1、 由一道 习题 引发的一点思考 活用数轴上两点间的距离公式解题 安昌镇中学 王美芳 摘要： 数轴上 两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式 ，它可以延伸出很多相关的问题。我们需要活用数轴上两点间的距离公式解题， 根据题设条件，构设 适当的数轴 ，利用两点间的距离公式 、 数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答 。 关键字： 最值 数轴 两点之间的距离 平面直角坐标系 在一次偶然的机会中， 学生拿着 一份八年级的一元一次不等式试卷 来 问 下面这样一道题目： （ 1）请阅读下面材料 : 点 A、 B在数轴上分别表示实数 a、 b， A、 B 两点之间的距离表示为
2、|AB|. 当 A、 B两点中有一点在原点时 ,不妨设点 A 在原点 , 如图 1, |AB| =|OB|=|b| =|a-b|； 当 A、 B 两点都不在原点时， 如图 2，点 A、 B 都在原点的右边， |AB|= |OB| |OA| = |b | |a| =b-a=|a-b|； 如图 3，点 A B 都在原点的左边， |AB| = |OB| |OA| =|b| |a|=-b-(-a)= |a-b|； 如图 4，点 A、 B两点在原点的两边， |AB| =|OA|+|OB| =|a|+|b|=a+(-b)=|a-b |. 综上所述，数轴上 A、 B 两点之间的距离 |AB|=|a-b|.
3、（ 2）回答下列问题： 数轴上表示 2和 5 的两点之间的距离是 ，数轴上表示 -2和 -5 的两点之间的距离是 ，数轴上表示 1和 -3的两点之间的距离是 ； 数轴上表示 x和 -1 的两点 A 和 B之间的距离是 ，如果 | AB| =2，那么 x为 ； 当代数式 |x+1|+|x-2| 取最小值时，相应的 x 的取值范围是 . 其实，这道题前半部分的阅读材料就是在论证数轴上 A、 B 两点之间的距离 |AB|=|a-b|，应用这个结论，第（ 2）题中的两小题基本上是没有问题的。 但是，在做第小题时，我想学生基本上就要犯困惑了： |x+1|+|x-2|，这是什么意思？O(A) B 0 b
4、图 1 B O A b 0 a 图 4 B A O b a o 图 3 O A B 0 a b 图 2 最小值？怎么求？为什么会有最小值呢？而且放在一元一次不等式中，难道会应用不等式解题？ 于是，鉴于学生思维的定势（考虑一元一次不等式）和对前面求数轴上两点之间的距离的理解程度，我给她讲解了两种方法： 方法一：利用 一元一次不等式解题 当 x+1 0， x-2 0，即 x 2 时，原式 =x+1+x-2=2x-1 3. 当 x+1 0， x-2 0，即 x -1 时，原式 =-（ x+1） -（ x-2） =-2x+1 3. 当 x+1 0， x-2 0，即 -1 x 2 时，原式 = x+1-
5、（ x-2） =3. 当 x+1 0， x-2 0， x 无解。 综上所述， |x+1|+|x-2|的最小值是 3，此时 x 的范围是 -1 x 2. 再考虑，当 x=-1 或者 2 时，代数式的值是 3，所以完整的 x 的取值范围应该是 -1 x2. 方法二：运用数轴上两点之间的距离解题 |x+1|+|x-2|可以表示为 |x-(-1)|+|x-2|，那么这就可以看做数轴上表示 x 的这个点到 -1和 2这两个点之间的距离之和，这个距离的最小值很明显是 3，此时 x 的范围是 -1 x 2. 如果 x不在这个范围之内，如图 5，原式 =AB+AC BC=3；如图 6，原式 =AC+BC AB
6、=3. 如果 x在 -1与 2 之间，如图 7，原式 =AB+BC=AC=3. 同样的，再考虑端点值是满足条件的，所以 x的取值范围是 -1 x 2. 图 5 图 6 图 7 讲解之后，学生恍然大悟，原来还可以这样做的啊！ 但是， 这一句感叹让我感慨不已， 这样一道关于最值的问题是值得我们深思的。 八年级学生的知识面还不是很完全，往往他们想到的就是目前我们正在学习的东西，就像上面的这道题，学生就在想是不是 、怎样 用不等式 解 啊 ，思维就定势了，结果就找不到正确的解决路径。 再者，在我们之前的学习中，还没有涉及过最值的问题，我们也一直在考量学生的接受程度是否适合做这样的最值问题。可以这么说，
7、现在的八年级学 生是基本上接触不到这一类求最值的题目的。 那么，是不是因为这样或者那样的原因，我们的学生目前就不需要学会这样的求最值的问题了呢？答案是很明确的。所以，如何活用我们 目前 已经掌握的知识 ，并且能够在遇到一些我们没有见到过的问题时能临危不乱，这是我们急需要培养学生 应该 产生 的 危机意识 。 所以，在学生面对数轴上求两点之间的距离的问题的同时，我也在思考 :怎么样才能把这个知识点融会贯通呢？毕竟，涉及到这个知识点的题目是可以多变的，比如：解 一些特殊的方程、求平面直角坐标系中两点之间的距离等等。 针对以上的 一些思考 ， 我总结了几 点个人的想法 ： A B C X -1 2
