1、解析函数是复变函数论所研究的主要对象. 本章将给出复变函数导数的定义、求导法则及可微性概念. 在讨论复变函数的可导性（可微性）基础上，介绍解析函数的概念：解析函数是在一个区域内处处可导的函数. 在讨论导数的几何意义的基础上引入了保角映射的概念，这是从几何意义上描述解析函数的特征.,第二章 解析函数,本章学习要求,复变函数的导数，解析函数；复变函数解析的必要条件，柯西黎曼条件；解析的充分必要条件；初等解析函数； 重点：函数解析的概念； 函数解析性的判断； 难点：解析函数概念； 初等解析函数中的多值函数；,2.1 复变函数导数与微分,2.1.1 复变函数的导数 1.复变函数导数概念 定义 2.1.
2、1 复变函数的导数,设函数 定义于区域 ，为 内一点，且点 如果极限 存在，则称函数 在点 可导，此极限值称为 在点 的导数，记为 或 即,2. 求复变函数导数实例,设 沿着平行于x轴的方向趋向于零，因而 ，这时极限设 沿着平行于y轴的方向趋向于零，因而 ，这时极限因此 导数不存在，原函数在复平面上处处不可导。,3 可导和连续的关系 我们知道：若复变函数在某点连续，则该函数在该点极限一定存在，反之不一定成立.那么可导与连续有何关系？ 若函数在某点可导，必在该点连续但反之不一定成立. 如上例 ，显然在复平面上处处连续但在复平面处处不可导.,2.1.2.复变函数的微分概念,定义2.1.2 复变函数
3、的微分复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分概念类似。设函数 在 可导，则由(2.1.3)式可得 其中 。 因此， 是 的高阶无穷小量，而 是函数 的改变量 的线性部分. 我们称 为函数 在点 的微分，记作 (2.1.5) 如果函数在 的微分存在，则称函数在点 可微。,2.1.3 可导的必要条件 上面我们判断函数是否可导时使用了定义式，但这样不仅麻烦，甚至对某些函数判断起来会十分困难。能否有更为简单的办法判断一个函数是否可导呢？按照逻辑思维习惯，判断不可导可能会容易一些，（正如判断级数是否收敛，只需使用收敛的必要条件即可），基于这样的思想，我们首先讨论函数可导的必要条件。,1. 直角坐
4、标形式的柯西黎曼条件,（1）沿平行于实轴的方向趋于零 ( ),（2）沿平行于虚轴的方向趋于零( ),两者应该相等，故有,即 (2.1.7)可以简写为 即为下述定理定理2.1.1 若函数 于点 可导，则在点 必有 (2.1.8) 方程（2.1.8）叫作直角坐标形式的柯西(Cauchy)黎曼(Riemann)方程，或柯西黎曼条件（简称为C-R条件）.,2. 极坐标形式的柯西黎曼条件 定理2.1.2 若用 和 分别表示 的模和辐角，若函数 可导，则 与 满足 极坐标形式的柯西黎曼条件 且导数可写成,【证明】使用极坐标，设 和 分别为极坐标系的单位矢量.当 沿 方向， 的变化为 所以沿 方向的导数,当
5、 沿 方向， 的变化为 所以沿 方向的导数由于沿 方向和沿 方向的导数应该相等，比较可得极坐标形式的柯西黎曼条件 (2.1.10)。,3柯西黎曼条件的应用 例2.1.3 讨论函数 在复平面上的可导性。 【解】 注意到 ，判断 C-R条件是否成立 即 ，显然在复平面处处不满足C-R条件，故原函数在复平面处处不可导。 说明：上述例题告诉我们，用C-R条件来判断函数不可导是方便的但当满足C-R条件时，函数就一定可导吗？,根据函数可导的定义式有 当 ，（且使得 ），那么当 沿射线 趋于0时，上式比值为 ，显然不同的趋向得到不同的值，故原函数在 处不可导。 本例题告诉我们即使函数满足C-R条件，仍然可能
