1、第三章 时变电磁场,本章主要内容：3.1 时变电磁场理论：Maxwell方程组坡印亭定理3.2 时谐电磁场3.3 波动现象及辐射机理,静态场：以空间坐标为变量的矢量函数,（x，y，z）,0,时变场：以空间坐标、时间为变量的矢量函数,（x，y，z）,0,时变场：,考虑：随时间的变化； 在空间的分布；,3.1.1 Faraday 电磁感应定律,3.1 时变电磁场,电（流）生磁（场）,磁（场）生电（流）?,已知：,能否：,一、发现思路,二、预备知识,1、电动势：,导电回路电流的起因是电源的电动势 ； 电动势等于电源正、负极之间的电压差；,L,S,2、回路的磁通：,I,三、 电磁感应（Electrom
2、agnetic induction ）,I,若导电回路的磁通变化，则导电回路中会出现感应电流。,感应电流产生的磁场阻止导电回路的磁通变化。,L,感应电动势与磁通的关系：,感应电动势与导电回路的材质无关，只与变化的磁场有关。,出现感应电流意味着导电回路中有感应电动势。,三、 电磁感应现象的实质,不论是否有导电回路存在，变化的磁场都会产生感应电场。,变化的磁场产生感应电场，使导电回路中的自由电子定向移动，形成感应电流；,感应电动势与感应电场的关系：,I,L,四、法拉第电磁感应定律,1、积分形式,2、微分形式,3、物理意义：,感应电场是有旋场，其旋涡源是时变磁场。感应电场又称旋涡电场； 旋涡电场的电
3、力线是无头无尾的闭合曲线，并与时变磁场的磁力线相交链；旋涡电场与库仑电场（电荷产生的电场）的源不同、性质也不同，但旋涡电场对导体、介质的作用与库仑电场相同。,五、考虑感应电场后的电场方程,1、库仑电场的方程：,（c : charge）,2、旋涡电场方程：,（in : induction）,3、两种电场均考虑时的场方程：,微分方程,积分方程,结构方程,意义：全面体现了电场（包括库仑电场和旋涡电场）与它的源（电荷、变化磁场）的关系。,例：,已知旋涡电场强度为,求 。,（不考虑静磁场）,解：,3.1.2 位移电流,一、思路,已知：现有电磁方程中存在不完善已知： 变磁（场）生电（场）能否： 变电（场）
4、生磁（场） Y/N？,结论： 变电（场）生磁（场） Y,二、不完善的方程及修正措施:,电流连续性定理：,1、不完善的方程：安培环路定律,2、修正措施：,三、位移电流 (Displacement current),3、位移电流的实质：变化电场引起的等效电流，它产生磁场的作用与传导电流等效。但它不一定伴有自由电荷的定向运动。,1、位移电流密度：,2、位移电流：,？,4、说明位移电流存在的实例：,右图中开关闭合后的瞬间，导线中出现变化电流，电容中出现变化电场。,证明：,电容器一边极板面积为S，带电荷电量q；,+,_,x,I,四、全电流,1、全电流密度：,2、全电流：,结论：全电流场为无散场，全电流线
5、为闭合曲线。全电流必定形成闭合回路，传导电流不连续的地方必有位移电流来补充并构成闭合的电流回路。,3、全电流连续性定律：,2、积分形式：,1、微分形式：,五、全电流定律：（即修正了的安培环路定律）,3、全电流定律的物理意义：,位移电流与传导电流一样，也是磁场的旋涡源。它激励磁场的能力与传导电流相同，且两种电流激励的磁场的性质完全相同。 全电流所激励磁场的磁力线与全电流回路相铰链，磁力线环绕传导电流或位移电流。,例:,在无源自由空间，已知磁场等于：,求位移电流密度。,由于是无源空间，故：,解：,例:,计算铜中的位移电流密度和传导电流之比值。设电场为 ,铜的电导率为,红光频率：3.91014Hz，
6、因此：对于微波频率，此比值很小,解：,六、考虑位移电流后的磁场方程,3、结构方程：,4、意义：全面体现了磁场与它的两种源（传导电流、位移电流）的关系。,1、微分方程：,2、积分方程：,3.1.3 Maxwell方程组,一、麦克斯韦方程的积分形式：,电磁感应定律,全电流定律,高斯定律,磁通连续性定律,注：若场矢量不随时间变化，就是静态场方程,二、麦克斯韦方程的微分形式：,2、在两种媒质的交界面，媒质参数 突变导致场矢量不连续，不能进行微分。因此微分方程只适用于连续空间，两种媒质边界处场矢量的变化要用边界条件来描述。,注：1、若场矢量不随时间变化，就是静态场方程。,三、结构方程：,：介电常数,：磁
