1、山东大学物理学院 宗福建,1,电动力学第10讲,第二章 静电场（2） 2.2 唯一性定理教师姓名： 宗福建单位： 山东大学物理学院2016年10月11日,静电势的微分方程,真空中Maxwell方程组中，静电场的方程为：引入：则有：,2,山东大学物理学院 宗福建,静电势的微分方程,为自由电荷密度。上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松（Poisson）方程。给定边界条件就可以确定电势 的解。,3,山东大学物理学院 宗福建,静电势的微分方程,可以验证，电势 是泊松（Poisson）方程 的一个特解。,4,山东大学物理学院 宗福建,山东大学物理学院 宗福建,5,标势的边值关系,山东大学物理学院 宗
2、福建,6,标势的边值关系,两绝缘介质之间：即，,山东大学物理学院 宗福建,7,标势的边值关系,两导电介质之间：即，,山东大学物理学院 宗福建,8,标势的边值关系,金属表面：即，,山东大学物理学院 宗福建,9,标势的边值关系,一边是导电介质、一边是绝缘介质：即，,山东大学物理学院 宗福建,10,上一讲习题简答,第72页，第14题。,山东大学物理学院 宗福建,11,上一讲习题简答,+h/2处放置一个+q，-h/2处放置一个-q两电荷相距h，总电偶极距为p=qh,山东大学物理学院 宗福建,12,上一讲习题简答,解：电偶极子的电势,山东大学物理学院 宗福建,13,本讲主要内容,静电场的唯一性定理可以均
3、匀分区的单连通区域内静电场的唯一性有导体存在时的唯一性定理,山东大学物理学院 宗福建,14,2.2 唯一性定理,静电场的唯一性定理对于解决实际问题有着重要的意义。因为它首先告诉我们，哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据。其次，对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。下面我们先提出并证明一般形式的唯一定理，然后再证明有导体存在时的唯一性定理。,山东大学物理学院 宗福建,15,2.2 唯一性定理,1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性单连通区域：设 D为平面区域,如果D
4、内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ,则称D 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。,山东大学物理学院 宗福建,16,2.2 唯一性定理,1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性单连通区域：设 D为空间区域,如果D 内任一闭曲线都能连续地缩小为一个点 ,则称D 为空间单连通区域；否则称为复连通区域。,山东大学物理学院 宗福建,17,2.2 唯一性定理,1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性可以均匀分区的区域V，即V可以分为若干个均匀区域 Vi ，每一个区域的介电常数为 i 。设V内有给定的电荷分布 （x）。电势 在均匀
5、区域 Vi 内满足泊松方程在两区域 Vi 和 Vj 的分界上满足边值关系,山东大学物理学院 宗福建,18,2.2 唯一性定理,唯一性定理： 设区域V内给定自由电荷分布，在V的边界上S上给定（1）电势 | s 或 （2）电势的法向导数 /n| s ，则V内的电场唯一确定。也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足该给定的或 /n值。,山东大学物理学院 宗福建,19,2.2 唯一性定理,证明 设有两组不同的解 和 满足唯一性条件定理的条件。令,山东大学物理学院 宗福建,20,2.2 唯一性定理,在两均匀区界面上有,山东大学物
6、理学院 宗福建,21,2.2 唯一性定理,在整个区域V的边界S上有 所以，,山东大学物理学院 宗福建,22,2.2 唯一性定理,考虑第i个均匀区 Vi 的界面 Si 上的面积分这面积分可以变换为体积分,山东大学物理学院 宗福建,23,2.2 唯一性定理,对所有分区 Vi 求和得在两均匀区 Vi 和 Vj 的界面上， 和i的法向分量分别相等，但 dSi = dSj 。因此，在上式左边的求和式中，内部分界面的积分互相抵消，因而只剩下整个V的边界S上的积分。但在S上， |s=0 ，或者 /n|s=0 ，两情形下面积分都等于零。,山东大学物理学院 宗福建,24,2.2 唯一性定理,因此有由于被积分函数
