1、第二章 信号分析基础,信号的分类二 信号的描述信号的时域统计分析信号的幅值域分析 信号的频域描述(分析） 相关分析,一 信号的分类,非平稳随机信号,信号,确定性信号,随机信号（非确定性信号）,周期信号,非周期信号,平稳随机信号,简谐周期信号,复杂周期信号,瞬变冲击信号,准周期信号,各态历经随机信号,非各态历经随机信号,信号是信息的载体，是随时间变化的物理量数学上常用函数x(t)或序列x(n)表示 例如: x(t)=Asin(t),详解,详解,一 信号的分类,返回,随机信号（非确定性信号）,对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作， 如图 2-6 所示。在同一试验条件下，全
2、部样本函数的集合（总体）就是随机过程，计作， 即,值得注意的是: 随机信号的各种统计特征值（均值、方差、均方值和均方根值等）是按集合平均来计算的。 集合平均的计算不是沿某个样本的时间轴进行平均而是在集合中的某时刻对所有样本函数的观测值取平均。如图所示,如果稳随机信号的统计特征参数不随时间的改变而变化,的随机信号，称为平稳随机信号 在平稳随机信号中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，即,这样的平稳随机信号成为各态历经（遍历性）随机信号。,本课程对随机信号的讨论仅限于各态历经过程的范围。,（1）能量信号,（2-6）,把信号x（t）的平方x2（t）及其对时间的积分称为
3、信号的能量。如果 x（t）满足,则信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称为能量信号。如矩形脉冲信号、指数衰减信号等。,（2）功率信号,这种信号称为功率有限信号，或功率信号。,2能量信号与功率信号,（1）时限信号,时限信号是在时域有限区间（t1，t2）内定义，而其外恒等于零。,例如，矩形脉冲、三角脉冲、余弦脉冲等。,若信号发生在时域无穷区间内，则称其为时域无限信号。,例如周期信号、指数衰减信号、随机信号等都是时域无限信号。,（2）频限信号,频限信号是在频域内占据一定的带宽（f1，f2），而其外恒等于零。,例如：正弦信号、sinc(t)、限带白噪声等。,若信号在频域内的带宽延伸至无穷区间，
4、则称为频域无限信号。,注意：时间有限信号的频谱，在频率轴上可以延伸至无限远处；同理，一个有限带宽信号，也在时间轴上延伸至无限远处。一个信号不能够在时域和频域上都是有限的，可阐述为如下定理：一个严格的频限信号，不能同时是时限信号；反之亦然。,3时限信号与频限信号,（1）连续时间信号 在所讨论的时间间隔内，对任意时间值，除若干个第一类间断点外，都可给出确定的函数值，此类信号称为连续时间信号或模拟信号。,所谓第一类间断点，应满足条件：函数在间断点处左极限与右极限存在；左极限与右极限不等，间断点收敛于左极限与右极限函数值的中点，即,常见的正弦波、直流信号、阶跃信号、锯齿波、矩形脉冲、截断信号等都属连续
5、时间信号。,按信号函数表达式中的独立变量取值是连续的还是离散的，可将信号分为连续信号和离散信号。通常独立变量为时间，相应地对应连续时间信号和离散时间信号。,4连续时间信号与离散时间信号,（2-9）,（2-10）,所以称为离散时间信号又称为时域离散信号或时间序列。离散时间信号可分为两种情况：,离散时间信号是在所讨论的时间区间内，在特定的不连续的瞬时所给出函数值。 当我们间隔取值时，函数的图形是分离的：,时间离散而幅值连续时，称为采样信号；,时间离散而幅值量化时，则称为数字信号。,（2）离散时间信号,典型时间离散信号有:单位采样序列、阶跃序列、指数序列等,二 信号的描述,信号的描述有两种基本方法