7、导率,：电导率,理想介质 ，电导率较小的媒质近似为理想介质； 理想导体 ，电导率很大的导体近似为理想导体； 介于两者之间的媒质统称为导电媒质。,均匀、线性、各向同性媒质的 为实常数。 真空（或空气）： 除铁磁质以外，一般媒质 ；,四、 Maxwell 方程组的含义：,1、反映电场、磁场与各自的源的关系,电 场,磁 场,2、 说明时变电场、时变磁场可以相互激励，并可以脱离场源（即电荷与传导电流）存在。,例如：,激励起：,再激励起：,结论：最初由场源激励起时变的磁场或电场，之后时变电场、时变磁场就可相互激励，并脱离场源持续存在。假如整个过程无耗，则可以永远持续下去。,起初有：,激励起：,互相激励的
8、时变电场、时变磁场形成不可分割的统一整体，称为电磁场。,3、互相激励的时变电场的电力线与时变磁场的磁力线相互铰链，并在空间中以一定的速度向远处传播，这就是电磁波的传播。,电力线,磁力线,例如：,五、Maxwell方程组的历史意义,意味着现代电磁理论的建立；麦克斯韦提出的旋涡电场、位移电流的假设完善了电磁理论，使方程适用于所有宏观的电磁现象；,预言了电磁波的存在，并可以证明电磁波的速度就是光速，说明光也是电磁波；方程的正确性在实践被证实后，一直指导着实践，促成人类社会飞速的发展。,James Clerk Maxwell18311879，生于苏格兰。 他总结前人的实验成果，加上自己伟大的创造性思考
9、，用严格的数学语言建立了经典电磁场理论体系，并预言电磁波的存在。 Maxwell电磁场理论的建立是物理学发展史上一个重要的里程碑，使人类对宏观世界的认识达到一个新的高度。他是Newton和Einstein之间最伟大的物理学家。,3.1.4 边界条件Boundary conditions,一、边界条件的含义,电磁场在两种媒质交界面处遵循的变化规律。,三、边界面处电磁场突变的原因,1、交界的两种媒质均被同一个外加电场极化，在交界面处会出现极化电荷。,电场突变的原因：,2、两种媒质中的总电场都是原外加电场与极化电荷产生的电场的叠加。,3、由于极化电荷在两种媒质中产生的电场方向、大小不同，因此导致两种
10、媒质中的总电场不同，即，出现了电场突变。,4、若交界面处还存在自由电荷，则自由电荷在两种媒质中产生的电场也是引起电场突变的原因。,1、交界的两种媒质均被同一个外加磁场磁化，在交界面处会出现磁化电流。2、两种媒质中的总磁场都是原外加磁场与磁化电流产生的磁场的叠加。3、由于磁化电流在两种媒质中产生的磁场方向、大小不同，因此导致两种媒质中的总磁场不同，即，出现了磁场突变。,磁场突变的原因：,4、若交界面处还存在传导电流，则传导电流在两种媒质中产生的磁场也是引起磁场突变的原因。,四、边界条件的推导,在边界面上，取一个合适的闭合曲面或闭合回路，并在其上应用Maxwell积分方程，推导出边界条件。,五、边
11、界条件的一般形式,紧邻边界面的场矢量，均可以分解为垂直于边界的法向分量和平行于边界的切向分量；,边界两边、紧邻边界的场矢量的法向分量之间、切向分量之间的关系就是边界条件；,六、电场的法向分量,h,取半径很小的扁圆柱面,电场法向分量的边界条件,边界处无自由电荷时，电位移法向分量连续，但电场强度的法向分量不连续。,边界两边的电位移的法向分量之差等于自由电荷面密度。,七、电场的切向分量,h,S,L,取宽度很小的扁矩形回路,h,电场切向分量的边界条件,由于切向矢量 不唯一，故 也不唯一。要左式对任意的 均成立，则必有：,上页推导说明：,边界面两边的电场切向分量连续； 电位移的切向分量总是不连续。,八、