6、不可导那么C-R条件还需加上什么条件才能保证函数可导呢？因此需要讨论可导的充分必要条件.,2.1.4 可导的充分必要条件 定理2.1.3 设函数 在区域 内有定义，则 在 内一点可导的充分必要条件是：二元函数 在点 处可微，且满足柯西黎曼条件.,2.2 解析函数 解析函数是本章的重点内容，有着广泛的应用基础。本节着重讲解解析函数的概念及判断方法；然后在下节介绍一些常用的初等解析函数，说明它们的解析性；最后以平面流速场和静电场的复势为例，说明解析函数在研究平面场中的应用。,2.2.1解析函数的概念1.解析函数概念定义 2.2.1 解析函数 奇点 如果函数 在 及其邻域内处处可导，那么称 在点处解
7、析。如果 在区域D内每一点解析，那么称 在 内解析，或称 是 内的一个解析函数（又称为全纯函数或正则函数）。 解析函数这一重要概念是与区域密切联系的我们说函数 在某点 解析， 其意义是指 在 点及其邻域内可导. 如果 在 点不解析，那么称 点为 的奇点。,2函数解析与可导、连续、极限的关系 由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要严格得多. 区域解析区域可导 在某点
8、解析该点可导该点连续该点 极限存在，反之均不一定成立。,复变函数在某点解析 某点可导 某点极限存在 某点连续,讨论： 若 ，则必有 ， 故 即 为常数； 若 ，则必有 。 故 必为常数，再由C-R条件（或由已证(2)的结论）则复函数必常数。,【解】 (1) 由 ，得 ，所以 容易看出，这四个偏导数处处连续，但是仅当 时， 它们才满足柯西-黎曼方程，因而函数 仅在 可导， 但在复平面内任何地方都不解析.,定义2.2.2 保角映射 （或保角变换） 解析函数 所代表的映射具有保持两曲 线间夹角不变的性质，故称这种映射为保角映射（或保角变换）. 这部分内容在数学物理定解问题（边值问题）中有着非常重要的
9、应用。 注意：由于复数“零”的辐角没有明确的意义，对 的点，公式 没有意义，因而也就谈不上夹角不变。,2.3 初等解析函数,2.3.1 指数函数（单值函数） 1定义2.3.1 指数函数 对于任何复数 ，我们用关系式来定义指数函数 当 取实数，即 时，定义与通常的实指数函数的定义是一致的；当 时，得到欧拉(Euler)公式： 其中 取整数。,2. 指数函数的性质 (1) 指数函数 在复平面内处处有定义，单值且解析。 (2)指数函数不等于零 由(2.3.2)知 (3)对任意两个复指数函数服从加法定理：与实指数函数一样有 (4)指数函数是以 为周期的周期函数。 由加法定理，我们可以推出 的周期性.它
10、的周期是 ， 即 其中 为任何整数。 注意：复指数函数的周期性是实指数函数 所没有的。,2.3.2对数函数指数函数的反函数（多值函数）定义2.3.2 对数函数 主值（或主值分支） 单值分支 对数函数定义为指数函数的反函数，即当 时，方程 所确定的 称为z的对数函数，记为 根据此定义，令 ，则 考虑到指数函数的周期性 故实、虚部分别为,注意： 上述等式的成立应该理解为 (i) 两端可能取值的全体集合是相等的（即模相等且辐角对应的集合是相等的）； (ii) 当等式左端的对数取某一分支的值时，等式右端的对数必有某一分支（可能是另一分支）的值与之对应相等而对于某一指定的分支上述等式未必成立； (iii
11、) 对于下列等式不再成立，即 不再成立，其中整数,例2.3.3 取 , 在对数主值分支中验证上述(1)是否成立？（对应于(ii)的说明）【解】在主值分支中 但是 显然对于指定的分支 。,.,2. 对数函数的解析性 就主值 而言，令 ，则 (2.3.14) 其中 在复平面内除原点外处处连续，而 在原点与负实轴上都不连续. 这是因为在原点处， 无定义，当然就谈不上连续.,2.3.3 三角函数 (单值函数) 1. 定义 2.3.3 三角函数 （正弦、余弦、正切、余切、正割、余割三角函数） 1.正弦、余弦三角函数 根据欧拉公式知，当 为 实数时有 （2.3.17）,把这两式相减与相加，分别得到 (2.
