1、管理运筹学 （第二版） 课 后 习题 参考答案第1章 线性规划（复习思考题）1什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小
2、值。2 求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。3什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项 ，决策变量满足非负性。如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“”型约束的左边取值大于右边规划值，出
3、现剩余量。4试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。答：可行解：满足约束条件 的解，称为可行解。基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示：5用表格单纯形法求解如下线性规划。s.t. 解：标准化 s.t. 列出单纯形表4 1 2 0 0b0 2 8 3 1 1 0 2/80 8 6 1 1 0 1 8/64 1 2 0 04 1/4 1 3/8 1/8 1/8 0 (1/4/(1/80 13/2 6 5/41/4
4、3/41 (13/2/(1/40 1/23/2-1/2 02 2 8 3 1 1 00 6 220 111250 20故最优解为 ，即 ，此时最优值为 6表115中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中 为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以 代替基变量 ；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。表115 某极大化问题的单纯形表0 0 0b0 d 4 1 0 00 2 150 1 00 3 30 0 10 0 0解：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 为人工变量，且 为包含M的大于零的数， ；
5、或者 为人工变量，且为包含M 的大于零的数， 7用大M 法求解如下线性规划。s.t. 解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：s.t. 列出单纯形表5 3 6 0 0 Mb0 18 1 2 1 1 0 0 18/10 16 2 1 3 0 1 0 16/3M10 1 1 1 0 0 110/15+M3+M6+M 0 0 00 38/3 1/3 5/3 0 1 1/30 38/56 16/3 2/3 1/3 1 0 1/3 0 16M14/31/32/3 0 01/31 14/20 0 00 1 1/20 0 1 1/2 5/26 3 1/2 0 1 0 1/2 1/263 7 1/2 1
6、 0 0 1/23/2141/2 0 0 03/20 4 0 0 1 1 135 6 1 0 2 0 1 13 4 0 110120 01021M故最优解为 ，即 ，此时最优值为8A，B，C三个城市每年需分别供应电力320，250和350单位，由I，II两个电站提供，它们的最大可供电量分别为400单位和450单位，单位费用如表116所示。由于需要量大于可供量，决定城市A的供应量可减少030单位，城市B的供应量不变，城市C的供应量不能少于270单位。试建立线性规划模型，求将可供电量用完的最低总费用分配方案。表 116 单 位 电 力 输电费 （单 位：元）电站 城市 A B CI 15 18 2
7、2II 21 25 16解： 设 为 “第 i电 站向第 j城市分配的 电 量 ”（i=1,2; j=1,2,3），建立模型如下：s.t. 9某公司在 3年的 计 划期内，有 4个建 设项 目可以投 资 ：项 目 I从第一年到第三年年初都可以投 资 。预计 每年年初投 资 ，年末可收回本利 120%，每年又可以重新将所获 本利 纳 入投 资计 划； 项 目 II需要在第一年初投 资 ，经过 两年可收回本利 150%，又可以重新将所 获 本利 纳 入投 资计 划，但用于 该项 目的最大投 资 不得超 过 20万元； 项 目 III需要在第二年年初投 资 ，经过 两年可收回本利 160%，但用于
8、该项 目的最大投 资 不得超 过 15万元； 项 目 IV需要在第三年年初投 资 ，年末可收回本利 140%，但用于 该项 目的最大投 资 不得超 过 10万元。在 这 个 计 划期内， 该 公司第一年可供投 资 的 资 金有 30万元。 问 怎 样 的投 资 方案，才能使 该 公司在 这 个 计 划期 获 得最大利 润 ？解： 设 表示第一次投 资项 目 i，设 表示第二次投 资项 目 i，设 表示第三次投 资项 目 i，（i=1,2,3,4），则 建立的 线 性 规 划模型 为s.t. 通 过 LINGO软 件 计 算得： 10某家具制造厂生 产 五种不同 规 格的家具。每种家具都要 经过 机械成型、打磨、上漆几道重要工序。每种家具的每道工序所用的 时间 、每道工序的可用 时间 、每种家具的利 润 由表 117给 出。 问 工厂 应 如何安排生 产 ，使 总 利 润 最大？表 117 家具生 产 工 艺 耗 时 和利 润 表生 产 工序 所需 时间 （小 时 ）每道工序可用 时间 （小 时 ）1 2 3 4 5成型 3 4 6 2 3 3600打磨 4 3 5 6 4 3950上漆 2 3 3 4 3 2800