12、磁场的法向分量,h0,边界面两边的磁感应强度的法向分量连续。 对于非铁磁质的物质，认为 ，则磁场强度的法向分量也连续。,九、磁场的切向分量,边界两边磁场强度的切向分量之差值等于传导电流面密度。 边界处无传导电流时，磁场强度的切向分量连续。但磁感应强度的切向分量不连续。,十、边界条件的总结,2、标量形式：,1、矢量形式：,由媒质1指向媒质2,注：时变场的边界条件与静态场完全相同,十一、两种常见情况下的边界条件,1、理想介质与理想介质的交界面：,即,2、理想导体与理想介质交界面：,理想导体内部时变电磁场为0,介质,导体,电磁场0,为理想导体的外法向单位矢量，指向理想介质； 理想导体内时变电磁场等于
13、0； 垂直于理想导体表面； 平行于理想导体表面；,设 z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z0 一侧为理想导体，分界面处磁场强度为:求导体上的电流分布。,例：,z,首先确定单位法向矢量,解：,在两块导电平板 z=0, z=d 之间的空气中传播的电磁波的电场强度为：(其中 为常数)， 求磁场强度和两块导电平板表面上的电荷密度和电流密度。,例：,z,y,z=0,z=d,由于在导电平板上，电场强度没有法向分量，所以平板表面的电荷密度为0。,确定单位法向矢量,解：,求电荷密度：,由：,求出磁场：,z=0,z=d,在下导电平板：,z,在上导电平板：,y,求电流密度：,例： 理想导体与理想介质的交界面
14、为平面，理想介质的参数为： ，电场为： ， 求面电荷密度。,解：,十二、完整的电磁场方程,Maxwell方程组结构方程边界条件,一、时谐电磁场(Time -Harmonic field),3.2 时谐电磁场及其复数表示法,时谐变化的电磁场,又称正弦电磁场。,2、时谐电磁场 ：,1、时谐变化：随时间 t 作 sin 或 cos 变化。,3、研究时谐电磁场的意义：,时谐函数容易产生：LC回路谐振器、RC正弦波振荡器、LC正弦波振荡器、石英晶体振荡器等等；,其他任何时变电磁场都可以通过Fourier变换，分解为时谐电磁场的线性叠加。,周期函数展开成Fourier级数：,非周期函数展开成Fourier
15、积分：,二、时谐电磁场的瞬时表示式,时谐函数的三要素：,时谐场的各分量的表示式：,注意： 各分量角频率相同，且空间处处相同； 振幅、初始相位都是空间位置 的函数。,1、 每个分量的复振幅：,与 t 无关的部分,三、时谐电磁场的复数表示式,称为：x 分量的复振幅,电场 x 分量的复振幅,三个分量的复振幅：,复振幅与原分量瞬时表示式的关系：,2、复矢量：,定义,复矢量是各分量的复振幅组成的矢量,复矢量不是实际物理矢量，只是一种表示形式,称为复矢量，又称为 的复数表示式；,复数表示式与瞬时表示式的关系：,1、其形式比瞬时表示式简单；,复数表示式的作用：,3、已知 就可由复数表示式还原出瞬时表示式；,
16、2、它包含了所有随空间位置 变化的量，即：每个分量的振幅、初始相位。,其他电磁量的复数表示式:,其中：,四、复数表示式与瞬时表示式的转换：,可能用到的公式：,由复数表示式转换到瞬时表示式：,直接利用关系式,例：,方法：,例：,必须将 j 写成指数形式,解：,由瞬时表示式转换到复数表示式：,方法：求出每个分量的复振幅，再组成复矢量。,例：,例：,两种表示式转换方法的总结：,1、由复数表示式转换到瞬时表示式：,方法：直接利用关系式,注意：必须将 中的 j 或 -j 都写成指数形式。,五、时谐场的复数形式Maxwell方程组,1、 一般Maxwell方程组：,一般Maxwell方程组对任何时变电磁场
17、都适用；,对于时谐场，每个场矢量均可以用其复数形式表示，但算子 应如何处理?,2、 时谐场的时间偏导数的复数表示式：,3、时谐场的散度、旋度的复数表示式：,(3) 算子 保持不变。,4、将时谐场的Maxwell方程组转化为复数形式的方法：,注意：只有对于时谐场，才能将Maxwell方程组写成复数形式。,(2) 算子 用 代换。,(1) 每个场矢量均写成对应的复数形式表示；,5、时谐场的Maxwell方程的复数形式,时谐场的复数形式Maxwell方程组,Maxwell方程组,6、时谐场的结构方程的复数形式：,复数形式结构方程：,7、时谐场的边界条件的复数形式：,复数形式边界条件,在两块导电平板
