1、 圆学子梦想 铸金字品牌考 点 45 一 、 解 答 题1.（2014安徽高考文科21）设 1F, 2分别是椭圆 E：21(0)xyab的左、右焦点，过点1F的直线交椭圆 E于 ,AB两点， 1|3|B(1) 若 2|4,的周长为 16，求 2|A；(2) 若 3cos5，求椭圆 的离心率.【解题提示】 （1）利用椭圆的定义求解；（2）设 1|BFk=，用 k 表示 2|AFB、 利用余弦定理解ABFD得出等腰 12RtAF，从而得到 a,c 的关系式。【解析】 （1）由 |3|,|=4B，得 11|3|A， ，因为 2D的周长为 16，所以由椭圆定义可得 1246,|a8a=+，故 2|=8
2、-5Fa-。（2）设 |BFk，则 k0,且 1|,|,k由椭圆定义可得 22|3,|=,AFakBak-在AD中，由余弦定理可得22222|.|cos,AFBAF=+-即 6(3)()(3)(5akak-（ 4) ，化简可得 0=，而 a+k0,故 a=3k,于是有 21|3|,kAF=2|=5kB，因此 22212|BFABFA+,故 1FD为等腰直角三角形，从而ccae=。2（2014安徽高考理科19）如图，已知两条抛物线 02:11pxyE和 02:pxyE，过原点 O的两条直线 1l和 2， 1l与 2,E分别交于 2,A两点， l与 ,分别交于 1,B两点. 圆学子梦想 铸金字品牌
3、(1)证明： 12/AB；(2)过原点 O作直线 l（异于 1l， 2）与 21,E分别交于 21,C两点。记 1BA与 2C的面积分别为 1S与 2,求 1的值.【解题提示】 （1）设出两条直线的方程，联立抛物线方程，求出点 21,A， 21,B的坐标，利用向量证明平行关系；（2）利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解。【解析】 （1）设直线 12,l的方程分别为 1212,(0)ykxk=，则由 1221(,)ykxpAk= ，由 221,pA ，同理可得 1222(,)(,)Bk， ，所以 11122(,)ppAk=-， = 12121(-)k， ，22121(,)Bk-，=
4、 2211(-)，故 1A= 2p，所以 12/AB。（2）由（1）知 12/，同理可得 12/CB， 12/AC，所以 12ABD相 似 于 ，因此212|()SBA=,又由（1）中的 1A= 2p知 22|=p，故21S3. （2014四川高考理科20）已知椭圆 C： 2xyab（ 0a）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形圆学子梦想 铸金字品牌（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 3x上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点） ；当 |PQ最小时，求点 T 的
5、坐标.【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想.【解析】 （1）依条件222634caabb，所以椭圆 C 的标准方程为 16xy（2）设 (3,)Tm， 1(,)P， 2(,)Q，又设 P中点为 0(,)Nxy，因为 0F，所以直线 的方程为： 2xmy，22()406xyy，所以22128(3)(1)43my，于是 102ym，20 263mxy，所以 26(,)3N因为 OTONkk，所以 O， ， T三点共线，即 OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点） 2|1F，22214(1)|13mPQ
6、y，所以22|4()()3m，令 x（ 1） ，则2| 136TFxxPQ（当且仅当 2x时取“ ”） ，所以当 |最小时， 2即 1m或 ，此时点 T 的坐标为 (3,1)或 ,).圆学子梦想 铸金字品牌4 （2014四川高考文科20）已知椭圆 C：21xyab（ 0a）的左焦点为 (2,0)F，离心率为 63（1）求椭圆 C的标准方程；（2）设 O为坐标原点， T为直线 3x上一点，过 F作 T的垂线交椭圆于 P， Q当四边形PTQ是平行四边形时，求四边形 OPQ的面积【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数
7、形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想.【解析】 （1）依条件 63ca，且 2c6ab，所以椭圆 C 的标准方程为21xy.（2）设 T点的坐标为（ 3， m） ，则直线 TF的斜率 03(2)TFmk.当 0m时，直线 PQ的斜率 1PQk，直线 的方程是 xy.当 时，直线 的方程是 2x，也符合 的形式.设 12(,)(,)xy，将直线 的方程与椭圆 C的方程联立，得 216xmy.消去 ，得 2(3)420my.其判别式 168() .所以 1243my， 123y，1222()3xy.因为四边形 OPTQ是平行四边形，所以 OPQT,即 12()(,)xyxy.所以1234xmy
