1、#*解三角形题型分类解析类型一：正弦定理1、 计算问题：例 1、 （2013北京）在 ABC 中，a=3 ，b=5 ，sinA= ，则 sinB=_ 例 2、已知 ABC 中， A ， ，则 =603asinsinabcABC例 3、在锐角ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且 2asinB= b求角 A 的大小；2、三角形形状问题例 3、在 中，已知 分别为角 A，B，C 的对边，BC,abc1) 试确定 形状。bcosaA2）若 ，试确定 形状。4）在 中，已知 ，试判断三角形的形状。ABCAbBatant225）已知在 中， ，且 ，试判断三角形的形状。Ccsii
2、CB22sinisi例 4、 （2016 年上海）已知 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_类型二：余弦定理1、 判断三角形形状：锐角、直角、钝角在ABC 中，若 ，则角 是直角；22abcC若 ，则角 是钝角；若 ，则角 是锐角例 1、在 ABC 中，若 a9,b10,c12,则ABC 的形状是_。2、 求角或者边例 2、 （2016 年天津高考）在 ABC 中，若 ,BC=3， ,则 AC=13AB120C例 3、在ABC 中，已知三边长 ， ， ，求三角形的最大内角3a4b7c#*例 4、在ABC 中，已知 a=7,b=3,c=5，求最大的角和 sinC?3、 余弦公
3、式直接应用例 5、：在 ABC 中，若 ，求角 A22abc例 6、：(2013 重庆理 20)在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 a2 b2 ab c2.(1)求 C；例 7、设 AB的内角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c. 若 ()()abcab，则角 例 8、 （2016 年北京高考） 在 ABC 中， 22c.（1 ）求 的大小；（2 ）求 cosAC 的最大值 .类型三：正弦、余弦定理基本应用例 1.【2015 高考广东，理 11】设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若ABCabc， ， ，则 . 3a1sin2B6C b例 2
4、. ，则 B 等于。)(cb例 3.【2015 高考天津，理 13】在 中，内角 所对的边分别为 ，已知AC,B,abc的面积为 ， 则 的值为.ABC31512,cos4ba例 4.在ABC 中，sin(C-A)=1 , sinB= ，求 sinA=。3例 5.【2015 高考北京，理 12】在 中， ， ， ，则 ABC 4a5b6csin2AC例 6.若 ABC的三个内角满足 sin:sin5:13AB，则 AB#*（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.变：在 中，若 ，则角 的度数为7:53sin:siC
5、BAC例 7. 的三个内角满则 A:B:C=1:2:3 则 a:b:c=.例 8.设 的内角 的对边分别为 ，且 ， , 则ABC, ,abc53osA13csBbc类型四：与正弦有关的解的个数思路二：利用大边对大角进行筛选例 1：在ABC 中，b sinAab，则此三角形有A.一解 B.两解 C.无解 D.不确定例 2：在 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】CA、 ， ， ； B、 ， ， ；7a143025b30c15CC、 ， ， ； D、 ， ， 。b5c 6a6B例 3：在 中，B有 几 个 ？则 满 足 此 条 件 的 三 角 形,45),0(,aoAb类型五：与
6、有关的问题C例 1：在ABC 中，sinA=2cos BsinC，则三角形为 _.变：在ABC 中，已知 ，那么 ABC 一定是。Bcos)sin(2i例 2:在 中,角 , , 对应的边分别是 , , .已知 .ABCabcos231ABC(I)求角 的大小;(II)若 的面积 , ,求 的值.53SbsinBC例 3:ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3acos C2ccos A，tan A ，求13B.例4:在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且#* b)sinC(2c)sinB(2basinA（）求 A 的大小；（）求 的最大值.iB类
7、型六：边化角，角化边注意点:换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分怎么区分边化角还是角化边呢？若两边都是正弦首先考虑角化边，若 sin,cos 都存在时首先考虑边化角例 1:在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足 csinA=acosC（）求角 C 的大小；例 2 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 3a2b，则 的2sin2B sin2Asin2A值为例 3.ABC 中， sin2A=sin2B+sin2C，则ABC 为A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形例 4：(2011全国)ABC 的内角 A、B、C
8、的对边分别为 a、b、c，asin Acsin C asin 2Cbsin B .(1)求 B；(2)若 A 75，b2，求 a，c.例 5：（2016 年四川高考）在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且.cossinCabc（I）证明： ；iAB（II）若 ，求 .2265atan例 6：（2016 年浙江高考）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b ，c . 已知b+c=2acosB.（I）证明：A=2B；（II）若ABC 的面积 ，求角 A 的大小.2=4aS例 7： 的内角 所对的边分别为 .ABC， cba，（I）若 成等差数列，证明： ；cba
9、， CAAsin2isn（II）若 成等比数列，求 的最小值.， Bco#*类型七：面积问题面积公式：例 1：设 ABC的内角 ,所对边的长分别是 ,abc，且 b=3，c=1，ABC 的面积为 求 cosA 与 a 的值；2例 2:在 AB中，角 ,的对边分别为 ,3bcB， 4os,35Ab。（）求 sinC的值；（）求 AC的面积.例 3： 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 向量 与abc,3mab平行cos,inA（I）求 ；（II）若 ， 求 的面积7a2bC例 4在 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且满足AB(1)求ABC 的面积；(2)若 c1，求 a 的值
10、例 5：（2013浙江）在锐角ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2asinB=b（）求角 A 的大小；（）若 a=6，b+c=8，求ABC 的面积例 6：（2016 年全国 I 高考） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b ，c ，已知2cos(cos).CaB+b（I）求 C；（II）若 的面积为 ，求 的周长7,cA32ABC题型八：图形问题例 1：如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角 (指从正北方向顺时针转到目标#*方向线的水平转角)为 140的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为110，航行半小时后船到达 C 点
11、，观测灯塔 A 的方位角是 65，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？例 2.【2015 高考湖北，理 13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处A时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 的方向上，行驶 600m 后到达 处，测得此山顶在30 B西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度 m. 75 CD正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2c 2b 2 ac，则角 B 的值为3A. B. C. 或 D. 或6 3 6 56 3 232已知锐角ABC 的面积为 3 ，BC4，CA 3，则角 C 的大小为3A
12、75 B60 C45D303(2010上海高考)若ABC 的三个内角满足 sin Asin Bsin C51113，则ABCA一定是锐角三角形 B一定是直角三角形C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为A. B. C. D.518 34 32 785(2010湖南高考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若C120，c a，则 ( )2AabBabCabDa 与 b 大小不能确定二、填空题#*6ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边，已知 a ，b3，C30，则 A37(2
13、010山东高考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若a ，b2，sin Bcos B ，则角 A 的大小为_ 2 28已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且 AB1，BC 4，则边 BC 上的中线AD 的长为_三、解答题9ABC 中，内角 A、B 、C 的对边长分别为 a、b、c.若 a2c 22b，且 sin B4cos Asin C，求 b.10在ABC 中，已知 a2b 2c 2ab.（1）求角 C 的大小；（2）又若 sin Asin B ，判断ABC 的形状3411(2010浙江高考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为ABC的面积，且 S (a2b 2c 2)34（1）求角 C 的大小；（2）求 sin Asin B 的最大值12.【 2015 高考新课标 2，理 17】 （本题满分 12 分）中， 是 上的点， 平分 ， 面积是 面积的 2 倍ABCDADBCADC() 求 ；sin()若 ， ，求 和 的长12