6、1 时域描述 2 频域描述,所谓时域描述是把信号随时间变化的规律用数学表达式x=f(t) 、图形或表格表示，它的基本可视表现形式是时域波形图，反映信号的幅值随时间变化的特征。,图2-1 四个测试信号的波形,所谓频域描述，是通过对时域信号进行数学处理（即频谱分析），把时域信号转换成以频率为自变量的信号形式。这种形式的信号，反映了信号的频率组成及各频率成分的幅值大小和相位关系,三 信号的时域统计分析,（1）均值 均值Ex(t)表示集合平均值或数学期望值，用x表示。,均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。,三 信号的时域统计分析,称为均方根值，在电信号中均方根值又称有效值。,2均方值 信号
7、x(t)的均方值Ex2(t)，记为其表达式为,其实他表示了信号的平均功率，是信号强度的体现,三 信号的时域统计分析,3方差信号x(t)的方差定义为,称为均方差或标准差。,描述了信号的波动量，对应电信号中交流成分的功率；,， ， 有如下关系,四 信号的幅值域分析,x(t)值落在（x，x+x）区间内的概率,x(t)值落在（x，x+x）区间内的时间TX与样本函数的记录时间T的比值来表示,当T趋于无穷大时， 就是落在（x，x+x）区间内的概率,图2-17 概率密度函数的计算,1概率密度函数,四 信号的幅值域分析,信号的概率密度函数定义为,图2-18四种常见信号及其概率密度函数正弦信号 (b) 正弦信号
8、加随机噪声(c) 窄带随机噪声 (d) 宽带随机噪声,概率分布函数是瞬时值x(t)小于或等于某值x的概率，其定义为 （2-37） 概率分布函数又称累积概率，表示了函数值落在某一区间的概率，也可写成,信号的幅值域分析,2概率分布函数,周期信号及其频谱（P50）非周期信号及其频谱（P55） 随机信号的频谱 （P66）,五 信号的频域分析,周期信号及其频谱（P50）2.2.1傅立叶级数与周期信号的分解,傅里叶级数（三角展开式 和复指数展开式）,1,2,3,复指数形式的傅立叶级数的说明,复指数形式的傅立叶级数的说明,2.2.2 周期信号的频谱,频谱图：频谱图是在信号分析中，将组成信号的频率成分加以排列
9、，绘出的以频率为横坐标，以幅值和相位为纵坐标的图，分别称为：幅频谱（幅值谱）和相频谱,周期信号的频谱：量纲、离散性、谐波性、 收敛性、单边谱、双边谱,例2.1 周期性三角波的频谱,周期性三角波的傅立叶级数表示,例2.2 余弦、正弦信号的实频谱和虚频谱,（1）周期信号的频谱是离散的。（2）每条谱线只出现在基波频率的整倍数上， 基波频率是各高次谐波分量频率的公约数。（3）各频率分量的谱线高度表示该次谐波的 幅值和相位角。工程中常见的周期信号， 其谐波分量的幅值总的趋势是随谐波次 数的增高而减小。因此，在频谱分析中 没有必要取那些次数过高的谐波分量。,周期信号的频谱的特点：,离散性,谐波性,收敛性,
10、2.3 非周期信号及其频谱,2.3.1傅立叶变换与非周期信号的分解,傅立叶变换,傅立叶变换对,对比：,对于周期信号的复指数形式的傅立叶级数，x(t)以求和的形式给出，特别注意 cn 是复振幅，包含幅值和相位的信息；对于瞬变冲击信号的变换式是以积分形式给出的，X(f)df与 cn 等价。,X(f)是复谱密度函数, 同样包含了幅值和相位信息。式（2-70）还表明，非周期信号是由频率为f，幅值为X(f)df的谐波连续叠加而得，f 的变化范围是正负无穷，因此X(f)称为x(t)的连续频谱，实质上为频谱密度，量纲为幅值/Hz。,（2-70）,傅立叶变换对,对于周期信号的复指数形式的傅立叶级数，x(t)的
11、傅立叶变换存在的必要而且充分条件是： 1. x(t)满足狄里赫利条件 2. x(t)绝对可积 3. x(t)为能量有限信号,如果满足以上3个条件，则傅立叶变换对存在，X(f)就是非周期信号x(t)的频谱,非周期信号的其频谱,例2.4 求如图2-27（a）矩形脉冲信号x(t)的频谱密度，,已知,若,该式说明一信号的幅值扩大若干倍，其对应的频谱函数幅值也扩大若干倍；线性特性还表明了任意数量信号的线性叠加性质：若干信号的时域叠加对应它们频域内频谱的矢量叠加。该性质可将一些复杂信号的傅里叶变换简化为计算参与叠加的简单信号的傅里叶变换，使求解简化。,三、傅里叶变换的主要性质,1线性特性,所以,若,则信号