18、z=0, z=d 之间的空气中传播的电磁波的电场强度为： 求 两块导电平板表面上的 。,例：,z,y,解：,z=0,z=d,在下导电平板：,z,在上导电平板：,y,六、时谐场的复数表示式的总结,好处：,复数表示式比瞬时表示式更简洁； 频域Maxwell方程比时域Maxwell方程形式上更简单；,注意：,一切都基于“时谐场”这一前提。,两种表示式的转换方法：,牢记关系式：,算子 用 代换；算子 不变；,结构方程、边界条件的基本形式保持不变。,3.3 坡印亭（Poynting）定理,一、静态电磁场的储存能量,静态场的总储能：,总储能：,电磁能量随电磁波传播而流动。,如何表示它？,三、坡印亭定理,有
19、关时变电磁场中能量守恒与能量转换关系的定理。可由Maxwell方程直接导出。,2、导电媒质中的损耗功率密度：,1、电磁波在无源(无电源电流)导电媒质中引起传导电流：,3、体积为V的导电媒质中的总损耗功率：,4、坡印亭定理,V,S,5、坡印亭矢量的物理意义：,流入曲面S的电磁功率,S,7、坡印亭矢量的方向就是电磁波传播的方向,例：,理想介质中电场为：,求：,解：,四、时谐场的复坡印亭矢量,用复数表示式表示瞬时坡印亭矢量：,一般对瞬时坡印亭矢量不感兴趣,瞬时坡印亭矢量：,t,瞬时坡印亭矢量在一个周期之内的平均值,平均坡印亭矢量 ：,平均坡印亭矢量：,注意：,复坡印亭矢量：,例：,在无源自由空间，电
20、场强度为：,求坡印亭矢量的瞬时值、平均值。,解：,x,y,z,3.4 电磁场的波动方程,在均匀、线性、各向同性的媒质中,一、由Maxwell方程导出一般有源波动方程,Maxwell方程：,（属于天线研究范畴）,二、无源、不导电媒质中的波动方程,无源、不导电媒质中波动方程的作用：,无源波动方程体现了电磁波脱离场源后、在无源空间中传播的波动规律。,电磁场源（ 和 ）辐射电磁波，电磁波脱离场源之后一般在空气中向外传播，空气中无源且空气是不导电媒质，是研究重点。,三、无源、不导电媒质中时谐场的频域波动方程,注：上述方程中场矢量均为复矢量,频域波动方程,四、波动性,简化,达朗贝尔解：,验证：,的图形：,
21、达朗贝尔解的图形：,3.5 电磁场的位函数,一、时变电磁场的矢量位和标量位,1、矢量位 ：,2、标量位 ：,注：位函数是求解场的辅助函数，无实际物理意义。,二、位函数满足的有源波动方程：,代入,1、矢量位的波动方程,得：,2、标量位的波动方程,代入,得：,3、位函数的好处,位函数有源波动方程的形式比场矢量有源波动方程的形式简单得多，求解更容易。 和 共有6个未知标量， 和 共有4个未知标量，且求出 就可通过洛伦兹条件求出 ，实际上只须求 的三个分量。,三、位函数的解：,1、标量位函数的解：,方程：,求解思路：先求点电荷产生的位函数，再应用叠加原理求出其他电荷分布情况产生的位函数。,位于原点的点
22、电荷 q ( t ) 在 处产生的位函数：,点电荷是“因”，位函数是“果”。“果”不可能超前于“因”。 超前的这部分 应舍去。,对上述位函数解的分析：,滞后于 q(t) 的时间为,0,波动的传播速度：,说明：源（点电荷）发生任何时间变化（波动），经过一段时间后，远处的位函数才发生同样的时间变化。说明源的波动传播到空间任意一点，需要一定的传播时间，该传播时间随距离而变。,波动传播的速度为,r,q(t),分布源电荷产生的滞后位,源电荷分布区域,体积微元 产生的滞后位微元：,中的分布电荷产生的标量滞后位：,2、矢量位函数的解：,矢量位方程：,与标量位函数的方程形式完全相同。,分量方程：,分量方程的解：,矢量位的解：,滞后位,四、时谐场的位函数：,1、 场矢量与位函数的关系：,2、洛伦兹条件：,4、时谐场的标量滞后位的复数表示式,复数表示式,瞬时表示式,瞬时表示式,复数表示式,时谐函数 的复数表示式：,时谐场源 产生时谐标量滞后位。,时谐标量滞后位的复数表示式：,相位滞后意味着时间滞后。,5、时谐场的矢量滞后位的复数表示式,相位滞后意味着时间滞后。,时谐矢量滞后位的复数表示式：,时谐场源 产生时谐矢量滞后位。,
