1、与图形与几何有关的核心素养及思想方法,王永春,中国学生发展核心素养,学生发展核心素养，主要指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。研究学生发展核心素养是落实立德树人根本任务的一项重要举措，也是适应世界教育改革发展趋势、提升我国教育国际竞争力的迫切需要。 中国学生发展核心素养，以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面。 综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为国家认同等十八个基本要点。根据这一总体框架，可针对学生年龄特点进一步提出各学段学生的具体表现要求。
2、,社 会 参 与,自 主 发 展,文化基础,全面发展的人,学会学习健康生活,人文底蕴科学精神,责任担当 实践创新,中国学生发展核心素养体系,（一）高中数学核心素养 数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的。数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。,2018/9/24,高中数学核心素养与课程目标,（二）课程目标 通过高中数学课程的学习，获得进一步学习以及未来发展必需的数学的基础
3、知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）；学会用数学眼光观察世界，发展数学抽象和直观想象素养；学会用数学思维分析世界，发展逻辑推理和数学运算素养；学会用数学语言表达世界，发展数学建模和数据分析素养。,2018/9/24,小学数学核心素养2011版课标：四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验四能：发现问题、提出问题、分析问题、解决问题十大核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识高中数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学
4、运算、直观想象、数据分析。把基本和重要的数学思想，上升到面对世界的高度：三会,我们先从中国学生发展核心素养（如下）开始分析，从中可以发现，如果每个学科都从自己学科内部角度界定本学科核心素养，那么各学科核心素养主要集中在文化修习这个维度，其他两个维度中的责任担当、学会学习、健康生活的一部分等，可能会成为少人问津的真空地带，即各学科核心素养的交集为0（如下左图）。也就是说，各学科在制定本学科的核心素养时，不能完全从学科本位的角度考虑、不能只扫门前雪，应该站在中国学生发展核心素养的高境界思考问题，即每个学科承担更多的公共责任和义务。这样的学科核心素养才是有境界的、有内涵的、有担当的，否则各学科还有可
5、能重蹈覆辙，在各自的小圈子里搞应试教育。,关于学科核心素养的制定，反应了学科教育的一种思想和理念，从世界一些发达国家各学科的核心素养中可以看出他们的理念和丰富内涵。 德国数学学科核心素养为：数学证明、数学的解决问题、数学建模、运用数学表达、运用数学符号、公式和技巧、数学交流。 美国数学教育强调问题解决、推理与证明、交流、关联、表征。 韩国高中数学核心素养为：问题解决、推理、创新融合、思想沟通、信息处理、态度和实践。 从以上几个发达国家的学科核心素养可以发现，交流是各个国家各个学科都特别重视的，超越了学科知识本位的思想局限，没有完全站在学科内部考虑，而是体现了学生总体的核心素养。,综上所述，中国
6、学生的各学科核心素养应该站在中国学生发展核心素养的时代高度考虑，具有大局观念、大视野，即各学科核心素养的交集才会尽可能地大（见上右图），或者最大公约数尽可能地大，这样中国学生发展核心素养才会全面落实。 据此我们认为，小学数学核心素养是在理解数学核心概念、掌握和运用数学规律和关系的基础上形成的，具有可持续学习数学和交流、表达、解决现实世界实际问题的思想和能力。 根据小学生的年龄和认知特点、教师对核心素养的理解及教学的可行性，把数学核心素养直接提炼成数学思想对于学生和教师而言，落实起来是有难度的，因此在四基、四能、十大核心概念和高中数学核心素养的基础上，我们从数学认知、思想能力、个人发展三个维度构
7、建小学数学核心素养,思 想 能 力,个 人 发展,核心素养从哪里来？ 数学认知,具有数学素养的人,思考自学合作交流创新实践,数学概念数学规律数学关系,数学抽象 运算推理 数学模型 直观想象 数据分析 转化思想,核心素养到哪里去？核心素养的外在表现,核心素养怎么形成？既是途径手段又是目标,核心素养内涵是什么？,小学数学核心素养体系,数学认知水平：了解、理解、掌握、运用（只见树木、不见森林） 分析与综合 评价、创造(数学课程标准没有高级认知目标)数学概念：概念是关系、规律、思想方法的基础。 有研究表明：对数学概念的表征水平与数学成绩呈正相关。表征（representation）是信息在头脑中的呈现