8、.解得 1.此时四边形 OPTQ的面积圆学子梦想 铸金字品牌 212242()33OPTQ mSOFy.5. （ 2014重庆高考文科21）如图，设椭圆21(0)xyab的左、右焦点分别为 12,F ，点D在椭圆上， 121 12,FDF的面积为 .(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在设圆心在 y 轴上的圆,使原在 x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)直接根据椭圆的定义及题设条件可求出椭圆的标准方程 .(2)直接设出交点坐标然后根据椭圆与圆的对称性列出方程组求解.【解析】(1)设 1
9、2(,0)(,Fc其中 22.cab 由 12D得 1.从而 12 212,FSc 故 1.c 从而 1,由 12F得 22219,DF因此 23.DF所以 122,aD故 ,a22.bc因此，所求椭圆的标准方程为21.xy（2）如图，设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆21xy相交，圆学子梦想 铸金字品牌12,Pxy是两个交点， 12120,yFP 是圆 C的切线，且 .F由圆和椭圆的对称性，易知， .xy 由（1）知 12(,0)(,F所以 1121(,)(,).Pxy 再由 12.P得 2110.xy由椭圆方程得 21,即 1340.x解得 143或 1.当 时， 12, 重合，此时题设要
10、求的圆不存在.当 13x时, 过 P分别与 12,FP垂直的直线的交点即为圆心 .C 设 0(,)y 由 11,FC得 01.yx 而 1,3yx 故 05.y 圆 的半径221454.3P综上,存在满足题设条件的圆,其方程为6（ 2014湖 北 高 考 理 科 21） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 M 到 点 的 距 离 比xOy1,0F它 到 轴 的 距 离 多 1， 记 点 M 的 轨 迹 为 C.y(1)求 轨 迹 为 C 的 方 程(2)设 斜 率 为 k 的 直 线 过 定 点 ， 求 直 线 与 轨 迹 C 恰 好 有 一 个 公 共 点 ， 两 个 公 共l,pl
11、点 ， 三 个 公 共 点 时 k 的 相 应 取 值 范 围 。【 解 题 指 南 】 （ ） 设 出 M 点 的 坐 标 ， 直 接 由 题 意 列 等 式 ， 整 理 后 即 可 得 到 M的 轨 迹 C 的 方 程 ；（ ） 设 出 直 线 l 的 方 程 为 ， 和 （ ） 中 的 轨 迹 方 程 联 立 化 为 关 于 y1(x2)yk的 一 元 二 次 方 程 ， 求 出 判 别 式 ， 再 在 直 线 y-1=k（ x+2） 中 取 y=0 得 到 ，021kx然 后 分 判 别 式 小 于 0、 等 于 0、 大 于 0 结 合 x0 0 求 解 使 直 线 l 与 轨 迹
12、C 恰 好 有 一个 公 共 点 、 两 个 公 共 点 、 三 个 公 共 点 时 k 的 相 应 取 值 范 围 【 解 析 】 （ ） 设 点 ,依 题 意 得 ， 即(xy)MF2(1)1yx化 简 整 理 得 2()y故 点 的 轨 迹 的 方 程 为 。C24,0xy225.9xy圆学子梦想 铸金字品牌（ ） 在 点 的 轨 迹 中 ， 记MC212:4,:y0(x)yxC依 题 意 ， 可 设 直 线 的 方 程 为l()k由 方 程 组 ， 可 得 21(x)4yk2410y（ 1） 当 时 ， 此 时 ， 把 带 入 轨 迹 的 方 程 ， 得01C14x故 此 时 直 线
13、与 轨 迹 恰 好 有 一 个 公 共 点:lyC(,1)4（ 2） 当 时 ， 方 程 的 判 别 式 k26k设 直 线 与 轴 的 交 点 为 ， 则lx0(,)x由 ， 令 ， 得 1()yky1k（ ） 若 ， 由 解 得 ， 或 。0x2即 当 时 ， 直 线 与 没 有 公 共 点 ， 与 有 一 个 公 共 点 ，1k(,)(,)2l1C2C故 此 时 直 线 与 轨 迹 恰 好 有 一 个 公 共 点 。lC（ ） 若 或 由 解 得 ， 或 。0x0,2k10k即 当 时 ， 直 线 与 没 有 公 共 点 ， 与 有 一 个 公 共 点 ，1,2kl1C当 时 ， 直 线
