1、第二章 轴向拉伸和压缩2-1 一圆截面直杆，其直径 d 20mm, 长 L=40m，材料的弹性模量 E=200GPa，容重 80kN/m 3, 杆的上端固定，下端作用有拉力 F =4KN，试求此杆的：最大正应力；最大线应变；最大切应力；下端处横截面的位移 。BA题 2-1图LFx+504.8N解：首先作直杆的轴力图最大的轴向拉力为 32N,max 80.04054.8N4dVLF故最大正应力为： ,N,max,axax22254.=1.9MPa.FA最大线应变为: 64axma 915.40.710E 当 （ 为杆内斜截面与横截面的夹角）为 时，5maxa7.9Pa2取 A 点为 轴起点，x2
2、N(.140)N4dFVxxF故下端处横截面的位移为： 240N005.d(.56)2.87mLLxxEAEA2-2 试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长 L 。已知杆横截面面积为 A，长度为 L,材料的容重为 。 B题 -图解：距离 为 x 处的轴力为 AN()F所以总伸长 200LdLLAxEE2-3 图示结构，已知两杆的横截面面积均为 A=200mm2,材料的弹性模量 E=200GPa。在结点 A 处受荷载 F 作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为 1410 4 ， 2210 4 ，试确定荷载 P 及其方位角 的大小。BCA1230F题 2-3图解: 由胡克定律得 945
3、1201081PaE2相应杆上的轴力为1NA2A568010KN12取 A 节点为研究对象，由力的平衡方程得12sin30sisincocoNPA解上述方程组得.89217PK2-4 图示杆受轴向荷载 F1、 F2 作用，且 F1F 2F，已知杆的横截面面积为 A，材料的应力应变关系为 c n，其中 c、 n 为由试验测定的常数。(1) 试计算杆的总伸长；(2) 如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？(3) 当 n1 时，上述两解答是否相同？由此可得什么结论？ 12a+FN图（ a） 图（ b） N图（ c） 题 2-4图解：（）轴力图如图（a）所示。根据 ： nc12()nlFcaA1
4、2nFlacA2nl 2nl则 12(1)ncll（）采用叠加法。单独作用 F1 时，轴力图如图（b）所示。 1()nlFcaA1nFlacA单独作用 F2 时，轴力图如图（c ）所示。 2nl2nl则 3nalA（）当 n=1 时，上述两解答相同。结论：只有当 与 成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。2-5 试求图示构架点 C 的铅垂位移和水平位移，已知两根杆的抗拉刚度均为 EA。(a)(c)DBF题 2-5图(b)FCDBClD4解： 取 C 点分析受力情况，如图（ b）所示，得 ,0CDBF因此只有 CD 杆有伸长 CDLlEA变形几何图如图（c）所示 ，得 。xy2-6 刚性梁 ABC
5、D 在 B、 D 两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮 G、 H。已知钢丝的 E210GPa，绳横截面面积 A100mm 2，荷载 F20KN，试求 C 点的铅垂位移（不计绳与滑轮间的摩擦） 。解：首先要求绳的内力 。刚性梁 的受力分析如图TABCD，()b由平衡方程： 0AM解得： 8KN7T绳的原长 24mL绳的伸长量为在 作339680174.5102TEAF用下结构变形如图 ，()c可得：5m31m2题 2-6图PBGHFTFPBGCHDA(b)(c)(a)34.510mBDL()再由三角几何关系得：9BDA(2)由 、 式联立可得： (1)23.50mBL又因为： 8BCA所以， 32
6、.49102.49L2-7 图示结构中 AB 杆为刚性杆，杆 AC 为钢质圆截面杆，直径 d1=20mm，E 1=200GPa；杆 BD 为铜质圆截面杆，直径 d225mm，E 2=100GPa，试求：(1) 外力 F 作用在何处(x ？)时 AB 梁保持水平？(2) 如此时 F30kN，则两拉杆横截面上的正应力各为多少？解：(1). 容易求得 AC 杆、BD 杆的轴力分别为 12,NNxxFF从而 AC 杆、BD 杆的伸长量 111222224NNNlxlllEAdEFllFll若要 AB 梁保持水平，则两杆伸长量应相等，即 .12l于是, 12244.FlxlEd2 921 929211.
