1、2013 高考数学备考训练-椭圆一、选择题1已知椭圆 1(ab0) 的焦点分别为 F1、F 2，b4，离心率为 .过x2a2 y2b2 35F1 的直线交椭圆于 A、B 两点，则ABF 2 的周长为 ( )A10 B12C16 D20答案 D解析 如图，由椭圆的定义 知ABF 2 的周长为 4a，又 e ，即 c a，ca 35 35a2c 2 a2b 216， a5， ABF2 的周长为 20.16252椭圆 x2 my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 的值是( )A. B.14 12C2 D4答案 A解析 长轴长为 2a ，短轴长为 2， 4.2m 2mm .14
2、3已知方程 1 表示椭圆，则 k 的取值范围为( )x23 k y22 kAk 3 且 k B32 Dkb0)上任一点到两焦点的距离分别为x2a2 y2b2d1，d 2，焦距为 2c.若 d1,2c，d 2 成等差数列，则椭圆的离心率为 ( )A. B.12 22C. D.32 34答案 A解析 由 d1d 22a4c，e .ca 125(2011湖北八校 )若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则椭圆长轴的最小值为( )A1 B. 2C2 D2 2答案 D解析 三角形的面积 S 2cbbc1，12a2b 2c 22bc 2. a .2a2 .选 D.2 26设 e 是椭圆
3、 1 的离心率，且 e( ，1)，则实数 k 的取值范围是x24 y2k 12( )A(0,3) B(3 ， )163C(0,3) ( ，) D(0,2)163答案 C解析 当 k4 时，c ，由条件知 ；k 414k 4k 163当 0 b0)的两个焦点，A 和 B 是以 O 为x2a2 y2b2圆心，以|OF 1|为半径的圆与该椭圆的两个交点，且 F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为_答案 13解析 依题意知F 1AF290， AF2F130，|AF1| |F1F2|c ，|AF2| c.12 3由椭圆的定义得|AF 2|AF 1|2a， ( 1)c 2ae 1.3ca 312已知椭
4、圆 1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，且|F 1F2|2c ，点 Ax2a2 y2b2在椭圆上， 0 ， c 2，则椭圆的离心率 e 等于_AF1 F1F2 AF1 AF2 答案 5 12解析 不妨设 A 在 x 轴上方，由 0 知：A ， AF1 F1F2 ( c，b2a) AF1 ， ， 0 c 2，b4a 2c2，(a2c 2)(0， b2a) AF2 (2c， b2a) AF1 AF2 b4a22a 2c2，c43a 2c2a 4 0，c2 a2，e2 ，e .3 52 3 52 5 1213(08江西 )已知 F1、F 2 是椭圆的两个焦点，满足 0 的点 M 总MF1 MF2
5、在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_答案 (0 ， )22解析 依题意得，c2.2动点 N 的轨 迹为以点 C(1,0)， A(1,0)为焦点的椭圆 ，且2a2 ，2c2，a ，c1.2 2曲线 E 的方程为 y 21.x2215已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点为 F( 2,0)，且长轴长与短轴长的比是 2 .3(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上，点 P 是椭圆上任意一点当 | |最小时，MP 点 P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数 m 的取值范围解析 (1)设椭圆 C 的方程为 1(a b0)x2a2 y2b2由题意，得Error!解得 a216，b
6、212.所以椭圆 C 的方程为 1.x216 y212(2)设 P(x，y)为椭圆上的动点，由于 椭圆方程为 1，故4x 4.x216 y212因为 (x m，y)，MP 所以| |2(x m )2y 2(x m) 212(1 )MP x216 x22mxm 212 (x4m) 2123m 2.14 14因为当| |最小 时，点 P 恰好落在椭圆的右顶点，MP 即当 x4 时 ，| |2 取得最小值，而 x4,4，MP 故有 4m4，解得 m1.又点 M 在椭圆的长轴上，所以4m4.故实数 m 的取值范围是1,416(2010安徽卷，文)已知椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点