14、 与 只 有 两 个 公 共 点 ， 与 没 有 公 共 点)C2故 当 时 ， 直 线 与 轨 迹 恰 好 有 两 个 公 共 点 。,0,l（ ） 若 由 解 得 ， 或0x12k102k即 当 时 ， 直 线 与 有 两 个 公 共 点 ， 与 有 一 个 公 共 点1k(,)(,2l1C2C故 此 时 直 线 与 轨 迹 恰 好 有 三 个 公 共 点 。lC综 合 （ 1） （ 2） 可 知 ， 当 时 ， 直 线 与 轨 迹 恰 好 有 一 个 公 共k(,)(,)02l点 ；当 时 ， 直 线 与 轨 迹 恰 好 有 两 个 公 共 点 ；k,0),lC当 时 ， 直 线 与 轨
15、 迹 恰 好 有 三 个 公 共 点 。1()2圆学子梦想 铸金字品牌7. (2014湖 北 高 考 文 科 T13)(本 小 题 满 分 14 分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ,点 M 到 点F(1,0)的 距 离 比 它 到 y 轴 的 距 离 多 1.记 点 M 的 轨 迹 为 C.(1)求 轨 迹 C 的 方 程 .(2)设 斜 率 为 k 的 直 线 l 过 定 点 P(-2,1).求 直 线 l 与 轨 迹 C 恰 好 有 一 个 公 共 点 、 两 个 公 共点 、 三 个 公 共 点 时 k 的 相 应 取 值 范 围 .【 解 题 指 南 】 (1)设 出
16、M 点 的 坐 标 ,直 接 由 题 意 列 等 式 ,整 理 后 即 可 得 到 M 的 轨 迹 C 的 方程 .(2)设 出 直 线 l 的 方 程 为 y-1=k(x+2),和 (1)中 的 轨 迹 方 程 联 立 化 为 关 于 y 的 一 元 二 次 方 程 ,求出 判 别 式 ,再 在 直 线 y-1=k(x+2)中 取 y=0 得 到 x0=- ,然 后 分 判 别 式 小 于 0、 等 于21k0、 大 于 0 结 合 x0 .0,即 当 k(-,-1) 0时 ,直 线 l 与 C1 没 有 公 共 点 ,与 C2 有 一 个 公 共 点 ,(,)2故 此 时 直 线 l 与
17、轨 迹 C 恰 好 有 一 个 公 共 点 .()若 或 由 解 得 k ,或 - k0.0,x0,12即 当 k 时 ,直 线 l 与 C1 只 有 一 个 公 共 点 ,与 C2 有 一 个 公 共 点 .1,2当 时 ,直 线 l 与 C1 有 两 个 公 共 点 ,与 C2 没 有 公 共 点 .,0)故 当 k 时 ,直 线 l 与 轨 迹 C 恰 好 有 两 个 公 共 点 .1,2,()若 由 解 得 -1k- ,或 0k .0,x212即 当 k 时 ,直 线 l 与 C1 有 两 个 公 共 点 ,与 C2 有 一 个 公 共 点 ,1(,)2(,故 此 时 直 线 l 与
18、轨 迹 C 恰 好 有 三 个 公 共 点 .综 合 (1)(2)可 知 ,当 k(-,-1) 0时 ,直 线 l 与 轨 迹 C 恰 好 有 一 个 公 共 点 ;当 k(,)2 时 ,直 线 l 与 轨 迹 C 恰 好 有 两 个 公 共 点 ;当 k 时 ,直 线 l 与 轨,0, 1(,)2(0,迹 C 恰 好 有 三 个 公 共 点 .8. （ 2014湖 南 高 考 理 科 21） （ 本 小 题 满 分 13 分 ）如 图 ， O为 坐 标 原 点 ， 椭 圆2:(0)xyCab的 左 、 右 焦 点 分 别 为 12,F， 离心 率 为 1e； 双 曲 线2:1xyab的 左
19、、 右 焦 点 分 别 为 34,F， 离 心 率 为 2e 已 知123,e且 24|31.F圆学子梦想 铸金字品牌（ 1） 求 12,C的 方 程 ；（ 2） 过 F作 的 不 垂 直 于 y轴 的 弦 AB的 中 点 当 直 线 OM与 2C交 于 ,PQ两 点 时 ，求 四 边 形 APBQ面 积 的 最 小 值 【 解 题 提 示 】 （ 1） 利 用 离 心 率 公 式 和 的 关 系 解 方 程 组 就 可 解 ；cba,（ 2） 联 立 方 程 组 ， 求 得 弦 长 AB， 及 P,Q 到 AB 的 距 离 ， 列 得 面 积 的 函 数 ， 再 求 最 小 值 。【 解 析
20、 】 (1)由 题 意 可 得 ,且 ,221,1eea212Fab因 为 ,且 ,123e2224Fb所 以 且 ，22ab2231a解 得 ， 所 以 椭 圆 方 程 为 ,双 曲 线 的 方 程 为 .,11C2xy2C21xy(2)由 (1)可 得 ,因 为 直 线 不 垂 直 于 轴 ,所 以 设 直 线 的 方 程 为 ,20FABABn联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 可 得 ,210ny则 ,则 ，2ABny2yM因 为 为 焦 点 弦 ,所 以 根 据 焦 点 弦 弦 长 公 式 可 得,21221nxx因 为 在 直 线 上 ,所 以 ,即 .,MyAB22Mn2,2nM则 直 线 的 方 程 为 ,PQynxx联 立 方 程 组 ， 消 去 y 整 理 得 ， 12yxn,24nx,2ny设 点 , , PQ