12、3.18) 现在把正弦和余弦函数的定义推广到自变数取复值的情形，我们称 (2.3.19) 分别为复数域中的正弦、余弦三角函数.,正弦、余弦三角函数性质（1） 是以 为周期的周期函数. 因为 是以 为周期的周期函数，故不难证明 (2.3.20)（2） 是奇函数，即为 (2.3.21) 是偶函数，即 (2.3.22),（3） 都是复平面内的解析函数，容易证明 (2.3.23) 且导数公式与实变数的情形完全相同. (4)复数形式的欧拉公式 (2.3.24) 仍然成立.,（5）三角公式 根据定义，可以推知三角学中很多有关余弦和正弦函数的公式仍然是成立的.,容易看出， 和 可以大于甚至当 时，趋近于无穷
13、. 例如 所以.,2. 其它三角复变函数定义 正切、余切定义如下： （说明：正切 也可写成 ；余切 也可写成 ）,2.3.5 双曲函数（单值函数） 1. 定义2.3.5 双曲函数 我们分别定义 （2.3.34） （2.3.35） （2.3.36）,2.3.6 反双曲函数（多值函数） 定义2.3.6 反双曲函数 反双曲函数定义为双曲函数的反函数. 用与推导反三角函数表达式完全类似的步骤，可以得到各反双曲函数的表达式：反双曲正弦,2.3.9 多值函数的基本概念：单值分支 支点 黎曼面,多值函数概念在前一章复变函数的定义中已经给出.前面所讨论的初等函数中，对数函数，反三角函数，反双曲函数，根式函数均
14、属于多值函数.本小节以根式函数为例详细介绍多值函数中的一些基本概念,（2.3.58）这样， 的主辐角有两个值（对应于 和 ）：相应地给出两个不同 的值 这称为多值函数 的两个单值分支.,(2)黎曼面 多值函数 的黎曼面 对于多值函数： ，黎曼采用的办是使得 值与 形成一一对应的关系. 这里约定，对两个单值分支，宗量的变化范围分别是对于单值分支 ： ；对于单值分支 ： .,已知一个调和函数，要构成一个解析函数的具体方法如下：(1)不定积分法；（2）全微分法；（3）利用导数公式；（4）曲线积分法. 注意：作此类题时，首先一定要验证给定的函数是否是调和函数.下面分别以四种方法来说明解析函数的构建方法
15、.具体解题时选其中最简单的方法即可.,例2.4.1 已知 ，求解析函数 ，并满足 . 1. 不定积分法 【解法1】首先验证 是否为调和函数，容易得到 故为 调和函数，因此只需找到它的共轭调和函数 ，即可构建解析函数.由C-R条件得 所以,由 得 ，最后得,3利用导数公式 【解法3】 容易验证所给函数 为调和函数. 要构建解析函数 ，故其导数存在，且 将上式两边对z积分得到 根据条件 ，故得,可以证明该积分与路径无关（证明会在下一章中给出） 【解法4】 首先容易验证给定函数 是调和函数. 根据C-R条件 若积分路径选为 ，则得到 根据条件 ，故得 .,.,2.5.2 静电场的复势 1. 静电场的
16、复势 考虑定义在xy平面的区域D内的平面静电场，其场强设为 若再假设平面场内没有带电物体，那么该场也是一个无源无旋平面向量场. 我们可以构建它的复势. 设其电势为 ，则由电磁学知道电场是电势梯度的负值 (2.5.3) 即为 (2.5.4) 由于该区域没有电荷，则由高斯定理知道，场强满足,将(2.5.4)代入即得到 (2.5.6) 故势函数 是二维调和函数因此可以将 看成是在区域D内的解析函数 的实部或虚部设电势,2. 电场用复势表示 我们可以将电场用复势表示出来： （1）对于上面的假设，电势对应于实部 得 所以,（2）另外，如果假设电势对应于虚部 ， 则同样由所以,(2.5.8),2.6 本章典型综合实例,本章作业,2.1 (2),(3);2.2;2.4;2.5;2.7;2.8 (1);(2);(4)2.12;2.13计算机仿真(选作 )2.14,