12、在时间上超前或延时形成的信号频谱和原频谱有如下关系,（2-79）,证明：由于,用 tt0 替代 t 可得：,证毕。,2时移性,时移性三点重要结论：,（1）时移后，信号的幅值谱不变，相位谱则与原来差2f t0（2）信号的幅值谱仅与信号的波形有关，而相位谱则取决于信号在时间轴上的具体位置；（3）幅值谱不变相位谱改变，意味着信号谱的虚部、实部发生改变。,3频移性,时域中的时移和频域中的相移相对应,那么频域中的频移会在时域中引起什么变化呢?经推导，有以下关系：,该式说明： 信号x(t)乘以复指数（复调制）后,其时域描述已大大改变,但其频谱的形状却无变化,只在频域作了一个位移。,若,4时间比例性（时间比
13、例展缩图解说明）,若,则,式中a为非零实数。,（2-81）,证明：,由于,令 = at,可得,证毕,时间比例性的重要意义,信号的持续时间与其占有的频带宽度成反比，信号在时间轴上缩小K倍，则频带将展开K倍，反之亦然，经时间比例展缩后，频谱的幅度也相应地展缩1/K。,应用情况,短时快速通讯脉冲宽频带激励,时间比例展缩的实现,可以通过改变记录和重放的速度实现,若,则,若x(t)是实函数,有何结果呢?,共轭性：,回忆一下复数(矢量)的计算规则:,所以,互易性 (或对称性),若,则,5. 卷积特性 (P76),卷积特性又称为卷积定理，用一句话概括： 时域卷积等效于频域作乘积 时域乘积等效于频域作卷积,2
14、.3.4 几种典型信号及其频谱,1(t)函数及其的频谱密度,单位冲激信号也可以利用规则信号（如对称矩形脉冲或三角脉冲信号等）“在保证面积不变的前提下使宽度取极限0”的逼近方法来定义，如图2-12（a）所示的一个矩形脉冲S(t)，其面积为1。当0时，S(t)的极限就称为函数，如图2-12（b）所示。函数也称为单位脉冲函数。,图2-12 矩形脉冲与函数,从极限的角度看,从面积（通常也称为函数的强度）的角度来看,单位冲击信号的“狄拉克（Dirac）定义法”为：,（1）(t)函数的定义,(a),(b),1(t)函数及其的频谱密度,（2）(t)函数的性质,抽样特性（筛选特性）,这就是单位冲激信号的“抽样
15、（筛选）特性” 。他把x(t)在冲激峰所在时刻的函数值给筛选出来了,卷积特性,卷积的结果，是函数x(t)在时间轴上的平移，只需将原点移到脉冲位置上进行波形重构，此即(t)函数的卷积特性,图2-28 函数及其频谱密度,其逆变换为,图2-28 函数及其频谱密度,将(t)进行傅里叶变换,1(t)函数及其的频谱密度 函数的频谱密度,2正、余弦函数的频谱密度,根据式（2-82），可以求得正、余弦函数的傅里叶变换如下（图2-29）,根据欧拉公式，正、余弦函数可以写为,由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，故不能直接用式（2-71） 对其进行傅里叶积分变换，而需要在傅里叶变换时引入函数。,3周期信号的频谱密度
16、,和正、余弦函数类似，严格说来周期信号不满足绝对可积条件，也需借助函数来求其频谱密度，具体步骤如下：,设x(t) 为周期信号，将其展开为傅里叶级数有,式中,再由式（2-82）求得x(t)的傅里叶变换为,例2-5 求均匀冲击序列的频谱密度,均匀冲击序列是周期为T0的单位冲击函数组成的无穷序列，如图2-30（a）所示，其数学表达式为,由于均匀冲击序列是周期函数，故可由式（2-85）写出其傅里叶变换为,如图2-30（b）所示，即时域均匀冲击序列的频谱对应强度和周期都为 f0的频域冲击序列(图c)。,式中,3 随机信号的频谱 （P66）,随机信号是按时间随机变化而不可预测的信号。工程实际中直接通过传感
17、器得到的信号大多数可视为随机信号，因此对随机信号进行研究具有更普遍的意义。,随机信号的频谱特征是什么？傅里叶变换能否用于研究随机信号？,对于随机信号x(t)来说，由于它的持续期为无限长，显然都不满足式（2-72）和式（2-73）的绝对可积与能量可积条件，因此，它的傅里叶变换不存在。,当对随机信号做某些限制后，可以将傅里叶变换方法应用于随机信号，最简单的一种方法是先对随机信号进行截断，再进行傅里叶变换，这种方法称为随机信号的有限傅里叶变换。,随机信号的有限傅里叶变换,对于任一随机信号 x(t) 如图,现任意截取其中长度为T（T为有限值）的一段信号，记为xT(t)，称作x(t)的截取信号，即,显然