7、 i（）2 0，上式成立的条件是在V内各点上都有 和 至多只能相差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影响，这就证明了唯一性定理。,山东大学物理学院 宗福建,25,思考题,考虑第i个均匀区 Vi 的界面 Si 上的积分为什么有系数i？若没有该系数结果会怎样？,山东大学物理学院 宗福建,26,2.2 唯一性定理,2. 有导体存在时的唯一性定理 当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需条件有两种类型：一类是给定每个导体上的电势 i ，另一个是给定每个导体上的总电荷 Qi 。,山东大学物理学院 宗福建,27,2.2 唯一性定理,设在某区域V内有一些导体，我们把除去导体内部以后的区域称为
8、V ，因而V 的边界包括界面S以及每个导体的表面 Si 。设V 内有给定电荷分布 ，S上给定|s 或 /n|s值。对上述第一种类型的问题，每个导体上的电势i 亦给定，即给出了V 所有边界上的或 /n 值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知，V 内的电场唯一地被确定。,山东大学物理学院 宗福建,28,2.2 唯一性定理,对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下：设区域V内由一些导体，给定导体之外的电荷分布，给定各导体上的总电荷 Qi 以及V的边界S上的或 /n 值，则V内的电场唯一确定。也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程,山东大学物理学院 宗福建,29,2.2 唯一性定理,在第i
9、个导体上满足总电荷条件 （n为导体面的外法线）和等势面条件 |s= i=常量以及在V的边界S上具有给定的|s 或 /n|s 值。,山东大学物理学院 宗福建,30,2.2 唯一性定理,山东大学物理学院 宗福建,31,2.2 唯一性定理,山东大学物理学院 宗福建,32,2.2 唯一性定理,山东大学物理学院 宗福建,33,2.2 唯一性定理,由本定理的证明可以看出电场与电荷的相互制约关系。若空间内有一些导体，给定各导体上的总电荷后，在空间中就激发了电场。同时导体上的电荷受到电场作用。在静止情况，导体上的电荷分布使得导体表面为一个等势面。因此，由导体上的总电荷和导体面为等势面的条件同时确定空间中的电场
10、以及导体上的电荷面密度。,山东大学物理学院 宗福建,34,唯一性定理的意义,1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度指明了方向。2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。,山东大学物理学院 宗福建,35,2.2 唯一性定理,例题：半径为a的导体球壳接地,壳内中心放置一个点电荷 Q，求壳内场强。,解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地,因而腔内场唯一
11、确定。,已知点电荷产生的电势为,但它在边界上,不满足,山东大学物理学院 宗福建,36,要使边界上任何一点电势为0 ，,设,它满足,根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。,可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。,山东大学物理学院 宗福建,37,2.2 唯一性定理,例 如图，两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为 1，右半部电容率为 2。设内球壳带总电荷Q，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布。,山东大学物理学院 宗福建,38,2.2 唯一性定理,解 设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为 1, E 1，D 1 和 2 ，E 2，D 2。由于左右两半是不同介质，因此电场一般不同于只有
12、一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系 E1t=E2t D1n=D2n,山东大学物理学院 宗福建,39,2.2 唯一性定理,山东大学物理学院 宗福建,40,2.2 唯一性定理,山东大学物理学院 宗福建,41,2.2 唯一性定理,山东大学物理学院 宗福建,42,本讲总结,本讲实际上是数学物理方法中关于泊松方程的定解问题第1类边值问题，给定边界条件 电势|s ；第2类边值问题，给定边界条件 电势的法向导数 /n|s ；第3类边值问题（混合问题），在部分边界上给定未知函数在这部分边界上的函数值，在其它边界上给定未知函数在这部分边界上的法向导数值；或者给定边界上未知函数与其法向导数值的线性组合。,10月14日宣讲名单,1 姜尚韬 物理学能治病吗2 梁作伟 宇宙中的磁场3 王军飞 自行车如何保持不侧翻4 崔瀚化 创后应激障碍的表现、治疗和物质原理5 朱同帅 人体的电磁特性与电磁辐射对人体的影响6 季洪祥 蚊子 在雨中存活的诀窍7 范艳婷 浅析脉冲星的电磁及引力特性,宣讲办法,1、宣讲8-10分钟2、提问2-4分钟3、电动力学课代表主持宣讲,谢谢！,
