1、1图 2 . 4ozyx习题解答第二章2.1 计算：(1) ，(2) ，(3) 。piqjkpqijkeAijpkliljeB解：(1) ;jj(2) ;()pqijkpqkpqkpqeA(3) 。liljijliljiljijjiB2.2 证明：若 ，则 。ijjia0ijkea证： 。2 0kjijkijkijkijkeeaea2.3 设 、 和 是三个矢量，试证明：bc2,aabc证： 。123112223,iiiiiiacabcbcb aca2.4 设 、 、 和 是四个矢量，证明：d()()()badc证： ijklmlnijlmijklebdece()ijlmiljmlijab c
2、。()()d2.5 设有矢量 。原坐标系绕 轴转动 角度，得到新坐标系，如图 2.4 所示。试iuez求矢量 在新坐标系中的分量。解： ， ， ，1cos12sin 130， ， ，2ico 2， ， 。310323，1siiuu 2，212sincosiuu。332.6 设有二阶张量 。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量 在新坐标ijjTe T系中的分量 、 、 和 。1213解：变换系数同上题。，21211 cossiniji TT ，221iT，133cosin。2.7 设有 个数 ，对任意 阶张量 ，定义n12niAm12mjB12 12nmij jCB若 为 阶张量，试证明 是 阶
3、张量。12ij12niA证：为书写简单起见，取 ， ，则，ijklijkl在新坐标系中，有(a)ijklijklAB因为 和 是张量，所以有CijklijklijklijiklijiklABA 比较上式和式(a)，得()0ijijikl由于 是任意张量，故上式成立的充要条件是ijijiA即 是张量。2.8 设 为二阶张量，试证明 。trIA证： 。=()=trjkkjijikjikii AIeee2.9 设 为矢量， 为二阶张量，试证明：a(1) ，(2)()TAa()Ta3证：(1) ()()()T TTjijkjikjnAaAaeae)Tjikjnnjine。e(2) ()()()TTTi
4、kjkkjink)njiknijaajiA2.10 已知张量 具有矩阵123456789T求 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。解： 的对称部分具有矩阵，131()5729T的反对称部分具有矩阵。02()1T和反对称部分对应的轴向矢量为。123e2.11 已知二阶张量 的矩阵为T01求 的特征值和特征矢量。解： 230()310由上式解得三个特征值为 ， ， 。1423将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为4， ， 。112)a(e12()ae+3ae2.12 求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：，AImBnm其中， 和 是实数， 和 是
5、两个相互垂直的单位矢量。解：因为，()()所以 是 的特征矢量， 是和其对应的特征值。设 是和 垂直的任意单am位矢量，则有 ()AaIa所以和 垂直的任意单位矢量都是 的特征矢量，相应的特征值为 ，显然 是mA特征方程的重根。令， ，21()ne31()2mne123e=则有，23()+23()+上面定义的 是相互垂直的单位矢量。张量 可以表示成ieB1230Be所以，三个特征值是 1、0 和1，对应的特征矢量是 、 和 。3e122.13 设 和 是矢量，证明：ab(1) 2()()a(2) ()ba证：(1) 这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。(2) () (
6、)jkjkmi ibexxee, ,()jikjjkminjijjnijiknab,ijkkab()a2.14 设 ，求 及其轴向矢量。23213xyzxzaee1()w5解： 12()wa323211 1()()xzxyzzxeee2366由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量。22111 322()()zzza2.15 设 是一闭曲面， 是从原点 到任意一点的矢径，试证明：SrO(1)若原点 在 的外面，积分 ；30Sdrn(2)若原点 在 的内部，积分 。34S证：(1)当 时，有0r(b)33()()ix因为原点在 的外面，上式在 所围的区域 中处处成立，所以由高斯公
7、式得SV。33()0SVdvrrn(2)因为原点在 的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为 的球面 完aS全在 的内部。用 表示由 和 所围的区域，在 中式(b)成立，所以S3333()0SSSVddrrr n即33SSn在 上， ， ，于是ra/nr。332214SSSSdda 2.16 设 ，试计算积分 。式中 是球面123()yxzyfee()SdfnS在 平面的上面部分.22a解：用 表示圆 ，即球面 和 平面的交线。由c222xyzaxyStokes 公式得6。() 0Sccdydxfnfr=第三章3.1 设 是矢径、 是位移， 。求 ，并证明：当 时， 是一个可rurudr,