18、，随机信号x(t)的截取信号xT(t)满足绝对可积条件，xT(t)的傅里叶变换存在，这种方法称为随机信号的有限傅里叶变换。其傅里叶变换对如下：,和,随机信号的平均功率,对于随机信号x(t)来说，由于它的持续期为无限长，显然都不满足式（2-72）和式（2-73）的绝对可积与能量可积条件，但是，随机信号的平均功率却是有限的，即有,随机信号x(t)在时间区间（-T/2，T/2）内的平均功率为,即,（2-90）,对式（2-90）两边取极限，便可得到随机信号的平均功率,令,则,由上式可看出Sx(f)描述了随机信号的平均功率在各个不同频率上的分布，称为随机信号x(t)的自功率谱密度函数，简称自谱密度。,S
19、x(f)量纲为EU2/Hz，EU为随机信号的工程单位。式（2-92）对应的估计式是,Sx(f)的特点：正的实偶函数！,式（2-92）中自谱密度是定义在所有频率域上，一般称作双边谱。在实际中，使用定义在非负频率上的谱更为方便，这种谱称为单边自功率谱密度函数，如图2-32，其定义为,图2-32 单边与双边自功率谱密度,用两个随机信号x(t)和y(t)的有限傅里叶变换来定义x(t)y(t)的互谱密度函数Sxy(f),近似计算式：,Sxy(f)为双边谱，其对应的单边谱定义如下,需要指出:互谱密度函数不象自谱密度函数那样具有功率的物理涵义，引入互谱这个概念是为了能在频率域描述两个平稳随机过程的相关性。,
20、二、两随机信号的互谱密度函数,互谱密度函数表示出了两信号之间的幅值和相位关系。在工程实际中常利用测定线性系统的输出与输入的互谱密度函数来识别系统的动态特性。,三、相干函数与频率响应函数,利用互谱密度函数可以定义相干函数xy2 (f)及系统的频率响应函数H(f)，即,相干函数（coherence function）又称凝聚函数，相干函数是谱相关分析的重要参数，特别是在系统辨识中相干函数可以判明输出y(t)与输入x(t)的关系。当xy2 (f)=0时，表明y(t)与x(t)不相干，即输出y(t)不是由输入x(t)引起；当xy2 (f)=1时，说明y(t)与x(t)完全相关；当0xy2 (f)1时，
21、有如下三种可能：（1）测试中有外界噪声干扰；（2）输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出；（3）联系x(t)和y(t)的系统是非线性的。,频率响应函数H(f)是由互谱与自谱的比值求得的。它是一个复矢量，保留了幅值大小与相位信息，描述了系统的频域特性。,对H(f)作逆傅里叶变换，即可求得系统时域特性的单位脉冲响应函数h(t)。,信号的相关分析（P69）,2.5.1 相关系数与相关函数,1相关系数,2.5.0 相关分析的概念,令,可解得,则误差功率等于零，两信号线性相关，波形相似,误差功率将等于信号的功率，两信号完全不相关,所以,而 称为相关系数,互相关函数定义为：,此时的自相关有,设 和
22、 均为实功率信号，则它们的互相关函数定义为： （2.119）,（2） 相关函数,它们的自相关函数定（2.120）,（2.116）,（2.115）,（2.117）,二、相关函数的性质,1自相关函数是的偶函数，即,2互相关函数为非奇非偶函数，但满足下式,3自相关函数在 = 0 时为最大值，并等于该信号的总能量或信号的均方值。,4周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。,5两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，但保留了原信号的相位差信息。,6两个非同频的周期信号互不相关。,7随机信号的自相关函数将随 值增大而很快衰减至零 。,例2.6,例2-6求正弦信号 的自相
