC OM 来源 :学科网 11/AC AC ， 1 1 1AC BC AC OM； 4 分 又 1 OOM AB 面 ， OB 面 BOA1 ， BOAAC 1面 ， 6 分 所以， 1AB AC . 7 分 （） 11/AC AC 直线 11AC 和平面 11ABBA 所成的角等于直线 AC 和平面11ABB
13、A 所成的角 . 8 分 因为三棱柱 1 1 1ABC ABC 所有的棱长均为 1， 故 11 ABBA ， 1 1 1 1 1A B A B A B A C A B A B C ,面， 1 1 1AB C ABB A面 面 . 10 分 1 1 1 1A B C A B B A A B面 面 ， 1 1 1A C A B B A A B 在 平 面 的 射 影 为， 1BAC 为直线 AC 和平面 11ABBA 所成的角 . 12 分 221 2 2 3A B A M A B B M ， 由于 CBCA 111 ，所以 CBAC 1 ， 在 1Rt ACB 中，1 1 13c o s 33A
14、CB A C AB . 直线 AC 和平面 11ABBA 所成角的余弦值为 33 . 即直线 11AC 和平面 11ABBA 所成的角的余弦值为 33 . 15 分 20.(本题满分 15分 )已知函数 01 xxexf x （） 求 函数 xf 的单调区间 ； （） 求证： 02 xexf x 考点分析： 1.导数的概念及求导公式； 2.导数在研究函数中的应用； 解 ： （ ） 已知函数 01 xxexf x，导函数为 fxxxex ex21 .3 分 令 1 xexh x ， 1 xexh ， 当 0x 时， 01 xexh ；当 0x 时， 01 xexh ， (第 19 题图)C 1B
15、 1A 1CB（第 19 题 图 ） MOB 1C 1A 1A CB所以 00m in hxh ，即 1xex ，当且仅当 0x 时等号成立 . 由已知 0x ， 得 1xex ， 012 xxex ex ， 所以 0xf . .6 分 所以，函 数 xf 的单调递减区间为 ,0 . .7 分 ( ) 02 xexf x 等价于 0012 xxee xx .9 分 令 12 xx xeexg ， 0x ， 1221 2222 xeeexeexg xxxxx ， .12 分 由第 1 小题，易得 122 xe x ， 所以， 0xg . .14 分 所以，当 0x 时，有 ()gx 00 g ，
16、即 0012 xxee xx ， 故 02 xexf x . .15分 21. (本小题共 15 分 ) 椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab 的离心率为 22 ，其 右 焦点到 椭圆 C 外一 点 )1,2(P 的距离为 2 ，不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，且线段 AB 的长度为 2 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ） 求 AOB 面积 S 的最大值 . 解： （ ） 设椭圆 右 焦点为 0,c ，则由题意得 ,22,212 22acc 得 ,2,1ac或 ,23,3ac（舍去） 4 分 所以椭圆方程为 12 22 yx 5 分 ( )方法一： 因为
17、线段 AB 的长等于椭圆短轴的长，要使 三点 A O B、 、 能构成三角形， 直线 l 不过原点 O ， 则弦AB 不能与 x 轴垂直，故可设直线 AB 的方程为 y kx m， 由 22,1.2y kx mx y 消去 y ，并整理，得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k m x m . 7 分 设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，又 2 2 2 21 6 4 (1 2 ) ( 2 2 ) 0k m k m , 所以12 2412kmxx k ， 212 22( 1)12mxx k 9 分 因为 2| AB ,所以 2)(1( 2122 xxk ，即 44)
18、(1( 212122 xxxxk 所以 2 22224 8 ( 1 )(1 ) 41 2 1 2k m mk kk ，即 221 2(1 )1 mk ， 11 分 因为 211k，所以 21 12 m 又点 O 到直线 AB 的距离2|1mh k ，因为 1 |2S AB hh ， 所以 22Sh 222 (1 )mm 22112( )22m 14 分 所以 2 10 2S，即 S 的最大值为 22 15 分 ( )方法二： 因为线段 AB 的长等于椭圆短轴的长，要使 三点 A O B、 、 能构成三角形， 直线 l 不过原点 O ， 则弦AB 不能与 x 轴垂直，故可设直线 AB 的方程为
19、y kx m， 由 22 12y kx mx y ，消去 y ，并整理，得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k m x m . 设 1(Ax， 1)y ， 2(Bx， 2)y ，又 2 2 2 21 6 4 (1 2 ) ( 2 2 ) 0k m k m ， 所以12 2412kmxx k ， 212 22( 1)12mxx k . 9 分 因为 | | 2AB ，所以 2221(1 )( ) 2k x x . 因为 221 2 1 2(1 ) ( ) 4 4k x x x x ，所以 2 22224 8 ( 1 )(1 ) 41 2 1 2k m mk kk ， 11 分 所以
20、 222212(1 )km k ，又点 O 到直线 AB 的距离2|1mh k ，所以 1 |2S AB hh . 所以 22Sh 221mk 22212 12 kk 222 12 11 1 kk . 设211t k ，则 221 (0 1)2S t t t ， 14 分 所以 2 10 2S，即 S 的最大值为 22 15 分 22 ( 本 题 满 分 15 分 ) 设 数列 na 满足 0na ， )(121 Nnna naa n nn，记nn aaaS 21 （） 证明：当 Nn 时，1 nn anS ； （）证明：当 Nn 且 2n 时， nSn 解 ： （） 因为 )(121 Nnn
21、a naa n nn， 所以 )(1121 Nnanaa naa nnnnnn， 3 分 故 )(11 Nnana nannn， 5 分 所以112312211. . .1201 nnnnn anana naaaaaaaS 7 分 也可用数学归纳法证明1 nn anS ， 酌情给分 （） 下面用数学归纳法证明： 当 Nn 且 2n 时， nSn （ 1）当 2n 时， 0112 aa，显然 2111212 aaaaS，命题成立 （ 2）假设 2, kkn （ * Nk ）时， kSk 成立 ， 9 分 那么 1kn 时， 因为 11 kkk aSS ， 若 11ka ，则 111 kaSS kkk 11 分 若 10 1 ka ，则1111111 11 kkkkkkkk aaakaa kaSS， 因为 10 1 ka ，所以 111 kakk，且 2111 kk aa， 13 分 故 12111 kkaSS kkk 14 分 由 （ 1）、（ 2）可知，对一切 Nn 且 2n 时， nSn 成立 15 分 也可用利用第一小题结论1 nn anS ，再去证明 31 nan 成立，酌情给分
