1、一、数理统计基础知识1. 在一本书上我们随机地检查了 10 页，发现每页上的错误数为4 5 6 0 3 1 4 2 1 4试计算样本均值、样本方差和样本标准差。解 样本均值 1245310nxx样本方差 ，222221 43.789niis 样本标准差 2.42. 设有容量为 的样本 ，它的样本均值为 ，样本标准差为 ，样本极差为nAAxAs，样本中位数为 。现对样本中每一个观测值施行如下变化ARmyaxb如此得到样本 ，试写出样本 的均值、标准差、极差和中位数。BB解 不妨设样本 为 ，样本 为 ，且 ，A12,n12,nyiiyaxb1,2,in，1212n nB Ayyaxbaxb，22
2、 2211()()nniBii is s因而 .BAa，111AnnnRyxbaxaR212Bnmy3. 设 是来自 的样本，试求 和 。1,nx,U()Ex()Var解 均匀分布 的均值和方差分别为 0 和 ，该样本的容量为 ，因而1,U13n得，()0Ex()3Varxn4.设 是来自 的样本，试求下列概率16,(8,4)N(1) ；()0Px(2) (1)5解 (1) 16(16) (16)1600(0)8.43.972PxPxPx(2) 。1616(1)(1) 5855()(.5)0.382xx5.在总体 中抽取容量为 的样本，如果要求样本均值落在 内的(7.6,4)Nn(.,96)概
3、率不小于 0.95，则至少为多少？解 样本均值 ，从而按题意可建立如下不等式4(7.6,)x:，5.7.69.(5.69. )0954xPPnn即 ，所有 ，查表， ，故2()10.n()0.975(1.6).7.96或 ，即样本量 至少为 4。384n6. 设 是来自 的样本，经计算 ， ，试求16,x 2(,)N9x25.3s。(|0.)Px解 因为 ，用 表示服从 的2|()/(1)(1)()xnxntss:15()tx(15)t随机变量的分布函数，注意到 分布是对称的，故t。154(|)0.6(|0.6)2(.40)xPxptss利用统计软件可计算上式，譬如，使用 MATLAB 软件在
4、命令行中输入tcdf(1.0405，15)则给出 0.8427，直接输入 2* tcdf(1.0405，15)-1 则给出0.6854。这里的 就表示自由度为 的 分布在 处的分布函数。(,)tcdfxkktx于是有。(|0.6)2.84710.6854Px7.设 是来自 的样本，试确定最小的常数 ，使得对任意的 ，1,nx(,1)Nc0有 。(|)Pca解 由于 ，所以 的值依赖于 ，它是 的函数，记(,)xn:(|)Pxca为 ，于是，()g，其导函数为|)()()()Pxcxcnnc() n其中 表示 的密度函数，由于 ， ，故 ，从而x(0,1)N0c|c，这说明 ， 为减函数，并在
5、处(cc()g()0取得最大值，即 0max()()()()2()1nnncnc 于是，只要 ，即 就保证对任意的 ，有21ca(1)/20au0。最大的常数为 。(|)Pxc()/c8.设 是来自 的样本，试求 的分布。12,x2(0,)N21()xY解 由条件， ， ，故212,x:2120,N:，()()()x又 ，且 与 服从二元正1212, 0CovxVarx12x12x态分布，故 与 独立，于是12x。21 212()/()(1,)xYF:9.设总体为 ， 为样本，试求常数 ，使得(0,)N12,xk。2211)0.5()(Pk解 由上题， ， ，由于21)(,1)xYF:21()
6、1xYZ取值于 ，故由题目所给要求有 ，从而Z(0,)0k。()().511PkkPY于是 ，这给出 。0.95,)6.41F640.938.10.设 是来自 的样本，则 ，11,nx 2(,)N1nix，试求常数 使得 服从 分布，并指出分布的221()ninisxcnctst自由度。解 由条件： ， ， ，且 ，21(,)nxN2(,)nx2(1)(1)ns1nx， 相互独立，因而 ，故nx2s221 1(0,)(0,)n nxN 。2112()/()/)(1)(nnnt tnss这说明当 时， ，自由度为 。1nc1()ncxtts二、点估计11.从一批电子元件中抽取 8 个进行寿命测试
7、，得到如下数据（单位：h）：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080 试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计。解 样本均值 ，1051308143.75x样本标准差821()7iisx2 2(0543.7)(10843.75)96.2因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为 1143.75 和 96.0652.12. 设总体 ，现从该总体中抽取容量为 10 的样本，样本值为(0,)XU0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6 试对参数 给出矩估计。解 由于 ，即 ,而样本均值 ，()/2E()