23、关函数。,解：该正弦信号为一周期信号，周期,结果分析：,例2.7,设有两个周期信号x(t)和y(t),试求其互相关函数Rxy()。,解：因为两信号是同频率的周期函数，其周期为,结果分析：,例2.8,若两个周期信号 和 的圆频率不等,试求其互相关函数。,解：因为两信号的圆频率不等（12），不具有共同的周期，因此按式（2-119）计算,由此可见，两个非同频率的周期信号是不相关的。,相关函数的这些性质，使它在工程应用中有重要的价值。在噪声背景下提取有用信息的一个非常有效的方法叫做相关滤波，它是利用互相关函数同频相关、不同频不相关的性质来达到滤波效果的。互相关技术还广泛地应用于各种测试中，如工程中应用
24、互相关技术通过两个间隔一定距离的传感器来不接触地测量运动物体的速度。,2.5.3 随机信号的相关函数与其频谱的关系,对于平稳随机信号，自相关函数Rx()是时域描述的重要统计特征，而功率谱密度函数Sx(f)则是频域描述的重要统计特征，可以证明Rx()与Sx(f)有着密切的关系,证明：,相关函数的应用,1利用自相关识别信号的周期成分2利用自相关识别信号类型3相关测速4利用相关分析实现故障诊断,相关测速,返回,利用相关诊断故障举例,返回,泄漏源在距离中心线S/2处位置在靠近信号x(t)通道侧,图2-33是四种典型信号的自相关函数，稍加对比就可以看到自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段，只要信
25、号中含有周期成分，其自相关函数在很大时都不衰减，并具有明显的周期性。不包含周期成分的随机信号，当稍大时其自相关函数就将趋于零。宽带随机噪声的自相关函数很快衰减到零，窄带随机噪声的自相关函数则有较慢的衰减特性。,四种典型信号的自相关函数,返回,付氏级数展开式形式说明,构造一个三角形如下图,返回,返回,t,时间变量增加,信号波形左移意味着信号的超前,反之时间变量减小,信号波形右移,意味着信号的延后,信号时移说明,x(t),时间坐标扩展说明,x（kt0 ）,x(kt),返回,(t-t0),返回,(t-t0),返回,x(t)(t-t0)= x( t 0 ),y1( t ),y2( t ),返回,返回,
26、根据欧拉（Euler）公式，有：,因此，式（2-39）可改写为,令,则：,返回,所以,此既是傅里叶级数的复指数函数形式，式中：,合并表示可得：,返回,例2-1求如图2-20 所示周期性三角波的傅里叶级数表示,x(t)的一个周期可表示为,常值分量：,余弦分量的幅值：,正弦分量的幅值：,返回,非周期信号的傅里叶表示的基本思想，是将一个非周期信号视为一个周期充分大的周期信号的极限情况，并考虑在该情况下非周期信号的傅里叶级数表示。对于一个时域有限信号x(t)，可构造一个周期信号：,如图2-25所示，,一、傅里叶变换与非周期信号的分解,（2-61）,（2-62）,式中,当T时 ?,当T时， x(t)，d
27、，n0，,（2-68）,（2-69）,返回,卷积（Convolution）是一种运算方法，它不仅是分析线性系统的重要工具，而且在计算离散傅里叶变换，导出许多重要的有关信号和系统的性质以及数字滤波等方面也经常采用。 函数x(t)与h(t)的卷积定义为：,或,（2-132）,（2-133）,一、时域卷积定理,如果,则,证明,二、频域卷积定理,如果,则,此称之为频域卷积定理，它说明两时间函数的频谱的卷积等于时域两函数乘积的傅里叶变换，即在时域中两信号的乘积，等效于在频域中频谱的卷积。,返回,例 求矩形窗的频谱密度,例2-4 求如图2-27（a）矩形脉冲信号x(t)的频谱密度，已知,解：根据式（2-71），信号的傅里叶变换为,我们定义一个特殊函数,函数,sinc（t）函数又称为闸门函数、滤波函数或内插函数，绘出其波形图如下,所以，矩形脉冲的频谱密度函数和复值谱密度函数如下：,该矩形脉冲信号的频谱密度如图2-27（b）所示，它是一个sinc（t）型函数，并且是连续谱，包含了无穷多个频率成分。,返回,在 f = n/2T1 处幅值谱密度为零，与此相应，相位出现转折，这表明了幅值谱密度与相位谱密度之间的内在关系。,矩形脉冲信号的频谱密度如图2-27,