7、F1，F 2 在 x 轴上，离心率 e .12(1)求椭圆 E 的方程；(2)求F 1AF2 的角平分线所在直线 l 的方程；解析 (1)设椭圆 E 的方程为 1，x2a2 y2b2由 e ，即 ，得 a2c ，得 b2a 2c 23c 2.12 ca 12椭圆方程可化为 1.x24c2 y23c2将 A(2,3)代入上式，得 1，解得 c2，1c2 3c2椭圆 E 的方程为 1.x216 y212(2)由(1)知 F1(2,0)，F 2(2,0)，所以直 线 AF1 的方程为：y (x2)，即343x4y60，直线 AF2 的方程为：x 2.由点 A 在椭圆 E 上的位置知，直线 l 的斜率
8、为正数设 P(x，y)为 l 上任一点，则 |x2|.|3x 4y 6|5若 3x4y65x10，得 x2y80(因其斜率为负，舍去)于是，由 3x4y65x10，得 2xy10，所以直线 l 的方程为：2xy 10.1椭圆 5x2 ky25 的一个焦点是(0,2)，那么 k 等于 ( )A1 B1C. D5 5答案 B解析 化为标准方程：x 2 1. 焦点为(0,2) ，焦点在 y 轴，且y25kc2， 41， k1.5k2椭圆 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2，N 是 MF1 的中点则x225 y29|ON|等于 ( )A2 B4C8 D.32答案 B解析 |ON| |MF2|
9、(2a|MF 1|) (102)4，故选 B.12 12 123设椭圆的两个焦点分别为 F1、F 2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A. B.22 2 12C2 D. 12 2答案 D解析 数形结合：令 F1F21，则| PF2|1，| PF1| .2e 12c2a |F1F2|PF1| |PF2| 12 1 24(09江西)已知 F1、F 2 为椭圆 1(ab0)的焦点；M 为椭圆上一x2a2 y2b2点，MF 1 垂直于 x 轴，且 F 1MF260，则椭圆的离心率为( )A. B.12 22C. D.33 32答案 C解析
10、 解法一 |F1F2|2c，MF 1x 轴，|MF1| c，|MF2| c.233 4332a|MF 1|MF 2|2 c.e .32c2a 33解法二 由 F1(c, 0)，将 xc 代入 1，x2a2 y2b2得 y ，b2a ， .|F1F2|MF1| 3 2cb2a 3b2a 2c 2， ，即 .2aca2 c2 3 2e1 e2 3解得 e (舍)，e .3331(09重庆)已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)、x2a2 y2b2F2(c,0)，若椭圆上存在点 P 使 ，则该椭圆的离心率的asin PF1F2 csin PF2F1取值范围为_答案 ( 1,1)2
11、解析 依题意及正弦定理得 (注意到 P 不与 F1F2 共线)，即|PF2|PF1| ac ， 1 ， 1 ，即 e1 ，(e1) 22.又|PF2|2a |PF2| ac 2a|PF2| ca 2a|PF2| ca 2aa c 21 e0|PF2|，求 的值|PF1|PF2|解析 由已知|PF 1|PF 2|6， |F1F2|2 .5根据直角的不同位置，分两种情况：若 PF2F1为直角，则|PF1|2|PF 2|2|F 1F2|2，即|PF 1| ，|PF2| .143 43故 .|PF1|PF2| 72若 F1PF2为直角，则|F 1F2|2| PF1|2|PF 2|2，即 20|PF 1
12、|2(6|PF 1|)2，得|PF 1|4，|PF 2|2.故 2.|PF1|PF2|综上， 的值为 或 2.|PF1|PF2| 724.如图所示，已知OFQ 的面积为 S，且 1.OF FQ (1)若 b0) ，Q(x，y)x2a2 y2b2cy c，y .12 34 32又 c(xc) 1，xc .OF FQ 1c则| | (c2) OQ x2 y2 c 1c2 94可以证明：当 c2 时，函数 tc 为增函数，1c当 c2 时，| |min ，OQ 2 122 94 342此时 Q( ， )将 Q 的坐标代入椭圆方程，52 32得Error!解得 Error!椭圆方程 为 1.x210
13、y265(2010辽宁卷，文)设 F1，F 2 分别为椭圆 C： 1(ab0) 的左、右x2a2 y2b2焦点，过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60，F 1 到直线 l 的距离为 2 .3(1)求椭圆 C 的焦距；(2)如果 2 ，求椭圆 C 的方程AF2 F2B 解析 (1)设椭圆 C 的焦距为 2c，由已知可得 F1 到直 线 l 的距离 c2 ，3 3故 c2.所以椭圆 C 的焦距为 4.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 y10，直线 l 的方程为 y (x2)3联立Error!，得(3a 2b 2)y24 b2y3b 40.3解得 y1 ，y2 . 3b22 2a3a2 b2 3b22 2a3a2 b2因为 2 ，所以y 12y 2.AF2 F2B 即 2 .3b22 2a3a2 b2 3b22 2a3a2 b2得 a3.而 a2b 24，所以 b .5故椭圆 C 的方程为 1.x29 y25
