1、-_毕 业 论 文题 目 黎曼积分与勒贝格积分的比较 学 院 * 姓 名 * 专 业 班 级 * 学 号 * 指 导 教 师 提 交 日 期 -_原 创 性 声 明本 人 郑 重 声 明 ： 本 人 所 呈 交 的 论 文 是 在 指 导 教 师 的 指 导 下独 立 进 行 研 究 所 取 得 的 成 果 .学 位 论 文 中 凡 是 引 用 他 人 已 经发 表 或 未 经 发 表 的 成 果 、 数 据 、 观 点 等 均 已 明 确 注 明 出 处 .除文 中 已 经 注 明 引 用 的 内 容 外 ， 不 包 含 任 何 其 他 个 人 或 集 体 已 经发 表 或 撰 写 过 的
2、科 研 成 果 .本 声 明 的 法 律 责 任 由 本 人 承 担 .论文作者签名：年 月 日论文指导教师签名：年 月 日-_黎曼积分与勒贝格积分的比较摘 要 本文介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念，通过对两类积分的基本性质，可积条件,结合相关定理，分析了勒贝格积分在积分与极限交换次序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处，并结合具体实例，具体说明了黎曼积分和勒贝格积分之间的联系与区别. 关键字 黎曼积分； 勒贝格积分；比较；可测函数；可积函数.-_目录引言 .11 定义 .11.1 黎曼积分的定义 .11.2 勒贝格积分的定义 .22 黎曼积分与勒贝格积分的基本性质 .22.1 黎曼积分的基本性
3、质 .22.2 勒贝格积分的基本性质 .33 黎曼可积与勒贝格可积的条件 .43.1 黎曼可积的条件 .43.2 勒贝格可积的条件 .54 相关定理 .54.1 与勒贝格积分有关的定理 .54.2 与黎曼积分有关的定理 .65 黎曼积分与勒贝格积分的联系 .66 黎曼积分与勒贝格积分的区别 .87 实例 .10总结 .11参考文献 .12致谢 .13-_黎曼积分与勒贝格积分的比较引言勒贝格积分相对于黎曼积分要迟发展了半个世纪.我们知道，黎曼积分在求积、物体质心、矩量等问题中起着重要作用.黎曼可积函数主要是连续函数或者不连续点不太多的函数，就从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序，重积分
4、交换次序，牛顿-莱布尼茨公式等来看，在黎曼积分情形所加条件，没有勒贝格积分情形那样方便.而用勒贝格积分处理这一类问题是相当灵活的.事实上，如果不用勒贝格测度概念，数学分析中的一些道理很难讲清楚.下面就具体比较一下勒贝格积分和黎曼积分的不同处理方法.1 定义1.1 黎曼积分的定义设 在 上有定义fx,ab1） 作划分.在 上添加 个分点得到 ，将 分成1n012:=nTaxxb ,a个小区间 ， 记小区间的长度为 .n1,ix,2.i 1ii2） 取近似.任取点 ，用底为 ，高为 的矩形面积近似代替小的曲1iixixif边梯形的面积.3） 求和.这些小矩形面积之和为 .1niifx4） 取极限.
5、令 ，当 时，极限1maxiin001linifx存在.则称 在 上黎曼可积，且有fx,ab01limnbiafxdfx-_1.2 勒贝格积分的定义设 是有界可测集 上的可测函数fxE1） (简单函数的积分) 设 上简单函数 ，其中 等为互1knekxyxkkeEy不相交的可测集， 等互异， 表示 的特征函数.和 为简单函数kykek1nkym在 上的积分，并记为xE1nkExdmye2） (非负可测函数的积分) 取简单函数满足 ，另 变动，定0xfEx义 在 上积分为fx0supEEffxdmxd如果此量为有限，则称 在 上可积，否则只说 在 上积分为 （这时fxE在 上有积分但不可积）.f
6、x3) （一般可测函数的积分）对于一般可测函数 ，当 与 不同fxEfxdmEfxd时为 时，定义 在 上的积分为fxEEEfdmfxdfx当此式右端两项均为有限项时， 的积分是有限的，称 在 上可积.fE2 黎曼积分与勒贝格积分的基本性质2.1 黎曼积分的基本性质性质 1 若 在 上黎曼可积， 为常数，则 在 上黎曼可积，且f,abkkf,ab.baakfxdfxd性质 2 若 ， 都在 上黎曼可积，则 在 上也黎曼可积，且fg, fg,.bbbaaafxgxxd-_性质 3 若 ， 都在 上黎曼可积，则 在 上也黎曼可积.fg,abfg,ab性质 4 在 上黎曼可积的充要条件是:任给 ，
