1、,5.2 一阶微分方程（80）,3,5.2.1 变量可分离的微分方程,形如 的微分方程成为变量可分离的微分方程.,解法,分离变量法,5.2 一阶微分方程（80）,4,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,5.2 一阶微分方程（80）,5,通解为,解,5.2 一阶微分方程（80）,6,例 3,求解微分方程：,解,两端作不定积分，得,所求解为：,5.2 一阶微分方程（80）,7,解,由题设条件,衰变规律,衰变速度,（衰变系数）,5.2 一阶微分方程（80）,8,解,设鼓风机开动后 分后 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,车间内 的改变量为,5.2 一阶微分方程（80）,9,答：6分钟后,
2、 车间内 的百分比降低到,5.2 一阶微分方程（80）,10,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-隐式通解.,5.2.5 小结与思考题1,5.2 一阶微分方程（80）,11,思考题,求解微分方程,5.2 一阶微分方程（80）,12,思考题解答,为所求解.,5.2 一阶微分方程（80）,13,课堂练习题,5.2 一阶微分方程（80）,14,课堂练习题答案,5.2 一阶微分方程（80）,15,5.2.2 齐次微分方程,形如 的方程称为齐次微分方程.,解法,作变量代换,代入原式，得,变量可分离方程,5.2 一阶微分方程（80）,16,方程的奇解,5.2 一阶微分方程（80）,17,例 6
3、 求解微分方程：,微分方程的解为,解,5.2 一阶微分方程（80）,18,例 7 求解微分方程,解,5.2 一阶微分方程（80）,19,微分方程的解为,5.2 一阶微分方程（80）,20,例 8 抛物线的光学性质,实例: 车灯的反射镜面-旋转抛物面,解,(如图),5.2 一阶微分方程（80）,21,所以由夹角正,切公式得：,5.2 一阶微分方程（80）,22,从而得微分方程：,5.2 一阶微分方程（80）,23,分离变量,积分得,5.2 一阶微分方程（80）,24,平方化简得,抛物线,5.2 一阶微分方程（80）,25,称为可化为齐次方程的微分方程.,（其中h和k是待定的常数）,解法,1、可化
4、为齐次的微分方程,形如 的微分方程,5.2 一阶微分方程（80）,26,有唯一一组解.,得通解代回,上述方法不能用.,5.2 一阶微分方程（80）,27,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,可分离变量.,否则,5.2 一阶微分方程（80）,28,解,代入原方程得,5.2 一阶微分方程（80）,29,分离变量法得,得原方程的通解,方程变为,5.2 一阶微分方程（80）,30,2、利用变量代换求解微分方程,解,代入原方程,原方程的通解为,5.2 一阶微分方程（80）,31,5.2.5 小结与思考题2,齐次方程,齐次方程的解法,可化为齐次方程的方程,5.2 一阶微分方程（80）,32,思
5、考题,方程,是否为齐次方程?,5.2 一阶微分方程（80）,33,思考题解答,方程两边同时对 求导:,原方程是齐次方程.,5.2 一阶微分方程（80）,34,课堂练习题,5.2 一阶微分方程（80）,35,课堂练习题答案,5.2 一阶微分方程（80）,36,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的，,上方程称为非齐次的.,5.2.3 一阶线性微分方程,例如,线性的;,非线性的.,5.2 一阶微分方程（80）,37,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法:,分离变量并积分：,5.2 一阶微分方程（80）,38,2. 线性非齐次方程,讨论：,两边积分,令,5.2 一阶微
6、分方程（80）,39,即，常数变易法：,把齐次方程通解中的常数易为函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:,5.2 一阶微分方程（80）,40,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,5.2 一阶微分方程（80）,41,解,例11,5.2 一阶微分方程（80）,42,例12 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,5.2 一阶微分方程（80）,43,所求曲线为,5.2 一阶微分方程（80）,44,伯努利(Bernoull