7、50.5. 10.0.08lxm(2).当 时，两拉杆横截面上的正应力分别为3,.08FkN312 21322210.84.4401.8.54NxMPadAxFad1.5mmxACPBD题 -7 图22-8 图示五根杆的铰接结构，沿其对角线 AC 方向作用两力 F20 kN，各杆弹性模量 E=200GPa，横截面面积 A500mm 2，L1m，试求：(1) AC 之间的相对位移 AC，(2) 若将两力 F 改至 BD 点，则 BD 点之间的相对位移 BD又如何？解：(1)取 节点为研究对象，受力分析如图(b)A由平衡方程： ,0XFcos450ABF0,sin45AYAD得 210BDkN同理
8、，可得： CDBF节点受力分析如图(c)，0X20cos45ABBDFkN, , , 四杆材料相同，受力大小相同，所以四个杆的应 变能A相同，可求得整个杆件应变能为： 2246.8ABDLJE力 作的功为： F1ACWF由弹性体的功能原理得： 16.82AC30.m当两力 移至 两点时，可知，只有 杆受力，轴力为F.BDBDF所以 212BDLFEA从而 39601.285m2-9 图示结构，已知三根杆 AF、CD、CE 的横截面面积均为 A=200mm2, E=200GPa,试求每根杆横截面上的应力及荷载作用点 B 的竖向位移。 3m0F=1kN题 2-9图DBC30F=1kNyxOABND
9、EACm2BABCDAABCDFFFF(a)B题 2-8 图(b)(c)(d)解：取 AB 为研究对象，选取如图所示坐标轴，故 ，即 ,0xFNDEF,即 ,y2sin30A于是得 ，ND，即 ，0AM3si6F于是 ，2120KND解得： ，ENA所有构件的应变能为 *23max10346304680 171.MPa1.5BBSzSFFFhbI由功能原理得， 作的功在数值上等于该结构的应变能即： 12BV所以 .342.58m01F2-10 图示结构，已知四根杆 AC、CB、AD、BD 的长度均为 a,抗拉刚度均为 EA,试求各杆轴力，并求下端 B 点的位移。 q=F/aABCDB(a)题
10、2-10图 q=F/CD(b)q=F/ABCD(c)BFF(d)xy xy341234 F刚 性 杆解：(1)以 B 结点为研究对象，受力图如图（a）所示由 得0xF34F得 342以刚性杆为研究对象，受力图如图（b）所示由 得0xF12F由 得y12(1)(2)由于 1，2 杆的伸长变形，引起 CD 刚性杆以及 B 结点的下降（如图（ c） ）1 12()BFalllEA由于 3，4 杆的伸长引起 B 点的继续下降（如图（d） ）2 3Bll则 12()BllFaEA2-11 重 G=500N,边长为 a=400mm 的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。已知此麻绳在 290N的拉力作用下
11、将被拉断。(1) 如麻绳长为 1.7m 时，试问此时绳是否会拉断？(2) 如改变 角使麻绳不断，则麻绳的长度至少应为多少？解：(1)取整体作为研究对象,经分析得本受力体系为对称体系.由于箱子重 G=500N,由竖直方向的受力平衡可知,每根绳子竖直方向受力为 F=250N.GaF即 cos250F而21.7.4().97则 250720.9FN于是,此时绳子不会被拉断.(2)绳子被拉断时 cos5u其中 290FN则220.4()250cos.869L解得: .7Lm答：(1)N =417N (2)L=1.988mGaa题 2-1图 LDBFCEx12题 2-1图2-12 图示结构， BC 为刚
12、性杆, 长度为 L, 杆 1、2 的横截面面积均为 A，其容许应力分别为 1和 2，且 1=2 2，荷载可沿梁 BC 移动, 其移动范围 0xL, 试从强度方面考虑，当 x 取何值时，F的容许值最大，F max 等于多少？解：分析题意可知，由于 1、2 两杆横截面积均为 A，而 1 杆的容许应力为 2 杆的二倍，则由公式可知，破坏时 2 杆的轴力也为 1 杆的二倍。A本题要求 F 的容许值最大，即当力 F 作用在距离 B 点 的位置上时，1、2 两杆均达到破坏所需的轴x力，即 BDEC此时，对力的作用点求矩得： ()0BExLx解得： 3此时，由竖直方向的受力平衡得： max1213BDECF
13、AA2-13 图示结构，AC 为刚性杆, BD 为斜撑杆, 荷载 F 可沿杆 AC 移动,试问：为使 BD 杆的重量最轻, BD 杆与 AC 杆之间的夹角 应取何值？LBCD刚 性 杆FA解：如图所示，取整体为研究对象，对 A 点取钜，由 得：0AMsincos0BDBDFLl而 则1sin2BDBFLAlWl要想使重量最轻，应该使 sin2 最大，即 2=90 解得：=45 FBACD3m题 2-14图2-14 铰接桁架承受水平力 F=150kN,桁架所有杆件的许用应力 =125Mpa,试求 AB 杆和 CD 杆所需的横截面面积。解：由零杆的判别条件知，图中 BC 杆为零杆。取整体为研究对象
14、，对 A 点取钜，由 得：0AM解得： 260DF13DF取 D 节点为研究对象，由平衡方程得：则可以解得： 1.80.63F5BDCBDDCB23BDCD FBAD同理，对于 B 节点，也有平衡方程：则可以解得： 0.6ABDFF于是，由许用应力定义得： 4226.157.10m720. 6ABCDF2-15 圆截面钢杆如图所示，已知材料的 E=200GPa，若杆内应变能 U=4Nm,试求此杆横截面上的最大正应力。 4m题 2-15图0mF解：各截面压力相同为 F应变能 2231lllUEA代入数据 可得 kN8.6MPamaxin2902-16 图示杆件的抗拉（压）刚度为 EA，试求此杆的应变能。 aF题 2-16图解：+FFN图如图所示，为杆件的轴力图，则杆件的应变能计算应该分为两部分。 12U2230DABBF