8、方式。也可以用“表示”，更容易理解。,数学认知,多元表征是加强学生理解知识的有效方式。 有研究表明，高中生对数学概念的表征（理解）水平，多数通过具体例子、画图（像）和描述性语言表征，如单调增函数的概念，有52.63%的学生通过画函数图像、28.42%的学生通过描述性语言表征；只有3.16%的学生能够用定义表征。,高中学生数学成绩与数学概念表征水平（单个表征的层次水平和多元表征水平）有显著正相关，相关系数为0.52.初三学生数学成绩与数学概念表征水平相关系数是0.637. 为了提高数学成绩，要坚强多元表征，同时要适时抽象。直观与抽象形影不离。当然，抽象的定义不能直接灌输给学生，而是由学生自己经历
9、建构概念的过程。 概念意象（表象）与概念定义都重要，但是基于很多优秀的学生也经常用直观的方式（概念意象、表象）表示概念。所以不必让学生死记硬背定义，关键是概念的各种表征方式的关联，以及概念的运用。,图形中高的概念的建立,1.生活中的高2.平行四边形的高、梯形的高3.三角形的高4.长方体的高5.圆柱的高6.圆锥的高案例：2017年5月福州人教版观摩交流会，黑龙江哈尔滨王均杰执教的：认识三角形,数学规律：性质、法则、定律、公理、定理等，是运算和推理的依据数学关系：模型（公式、数量关系式、方程、函数等） 关联（整数、小数、分数（有理数）、无理数，图形之间的关系，数与形数学与生活、数学与其他学科等）
10、结构化（知识结构、认知结构）为什么数学认知结构是核心素养的基础，而不是数学知识结构？因为数学知识结构是属于数学的，数学认知结构是属于学生的。,数学认知,学习除法认识了一棵杨树,学习分数认识了一棵柳树,学习比认识了一棵梧桐树,都学习了要看到一片森林！ab= = a : b(b0),分数的基本性质 类推 分式的基本性质蕴含了丰富的思想方法：变中有不变的思想、恒等变形方法、数形结合方法、关联思想（普遍联系）、类比推理方法,ab = = a : b(b0)商不变规律 分数的基本性质 比的基本性质,初中的图形与几何：初中主要研究图形的性质和判定，其中概念是基础什么是性质组成要素（边、角）之间的关系（位置
11、关系和数量关系）如三角形的三条边、三个角、三个顶点是基本要素，高、中线、中位线、角平分线、外角等是相关要素，相交、平行、垂直是位置关系，内角和是180、a+bc等是数量关系。什么是判定组成要素需要具备的条件性质和判定的互逆关系从一般到特殊研究图形,数学思想,数学概念、关系、规律是数学思想的基础和载体。数学抽象：数量及数量关系、图形及关系的数学属性的提取概括。 在数学的教与学的过程中，始终伴随着抽象，但是有意识与无意识地抽象是有区别的，有意识去抽象有利于学生思维的发展。图形的抽象，从生活情境中抽象出图形是共性，理解概念，用不同方式表征概念，理解、探索性质、公式如无论什么形状的图形，度量的本质都是
12、求这个图形里含有多少个度量单位（单位1）,符号思想是模型思想、方程思想、函数思想、推理思想 的基础。有利于从本质上理解和应用数学。,推理思想： 推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。演绎推理的常用形式有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。当前提为真时，合情推理
13、所得的结论可能为真也可能为假。,案例3：如下左图，两条直线相交形成4个角，你能说明2=4吗？,分析：此题在初中要根据“同角的补角相等”来证明对顶角相等。那么，在小学阶段，如何根据已有知识进行简单的证明呢？我们已经知道平角等于180度，再根据等量代换等知识就可以证明。下面给出最简单的证明：因为1和2、1和4分别组成平角，所以1+2=180、1+4=180，根据加减法各部分间的关系，可得 2=180-1、4=180-1，根据等量代换，可得2=4。再看右上图，在初中要证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，在小学阶段同样可以类似地得到证明。,（2012杭州）有一组互不全等的三角形，它们的边
14、长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7（1）请写出其中一个三角形的第三边的长；（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率分析：利用三角形任意两边之和大于第三边，进行关系推理。可列举出第三边的长：11，10，9，8，7，6，5，4，3。 两边的和： 5+7=12， 第三边为偶数：10，8，6，4. 概率为：4/9.,四下练习：,关系推理、分类讨论思想：开放题：一个等腰三角形的两条边长分别5cm和6cm, 求周长。分类讨论：（1）腰6、底边5，C=62+5=17（2）腰5、底边6，C=52+6=16一个等腰三角形的两条边长
15、分别1cm和3cm, 求周长。只有一种情况。,证明的两种方法：综合法和分析法 综合法：根据已知条件和规律，能推出什么？ 分析法：从问题（需要证明的结论）出发，寻找条件。小升初试题,长方形BCFE的面积=92=18. 所以ABCD的面积=184=72BCCD=9CD=72，所以CD=8，DF=CD-CF=8-2=6， AE=DF=6.,归纳法在小学运用广泛。 类比法是非常重要的，应该加强。如与平面图形推导面积计算公式类比， 立体图形的体积就是求一个立体图形含有多少个 单位正方体（棱长为1的正方体）再如，通过四边形的对角线把一个四边形转化为 2个三角形，求出四边形的内角和是360.五边形、六边形等