8、EX0.513.6134x故 的矩估计为 。.68x13.设总体密度函数如下 是样本，试求未知参数的矩估计。1,n（1） ；2(;)(),0,0pxx（2） ；1,（3） ；(;)xx（4） 。;,0pe解 (1) 总体均值 ，即 ，222001()()()3EXxdxd()EX故参数 的矩估计为 。3（2）总体均值 ，所以 ，从而参数101()()2xd 12()EX的矩估计12x(3) 由 ，可得 ，由此，参数 的110()EXdx 2()1EX矩估计 。2x（4）先计算总体均值与方差0011()xt tEXededed ，222011()()x tedted2 2000xt ttt，22
9、()()VarXEX由此可以推出 ， ，从而参数 ， 的矩估计为Var()()EVarX， 。sxs14.甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现 a个错字，乙发现 b 个错字，其中共同发现的错字有 c 个，试用矩估计法给出如下两个未知参数的估计：（1）该书样稿的总错字个数；（2）未被发现的错字数。解 （1）设该书样稿中总错字的个数为 ，甲校对员识别出错字的概率为 ，1p乙校对员识别出的错字的概率为 ，由于甲、乙是彼此独立地进行校对，则同2p一错别字能被甲、乙同时识别的概率为 ，根据频率替换思想有12。:1212,abcpp由独立性可得矩法方程 ，解之得 。ababc（
10、2）未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲、乙发现的错字数，即 。譬如，如设 ，则该书样稿中错字总abc120,4,80abc数的矩法估计为 ，而未被发现的错字个数的矩法估计为120486个。186204815.设总体概率函数如下， 是样本，试求未知参数的最大似然估计。1,nx（1） ；(;),0,px（2） 已故， 。(1)cxc1解 （1）似然函数为 ，其对数试然函数为1()()nnLx。1()ln()lnl2nlLx将 关于 求异并令其为 0 即得到似然方程。1l()(lnl)22nx解之得 。21(ln)iix由于 ，4223/23ln(ln)l()04i ixxL所以 是 的
11、最大似然估计（2）似然函数为 ，其对数似然函数为(1)1()(nnLcx。ln()llllLn将 关于 求异并令其为 0 得到似然方程，1l()l(ln)cx解之可得 。1lnii 由于 ，这说明 是 的最大似然估计。22l()0L16.设总体概率函数如下， 是样本，试求未知参数的最大似然估计。1,nx（1） ， 已知；()(;)cpx,0c（2） ；;,xe(3) 。1(;),(1),0Pxkk解 （1）样本 的似然函数为 。1,n (1)(10(nccnxLxI要使 达到最大，首先示性函数应为 1，其次是 尽可能大。由于 ，()L 0c故 是 的单调增函数，所以 的取值应仅可能大，但示性函
12、数的存在决定了nc的取值不能大于 ，由此给出 的最大似然估计为 。(1)x(1)x（2）此处的似然函数为 ， 。11()expnniiL(1)其对数似然函数为1()ln(,)lniixL由上式可以看出， 是 的单调增函数，要使其最大， 的取值应l(,) 该尽可能的大，由于限制 ，这给出 的最大似然估计为 。(1)x(1)x将 关于 求异并令其为 0 得到关于 的似然估计方程ln(,)L，12()l(,)niix解之 。1(1)2()niixx（3）设有样本 ，其似然函数为1,n。(1)()()nxkLIk由于 是关于 的单调递减函数，要使 达到最大， 应尽可n ()L能小，但由于限制 可以得到
13、 ，这说明 不能(1)()1nxk()(1)nxk小与 ，因而 的最大似然估计为 。()1nxk()n17.设总体概率函数如下， 是样本，试求未知参数的最大似然估计1,nx(1) ；/(;)02pxe（2） ;,/2x(3) 。1212(;,),px解 （1）不难写出似然函数为 。1()2nixLe对数似然函数为 。1ln()lnix将之关于 求异并令其为 0 得到似然估计方程 ， 12ln()0nixL解之可得 。1nix而 ，故 是 的最大似然估计。22332ln()0()i iLnx（2）此处的似然函数为 。(1)22nxLI它只有两个取值：0 和 1，为使得似然函数取 1， 的取值范围应是，因而 的最大似然估计 可取 中的任意值。()(1)2nxx()(1),2nx（3）由条件，似然函数为 ；其次 要尽量1()22()xnLI21小，综上可知， 的最大似然估计应为 ， 的最大似然估计应为 。1(1) ()nx18.在遗传学研究中经常要截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为，对数似然函数为11111112()22()()()nnnnnnpppL。11l)ll()l()将对数似然函数关于 求异并令其为 0 得到似然方程 ，p102nnpp
