1、第二章信号分析与信息论基础,2.1确知信号分析2.2随机信号分析2.3信息及信息的度量2.4信道统计特性,本章教学内容及要求,信号通过系统的过程。确定信号的时域和频域分析。傅立叶变换关系式，傅立叶变换的主要运算特性，常用信号的付立叶变换。卷积定义式，时域卷积定理，频域卷积定理。 信号的能量和能量谱密度；信号的功率和功率谱密度。信号的表达方法，信号通过线性系统传输后的变化及表达。信息及信息量、信道模型、随参信道传输媒质的特点、信道容量计算。,2.1确知信号分析,信号是通过电的某一物理量（如电压或电流）表示出的与时间t之间的函数关系。确知信号：能用函数表达式准确表示出来的信号。它与时间的关系是确知
2、的。随机信号：与上述相反。通信中传输的信号及噪声都是随机信号。2.1.1周期信号与非周期信号周期信号：满足条件 s(t)=s(t+T0) -t，T00 非周期信号：不满足上述条件。功率信号：信号在（0，T）内的平均功率S(式2-2)值为一定值。能量信号：当T 时，式(2-3)是绝对可积的。,2.1.2 信号的傅里叶变换傅里叶变换： 式(2-7)傅里叶反变换： 式(2-6)式（2-8）是傅里叶变换的指数形式，傅里叶变换是一个连续函数，称为频谱密度函数，简称频谱函数。 典型的连续时间信号：1.Sa(t)信号（抽样信号）：Sa(t)=sin(t)/t 波形特点：偶函数；零值点（n ）；(0 )的积分
3、为/22.单位阶跃信号：U(t)=0 (t0); 3.单位冲激信号：例：（1）阶跃信号构成矩形脉冲信号：g(t)=u(t)-u(t-t0)（2）阶跃信号构成符号函数： Sgn(t)=2u(t)-1,常用信号的傅里叶变换：矩形函数（图2-1）的傅里叶变换见式（2-9），其频谱函数见图（2-2）。冲激函数的傅里叶变换。余弦函数的傅里叶变换。傅里叶变换的性质：时移特性：频移特性：时域卷积与频域卷积时域卷积： f1(t)*f2(t)=F1() F2()频域卷积： f1(t) f2(t)=(1/2 ) F1()*F2(),例：已知f(t)=F()求f(t)COS 0 t=?解： COS 0 t= (-
4、0)+ (+0) 冲激强度为，根据卷积定理： f(t)COS 0 t =（1/2 )F()* (- 0)+ (+0) =(1/2) F(- 0)+ F(+0) 2.1.3 信号通过线性系统线性系统：输出信号与输入信号满足线性关系（允许有延迟）。 f0(t)=Kfi(t-td) （2-13）该系统传递函数：H() = 式（2-14） 线性不失真系统的幅频特性|H()|是与无关的常数，相频特性则是的线性函数。,2.2随机信号分析,2.2.1 高斯平稳随机过程1、随机过程的一般概念 通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。这种过程的基本特征是，它是时间t的函数，但在任一时刻观
5、察到的值却是不确定的，是一个随机变量。2、随机过程的定义定义：随机过程是依赖于时间参量t变化的随机变量的总体或集合；也可以叫做样本函数的总体或集合。习惯用(t)表示。3 、随机过程的统计特性的描述 设(t)表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1上，(t1)是一个随机变量。显然，这个随机变量的统计特性，可以用概率分布函数或概率密度函数去描述。,4、随机过程的数字特征 随机过程的数字特性，比如，随机过程的数学期望、方差及相关函数等。1）数学期望 随机过程(t)的数学期望被定义为,可把t1直接写成t。随机过程的数学期望被认为是时间t的函数。,数学期望的物理意义：信号或噪声的直流功率。2）方差 随机过
6、程的方差定义为,方差的物理意义：信号或噪声交流功率。,3）自相关函数 5、 平稳随机过程 狭义平稳概念：所谓平稳随机过程，是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，如果对于任意的n和，随机过程(t)的n维概率密度函数满足： 则称(t)是平稳随机过程。6、广义平稳过程广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。,用途：a 、用来判断广义平稳；b、用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。,通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。7、自相关函数 我们已经知道