7、在 与, cf,ac,b都黎曼可积，且有等式.bcbaacfxdfxfxd性质 5 设 为 上的黎曼可积函数.若 ， ，则f, 0,ab.0bafx性质 6 若 在 上黎曼可积，则 在 上也黎曼可积，且f, fx,.bbaafxdd2.2 勒贝格积分的基本性质性质 1 设 是有界可测集 上的可积函数， ， 等均可测且两两不fxE1nkE相交，则有.12 nEEEEfxdmfxfxdmfxd性质 2 设 在有界可测集 上可积，则对任意正数 ，有正数 ，使当时就有me.efxdm性质 3 设 是有界可测集 上的可积函数， ， 等均可测且两两不fxE1nkE相交，则.12nEEEfdmffdfdm
8、性质 4 设 在 上可积，则对任何实数 ， 也可积，且xcx.EEcfxf性质 5 设在 ， 上均可积,则 也可积，且fgg.EEfdmfd-_性质 6 设在 ， 上均可积,且 ，则fgEfxg.Efdm3 黎曼可积与勒贝格可积的条件3.1 黎曼可积的条件充分条件：1、若 为定义在 上的连续函数，则 在 上黎曼可积.fx,abfx,ab2、若 为定义在 上的只有有限个间断点的有界函数，则 在 上黎fx,ab曼可积.3、若 为定义在 上的单调函数，则 在 上黎曼可积.fx,abfx,ab4、若 为定义在 上的有界函数，是 的间断点，且 ，lim,ncab则 在 上黎曼可积.fx,充要条件：设 在
9、 上有界f,ab1、 在 上黎曼可积的充要条件是： 在 上的黎曼上积分等于黎xfx,ab曼下积分.即设 为对 的任意分割.由 在 上有界，它在每个|1,2iTn ,abf,上存在上、下确界：ix，supiixMfinf,12,.xmin作和， ，1niiST1niisTx则有.bbaadxsx2、 在 上黎曼可积的充要条件是：任给 ，总存在相应的一个分割 ，fx, 0T使得-_.STs3、 在 上黎曼可积的充要条件是：任给 ，总存在相应的某一分割 ，fx,ab 0T使得iTx（其中 ，称为 在 上的振幅）.iiiMmfi必要条件：若函数 在 上黎曼可积，则 在 上必定有界.x,abfx,ab3
10、.2 勒贝格可积的条件充分条件：1、 若 是有界可测集 上的非负可测函数，则 在 上勒贝格可积.fxEfxE2、若可测函数 ， 在可测集 上几乎处处满足 ，则当 可fgx 0gfxf积时， 也可积.g3、设 为定义在有限区间上的函数，若黎曼可积，则必然勒贝格可积.fx充要条件：1、设 是可测集 上的有界函数，则 在 上勒贝格可积的充要条件是：fEfxE在 上勒贝格可测.x2、设 是可测集 上的连续函数，则 在 上勒贝格可积的充要条件是：f fx在 上勒贝格可测.xE4 相关定理4.1 与勒贝格积分有关的定理1、 （唯一性定理）设 在可测集 上勒贝格可积，则 的fxE0Efdm充要条件是 .0f
11、:2、 （勒维定理）设可测集 上可测函数列 满足下面的条件：nfx，12;fxf lim-_则 的积分序列收敛于 的积分： nfxfx.limnEdfxd3、 （法杜定理）设 是可测集 上的非负可测函数列，则nfx.lilinnEEffx4、 （控制收敛定理）设可测集 上可测函数列 满足下面的条件： 的极nfx限存在， ，且有可积函数 使limnfxfgx，nx;EnN则 可积，且有fx.limnEEfxdfxd4.2 与黎曼积分有关的定理1（连续性）若函数列 在区间 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数nfxI在 上也连续.fxI2（可积性）若函数列 在 上一致收敛，且每一项都连续，则nfx,ab.limlibbnaadfxd3（可微性）设 为定义在 上的函数列，若 为 的收敛点，nfx, 0,abnfx的每一项在 上有连续的导数，且 在 上一致收敛，则nfx,bnfx.lilinnddfx5 黎曼积分与勒贝格积分的联系1、对于定义在 上的函数 ，若它是黎曼可积的，则必然是勒贝格可积的，且,abfx, babaLdRfxd由此可知，通常在计算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解.下面先看一个例子.