7、i)方程的标准形式,方程为线性微分方程,方程为非线性微分方程.,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,1、可化为一阶线性的微分方程：伯努利方程,5.2 一阶微分方程（80）,45,求出通解后，将 代入即得,代入上式,令,5.2 一阶微分方程（80）,46,解,例 13,5.2 一阶微分方程（80）,47,2、 用适当的变量代换求解微分方程,解1,所求通解为,5.2 一阶微分方程（80）,48,解2,所求通解为,5.2 一阶微分方程（80）,49,解1,代入原式,分离变量法求解得,所求通解为,解2,5.2 一阶微分方程（80）,50,解,分离变量法求解得：,所求通解为,5.2 一阶微分方程（
8、80）,51,5.2.5 小结与思考题3,1.一阶线性非齐次方程,2.伯努利方程,5.2 一阶微分方程（80）,52,思考题,求微分方程 的通解.,5.2 一阶微分方程（80）,53,思考题解答,5.2 一阶微分方程（80）,54,课堂练习题,5.2 一阶微分方程（80）,55,5.2 一阶微分方程（80）,56,课堂练习题答案,5.2 一阶微分方程（80）,57,5.2.4 一阶微分方程,前面主要讨论了显式形式,一阶微分方程的一般形式,的求解问题，这里介绍两类特殊情形：,5.2 一阶微分方程（80）,58,引入参量 p , 即令,1、情形：,方程化为,两边对 x 求导，得,对此方程求解即可.
9、,5.2 一阶微分方程（80）,59,解,从微分方程中解出 y , 得,令 ，则,例17,两边对 x 求导, 得变量可分离方程,5.2 一阶微分方程（80）,60,分离变量并积分, 得,于是,原方程的通解可由下面参数方程表示：,5.2 一阶微分方程（80）,61,解,从微分方程中解出 y , 得,令 ，则,例18,两边对 x 求导, 得变量可分离方程,5.2 一阶微分方程（80）,62,分离变量并积分, 得,于是,原方程的通解可由下面参数方程表示：,5.2 一阶微分方程（80）,63,引入参量 p , 即令,2、情形：,方程化为,两边对 y 求导，得,对此方程求解即可.,5.2 一阶微分方程（
10、80）,64,解,微分方程的参数表达形式为,例19,微分上式第一函数, 得,将此结果代入第二个函数, 得,5.2 一阶微分方程（80）,65,于是, 上式两边积分，得,因此, 方程的通解可表为：,5.2 一阶微分方程（80）,66,解,令 ，则,例20,两边对 y 求导, 得,积分得,通解为：,5.2 一阶微分方程（80）,67,3、全微分方程或恰当方程,则微分方程,若有全微分形式,称为全微分方程或恰当方程. 其通解为,全微分方程或恰当方程,5.2 一阶微分方程（80）,68,例如,所以，此方程是全微分方程.,5.2 一阶微分方程（80）,69,解法:,应用曲线积分与路径无关：,通解：, 用直
11、接凑全微分的方法.,全微分方程,5.2 一阶微分方程（80）,70,解,是全微分方程,原方程的通解为,例21,5.2 一阶微分方程（80）,71,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例22,5.2 一阶微分方程（80）,72,解,将方程左端重新组合,有,例23 求微分方程,原方程的通解为,5.2 一阶微分方程（80）,73,解1,整理得,A 常数变易法:,B 公式法:,例24,5.2 一阶微分方程（80）,74,解2,整理得,A 曲线积分法:,B 凑微分法:,5.2 一阶微分方程（80）,75,C 不定积分法:,原方程的通解为,5.2 一阶微分方程（80）,76,5.2.5 小结与思考题4,5.2 一阶微分方程（80）,77,思考题,.,利用曲线积分法求解全微分方程,5.2 一阶微分方程（80）,78,故方程的通解为,思考题解答,5.2 一阶微分方程（80）,79,课堂练习题,5.2 一阶微分方程（80）,80,课堂练习题答案,