7、，平稳随机过程的自相关函数和时间t无关，而只与时间间隔有关，即： R()E(t)(t+) 自相关函数的性质：1）R(0)为(t)的均方值(平均功率)。自相关函数在=0处的数值等于该过程的平均功率( 包括直流功率和交流功率)。2）对偶性 R()R() 即自相关函数是的偶函数。,证明：3）当0时,自相关函数取最大值，即R(0) R()4）5)8、功率谱密度： 付氏变换沟通了确定信号时域和频域的关系，那么为什么随机过程在频率域中要讨论功率谱密度，而不讨论付氏变换呢？主要原因有二。1)、对于随机过程来说，它由许许多多个样本函数来构成, 所以我们无法求其付氏变换，可以说,随机过程不存在付氏变换。,2)、
8、随机过程属于功率信号而不属于能量信号，所以我们讨论功率谱密度。 对于任意的功率信号f(t)的功率谱为：9、高斯分布概率密度函数由f(x)的表达式可画出图形9、高斯分布和高斯过程 高斯分布这个概念在通信中是经常出现的。而在一般情况下，噪声都可以认为具有高斯分布的形式。由信息论的观点来说，如果是连续信源，当信号的功率一定时，信号幅度的概率密度函数服从高斯分布时，载,荷的信息量最大，即有效性最好；另一方面，如果是起伏噪声，当噪声功率一定时，幅度呈现高斯分布的噪声对通信系统的影响也最为恶劣。因此，在系统设计中，常以高斯噪声为着眼点来考虑信噪比、带宽等问题。因此，高斯分布是通信系统的统计分析中最常见、最
9、重要的一种分布。高斯过程定义：通俗地讲，在任意时刻t去观察随机过程，若其随机变量的概率分布都满足高斯分布,这个随机过程就是高斯过程。2.2.2 窄带高斯噪声任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程。,窄带条件：中心频率为 0，带宽为f，当 0时，就可认为满足窄带条件。若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。（图2-7）（图2-8）窄带过程的数学表示1
10、、用包络和相位的变化表示 由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在0附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为0且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。所以可以表示成：,2.3.1 通信系统的统计模型（图2-12）信源：通信的起点。输出消息（包括文字、符号、声音、图像、数据等）。信源编码器：将消息变为信号（提高信号传输效率）。信道编码器：信号处理的设备（提高信号传输的的可靠性）。干扰源：即噪声源。2.3.2 信息的定义 从统计学的信息指的是消息中包含的不确定性。2.3.3 信息的度量 信息的度量，与信息发生的概率成反比。如
11、果一个事件发生的概率是1，这是一个必然事件，那么它的信息量就是0。离散信源信息量 I=loga(1/P(x)=-loga(P(x) (2-58),2.3信息及信息的度量,P(x)为事件发生的概率，若a=2，信息量单位为比特（bit）;若a=e，信息量单位为奈特（nit）;若a=10，信息量单位为哈特莱。式（2-59）求信息量总和 例2-1、例2-2、例2-3。2.3.4 离散信源的平均信息量如离散信息信号序列发生的概率如下所示。 符号xi x1 x2 xn 符号发生概率P(xi) P(x1) P(x2) P(xn)这样每个符号的平均信息量（也称为熵）为H（x）,可以证明，当每个符号等概率出现时
12、，平均信息量最大。 式（2-62） 例2-4。2.3.5 连续信源的平均信息量当连续信源出现的概率密度为f(x)时，连续信源的平均信息量为即为连续信源的熵，又称为相对熵。例2-5。,2.4.1 离散信道的信道容量信道容量：信道在理想状态下（无差错传输或差错率等于零）的最大传信速率，通常用C表示。条件熵定义（2-67）（2-68）互信息量定义（2-69）（2-70）无损信道：H（x/y)=0, I(x,y)=H(x)=H(y)全损信道：H（x/y)=H(x) Rt=RBH(x)-H(x/y)=Ht(x)-Ht(x/y) (bit/s) (2-71)实际信息传输速率Rt的最大值记为C，即C=max
13、Rt=maxHt(x)-Ht(x/y) (2-72)例2-6、2-7。,2.4信道统计特性,2.4.2连续信道的信道容量香农信道容量公式： C=B log2(1+s/(n0 B) (bit/s) (2-78)式中，B为信道带宽（Hz)，S为信号功率（W），n0为噪声单边功率谱密度（W/Hz)，N=n0B为噪声功率（W）。上式成立的条件是：信号为高斯分布（此时信息熵最大），噪声为高斯白噪声。香农信道容量公式告诉我们以下重要结论：C随S/N增大而增大；当n0 0时C ，即无干扰信道的信道容量为无穷大；C随着B的增大而增大，但不能无限增大，即当B 时，C 1.44(S/n0)C一定时，B与S/N可以互换；,若信源信息速率Rb C，则理论上可以实现无差错传输。若Rb C ，则不可能实现无差错传输。信道容积Vc的概念 信号体积Vs 信道容积Vc时才能实现通信,