16、都可以与四边形进行类比、归纳出多边形的内角和公式。 在数学各个模块的学习中，初次学习用归纳法，第二次及以上的学习用类比方法！当然，中学的很多命题或者结论需要用演绎推理证明。,运算能力:计算是具体的推理，推理是抽象的计算长度（周长）、角、面积、体积等的计算，不追求复杂，但是简单的计算要熟练掌握。,2015北京中考数学题：计算与推理加强联系，减少计算的量和繁琐程度张景中院士：推理是抽象的计算，计算是具体的推理,平行线的性质及其应用问题,直角三角形斜边上的中线的性质,2016年：南昌,2014河南：加强计算中的推理,RtOAB,AB=4,AO=6/2=3,BO=5,BD=10。,空间观念（想象）虽然
17、义务教育阶段以平面几何为主。但是仍然要重视空间（一维、二维、三维）观念的培养。 主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。空间知觉 空间观念 空间想象,数学教学：传统的数学教育重视思维训练，那么， 数学思维与数学思想方法的关系是什么？哲学：认识的过程：感性 理性，实践 理论 实践心理学：认知过程：感觉 知觉 注意 记忆 思维 想象思维的过程：分析、综合、抽象、概括、比较、分类、系统化思维的形式：概念、判断、推理思维的分类：直观动作思维、具体形象思维、抽象逻辑思维 形式逻辑、辩证逻
18、辑数学思维：本来应该是十分丰富的，但现实往往就是抽象逻辑推理和复杂计算，分析抽象的数量关系。,概念是思维的基本形式，也是判断、推理的基础空间能力既需要以表象为基础，也需要理解概念，在此基础上进行判断和推理，想象。,观察：实物、几何体、直观图，比较异同操作：拼摆、折叠、裁剪、测量、活动、展开图、制作、画图 几何画板等现代技术的运用概念：多元表征判断、推理：想象：,拼摆：各种基本平面及立体图形、七巧板、三角板等,折叠：,2016年：乌兰浩特 加强推理与计算的融合 折叠就是轴对称， DQ=AQ=9-BQ，（9-BQ）=BQ+3，BQ=4,裁剪：,画图：,2017年全国小学数学人教版观摩交流会广东汕头
19、林清老师：线段、直线、射线,几何直观（1）什么是几何直观？几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。 几何直观与数形结合的关系：以形助数，以数解形。（2）几何直观的应用 几何知识的学习本身需要借助直观，其他知识更需要借助直观：数与代数、统计与概率等，如数形结合：线段图、图形、树状图、数轴、函数图像、统计图表等 高中和大学的微积分也离不开数形结合。,从几何直观到推理论证是研究几何图形的重要方法如平行四边形，通过对角线，转化为三角形和平行线等知
20、识。那么就可以利用研究三角形和平行线的方法研究平行四边形。1.性质：组成要素及关系？2.判定：通过小学的观察、测量、实验操作等几何直观的方法初步得到结论，如何证明？,第一、二、三学段，几何直观、合情推理与演绎推理证明相结合，从实验几何、直观几何逐步过渡到论证几何。观察、测量、实验、探究、归纳、类比得出结论，通过演绎推理证明结论，逐步养成严谨的思维习惯。推理论证不仅是证明或推翻猜想，也是发现新结论的重要手段。循序渐进安排推理论证：“说点儿理”“说理”“简单推理”“符号表示推理”,知道内角画不同类型三角形明确问题（结论）可猜想，再测量计算由平角引导学生把内角和转化成平角操作（实验）验证归纳结论渗透
21、：内错角、同位角相等初中会用更加严格的方法证明。,七下平行线的判定、性质，命题、定理、证明,已有知识：三角形内角和=180平角=180平行线的性质、判定引导学生把内角和转化成平角利用了平行线的判定为作辅助线提供依据和铺垫。右边的更好理解，左边的两个角的边共线，要用到平行公理。,辅助线就像方程中的未知数X再利用平行线的性质内错角相等感悟推理证明的思想方法,剪拼的右图：相当于把2向右平移根据平移的性质：平移前后图形的大小、现状完全相同，所以2= 5，所以ABL，所以1= 4.这样辅助线L就很自然得出。,几何直观与数形结合的关系。（1）数形结合思想。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。数和
22、形是客观事物不可分离的两个数学表象，两者既是对立的又是统一的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”数与形的对立统一主要表现在数与形的互相转化和互相结合上。尤其是直角坐标系与几何的结合，是数形结合的完美体现。 数形结合有两个方面： A. 以形助数。 B. 以数解形。,（2）利用图形描述和分析问题，这个问题包括几何本 身的问题。 加强操作、观察、想象、操作，是培养空间观念的有效方法。 长方体、正方体展开图也要加强用这些方法，有利于空间观念培养。,2016北京中考数学试题,2015年绵阳中考数学试题,2015年全国高考理科数学试题（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）,画出直观图更容易思考,