8、-1 2 x A B C -1 x 2 A B C 一、用数轴上两点之间的距离公式解 特殊的绝对值 方程 例 1：解方程 + = 4（ “祖冲之杯 “邀请赛试题） 解： 是 x 与 1 两点的距离， 是 x 与 5 两点距离， x 在数轴上的位置有 3 种情况：如图 （ 1） x在 1 与 5 之间 （ 2） x在 1 的左边 （ 3） x在 5 的右边 显然， x在 1 和 5 之间（包括 1 和 5）原方程成立。所以 ， 1 x 5。 例 2：适合 + = 8 的整数 a 的值的个数为（ ）（第 11 届 “希望杯 “邀请赛试题） A、 5 B、 4 C、 3 D、 2 解：将 2a 看作
9、一个整体，其式可变为 + = 8 由例 1 可得 ： -7 2a 1， 又 a是整数 ， 2a=-6,2a= -4， 2a= -2， 2a=0， a= -3， a= -2， a= -1， a= 0， 答案选 B. 例 3 ：若 a0,b0, 则使 + = a-b 成立的 x的取值范围是（ ） 分析：观察 , 分别是 x 与 a， x与 b的距离，而 a-b 正是数 b与 a的距离，要使距离之和等于 b与 a 的距离只有当 x 在 a、 b之间（包括 a、 b）时才满足 。 故 有 a x b. 二、用数轴上两点之间的距离公式求平面直角坐标系中两点之间的距离 在初学平面直角坐标系的时候，我们是简
10、单地把它看做由两条有公共原点的数轴组成的一个图形。既然如此，关于数轴的所有知识在直角坐标系中依然还是成立的。所以，我们可以运用数轴上两点之间的距离公式求平面直角坐标系中两点之间的距离。 1、当 A、 B所在的直线平行于坐标轴 当 AB x轴（如图 8）： 图 8 此时，点 A 与点 B 的纵坐标相等，横坐标是不一样的，不妨记作 21,xx ，那么|AB|= 1212 xxxx .我们可以将 A、 B 想象为在数轴 x 上的两个点，它们之间的距离就是A B 1212 xxxx . 当 AB y轴（如图 9）： 图 9 此时，点 A 与点 B 的横坐标相等，纵坐标是不一样的，不妨记作 21,yy
11、，那么|AB|= 1221 yyyy .我们可以将 A、 B 想象为在数轴 y 上的两个点，它们之间的距离就是1221 yyyy . 2、当 A、 B所在的直线不平行于坐标轴 图 10 根据八年级学生的学习程度，我们只能在这个直角坐标 系中构造一个直角三角形 ABC（过点 A、点 B 分别作 x轴、 y轴的垂线，两条垂线的交点记作 C）。 此时，点 A 与点 B 的横坐标、纵坐标都是不一样的，不妨将它们的坐标记作),(),y,x 2211 yx（ ，那么 |AC|= 1221 yyyy ， |BC|= 1212 xxxx .根据勾股定理，我们很快就可以求出 A、 B 之间的距离也就是线段 AB
12、 的长度了。 我们可以将 A、 B 的横坐标、纵坐标分别 想象为在数轴 x、 y 上的两个点，它们之间的距离就是 1212 xxxx 和 1221 yyyy ，再应用勾股定理即可。其实，这个过程就是平面内两点之间的距离公式 2222122221 )yx yx （）（ 的推导、证明过程。 例 3：已知直角坐标平面内的两点分别为 A（ 3， 3） ， B（ 6， 1） ，求点 A与点 B之间的距离。 解；借助图 10 可知， |AC|=3-1=2， |BC|=6-3=3， 所以， |AB|= 1332 22 . 例 4：已知直角坐标平面内的 ABC 三个顶点 A、 B、 C的坐标分别为（ -1，
13、4）、（ -4， -2） 、（ 2， -5），试判断 ABC 形状 . 分析：要判断这个三角形的形状，必须要求出三条边的长度，而求边长只能借助上面的方法。 A B A（3，3） B（6，1） A B C 分别过点 A、点 B、点 C 作出垂线，构造三个直角三角形，根据勾股定理计算出三条斜边 的长度。最后，判断三角形的形状即可，切不可忘记要判断 一下是否是直角三角形。 看，处理之后，原本很复杂的内容，我们也是可以很简单地用一个图形、用寥寥数语就把这个问题解决了。 我想，数轴上求两点之间的距离公式应该还有很多可以解决的问题，目前我只是略探了探其中的一二。 至此，我忽然 在想 ，作为一名初中的教师，是不是只能死板地教授课本上的知识呢？是不是不能讲授一点以后到了高中或许以后生活中要学习到、用到的知识呢？而我们的学生，是不是一定只能跟着老师的 课堂知识和 方法 走呢？难道不能自己摸索到一条学习的线索，进一步地来开发其中的知识吗？ 我们应该 努力加强自身的学习，这样才能 尽可能地帮助学生更好地把已经学过的知识点进行系统的联系、归纳整理，使之学得更好、更轻松、更方便。 参考文献： 1、活用数轴上两点间的距离公式解竞赛试题 重庆 龚淑兰 2、 两点的距离公 式教学案例 古松学校 顾卫标 3、运用两点间的距离公式求最值 山东 李玉清 河南 徐正红 A B C O A O C B