8、1ijudr逆 的二阶张量。解： dIr的行列式就是书中的式(3.2)，当 时，这一行列式大于零，所Iu,1iju以 可逆。dr3.2 设位移场为 ，这里的 是二阶常张量，即 和 无关。求应变张量 、反ArAr对称张量 及其轴向矢量 。()/2u解： ， ， ，1T1()T2ijkklxxee22jkimkiljkimkijimAAe3.3 设位移场为 ，这里的 是二阶常张量，且 。请证明：ur,1iju=(1)变形前的直线在变形后仍为直线；(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。证：(1)方向和矢量 相同且过矢径为 的点的直线方程可以写
9、成a0r(1)0tr其中 是可变的参数。变形后的矢径为(2)()uArI用 点积式(1)的两边，并利用式(2),得I0()tra上式也是直线方程，所表示的直线和矢量 平行，过矢径为 的点。()IAa0()IAr所以变形前的直线变形后仍然是直线。7(2)因为 ，所以 可逆。记 ，则,1iju=IA1()BIA(3)()rIr变形前任意一个平面的方程可以表示成(4)ca其中 是和平面垂直的一个常矢量， 是常数。将式(3)代入式(4)，得c(5)()Br上式表示的是和矢量 垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。a(3)变形前两个平行的平面可以表示成，1c2变形后变成，()r2()cr仍是两
10、个平行的平面。3.4 在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。答案：能；能。3.5 设位移场为 ，其中 是二阶常张量， 和 是两个单位矢量，它们之间的uArnm夹角为 。求变形后 的减小量。解： 和 方向的正应变分别为nm，用 和 代替式(3.11)中的 和 ，经整理，得 的减小量 为n 122ctg()sin又 ，所以()/TA。1t()inmAm3.6 设 和 是两个单位矢量， 和 是两个微小的矢量，变形前它们drnr所张的平行四边形面积为 ，试用应变张量把变
11、形时它的面积变化率表示出来，其中 是面积变形前后的改变量。/A解：变形后， 和 变成r，dr rr对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得d对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得8()()drr(a)2()()2()()ddrrrr注意到2()()AA2drr所以，从式(a)可得()()()()ddArr() nmnm利用习题 2.4 中的等式，上式也可写成21()A3.7 设在一个确定的坐标系中的应变分量为 ，让坐标系绕 轴转动 角，得一个新的ijz坐标系，求在新坐标系中的应变分量。解： ， ， ，1cos12sin 130， ， ，2ico 2， ， 。310323，sixyxyxy，co
12、n22xyxyy xy，sinsxyxy xy，zyz ，icoyxzz3.8 在 平面上， 、 、 和 轴正OabOx方向之间的夹角分别为 、 、 ，如0612图 3.9 所示，这三个方向的正应变分别为 、a和 。求平面上任意方向的相对伸长度bc。n解：在 平面中，和 方向成 角的方向，其方向余弦为xyxabcOxy6012图 3 . 99， ，1cosn2in30这一方向的相对伸长度为ij2 2sicosinxxyyyx(a)coiABC利用上式，可得， ，a312b312bABC解之，得， ，3abcabc()bc将求出的 、 和 代回式(a)，得ABC32os2sin23bcabcab
13、cn3.9 试说明下列应变分量是否可能发生：， ， ，2xy2xyz， ，zab2zab0xy其中 和 为常数。解：如果列出的应变分量是可能的，则必须满足协调方程。将题中的应变分量代入协调方程(3.34c)，可以发现，必须有 。所以当 和 不为零时，上述应变分ab量是不可能发生的。3.10 确定常数 ， ， ， ， ， ， 之间的关系，使下列应变分量满足协0A10B10C12调方程，24()xyx，01y，22xC。zzy解：将所给应变分量代入协调方程，可以得到常数之间的关系如下：， 。1412AB其它三个常数 、 、 可以是任意的。003.11 若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关
14、，试写出位移的一般表达式。10解：由于应变张量 和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成00 000()()()d ruurr其中 是任意的刚体平移， 是任意的角位移矢量。3.12 设 ， ， ， ，其中 ， ， 是常量，求位xaybzcxyzxabc移的一般表达式。解：所给的应变张量是，123ee很容易验证 ，且有02212313()daxbydczdaxbycz r ee所以从式(3.36a),得00()ru02213()daxbyczree0000023()()zr e第四章4.1 已知物体内一点的六个应力分量为：， ， ， ， ，50xay30za75yz80zxa5xy试求法线方向余弦为 ， ， 的微分面上的总应力 、正应力12n12132nT和剪应力 。n解：应力矢量 的三个分量为T， ，106.57ia28.0a38.7Ta总应力 。2131正应力 。.4ni剪应力 。2nT4.2 过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为 和 ，在这两个面上的应力矢量分nm别为 和 ，试证 。1212m证：利用应力张量的对称性，可得
