1、电磁场与微波技术,任伟赵家升版权为杭州电子科技大学波科学实验室所有2005,第一章时变电磁场基础,绪论电磁学发展简史Hans Christian Oersted(1777-1851)发现通电导线周围存在磁场。Andre Ampere(1775-1836)发现两根带电导线之间有力的相互作用。Jean Baptiste Biot(1774-1862) and Felex Savart(1791-1841)建立计算两电流源之间作用力的方程。Benjamin Franklin(1706-1790)and JosephPriestly(1733-1804)提出静电学中的平方反比律的假设。,Coulomb
2、(in1785)用实验证明了两静电荷之间的作用力符合平方反比律。Alesandro Volta (1745-1827)研究不同金属之间的相互作用，发明了第一个电池(1800)。Karl Friedrich Gauss(1777-1855)发现了关于电荷的散度定理（即高斯定理）,Michael Faraday(1791-1867)在1831年发现时变磁场产生电场。JosephHerry 有相同的发现。James Clerk Maxwell(1831-1879)创立了电磁现象的数学模型（麦克斯韦方程组），称之为经典电动力学。“电磁学通论”（1873)。这两位分别在实践和理论上取得巨大突破，为现代电
3、磁学的建立做出了杰出的贡献！,Heinrich Rudolph Hertz(1857-1894)在1886年用实验证明了无线电磁波中电与磁是相互联系的,在他关于电动力学的学术论文中他用电场强度代替所有的电位,用这种方法可以从Maxwell方程组中推倒出欧姆定律，基尔霍夫定律和库仑定律。Guglielmo Marconi(无线电之父）1901年完成从英国的Poldhu到加拿大的New-Foundland的跨越大西洋的无线电传播。,1.1 矢量代数1.1.1 矢量代数(1)矢量加法矢量之间可以进行加法（或减法）运算。两矢量相加（或相减）是一个矢量。即:且矢量相加服从加法的交换律和结合律。即:,(2
4、).矢量与标量之间可以进行乘法（或除法）运算。矢量A乘以标量s得矢量B。即:矢量B的大小变为矢量A的大小的s倍，其方向则与s的正负有关。若s0，则B与A同向；若s0，则表明该点有发出场矢量线的正通量源；若divA0则表明该点有汇聚场矢量线的负通量源；若divA=0，则表明该点无源。 (c) 矢量场的散度是一个标量场。,在直角坐标系中：或,在圆柱坐标系中在球坐标系中,（3） 散度定理若矢量场A在闭合面s所限定的体积V的区域内是连续可微的，则散度的定义可延伸到整个体积，最终导出散度定理，表示为 ：,例题1：求矢量场 在空间一点 处的散度。解：例2：设矢量 ，式中 ，求在 处的解：式中,则,1.1.
5、5 线积分与矢量的旋度 （1）线积分在力场F中，沿任意曲线c将一物体从点a移动到点b时，F要做功，如图1.1.14所示，所示 。在曲线上某点P处，有：它表示力F使物体在径向移动距离所作的功。当 为无限小时 ，力 F使物体从点a移动到点b所作的总功即为：上式即称为线积分。若曲线c是闭合曲线，则变为闭合曲线积分，表示为 ：,a,(2)矢量的旋度矢量场F沿有向闭合路径的线积分，定义为该矢量沿此有向闭合曲线的环量，表示为：在矢量场F中的某一点M作一个面积元，取此面积元的正法线方向为n，它与的周界线c的绕行方向成右手螺旋关系，如图1.1.15所示。,c,M,n,保持n的方向不变，使面积元 以任意方式缩向
6、点M，取极限此极限称为矢量场F在点处沿n方向的环量密度。从此定义看出。环量密度是一个标量函数，其数值与点M的坐标有关，还与面积元 的正法线方向n有关。,此定义表明，矢量场F中某点沿给定方向的环量密度，就等于rotF在该点沿给定方向上的投影。这与标量场中的梯度与方向导数的关系相似，标量场在某方向的方向导数，就等于梯度在该方向的投影。,矢量的旋度定义与选取的坐标系无关，但在进行旋度计算时通常要选取适当的坐标系。在直角坐标系中，旋度的表示式为 ：引入矢量微分算符，上式可写成 ：,为便于记忆，将上式写成行列式形式在圆柱坐标系中在球坐标系中,(3)斯托克斯定理从矢量的旋度定义出导出一个重要的关系式，称为
7、斯托克斯定理，表示为:其意义是：任意矢量场F的旋度沿场中任一个以c为周界的非闭合曲面s的面积分，等于矢量场F沿此周界的闭合线积分。,(4)旋度与散度的区别比较矢量的旋度和散度的定义及在常用坐标系中的表示式可看出，旋度和散度有以下不同： (a)一个矢量场的旋度是一个矢量场，而一个矢量场的散度是一个标量场。(b)旋度所表示的是矢量场中各点的场量与漩涡源的关系，而散度所表示的是矢量场中各点的场量与通量源的关系。(c)旋度所描述的是矢量场的各个分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律，而散度所描述的是矢量的各个分量沿着各自方向上的变化规律。,例题: 已知矢量场A的表示式为:试求：(a) 矢量A沿圆周 的闭
8、合线积分；(b) 对该圆面积的积分。解: (a) 应用图14所示的关系，得:故上式变为,(b)本题的结论验证了斯托克斯定理。,例题: 已知矢量求: 和解：应用球坐标系中的散度和旋度表示式分别得:,1.1.6 拉普拉斯运算入拉普拉斯算符，表示为:可用标量函数得梯度得散度来表示，即在直角坐标系中，对标量函数 有,即在圆柱坐标系中，对标量函数 有:在球坐标系中，对标量函数 有:,矢性拉普拉斯算符，定义为:,可以证明，在直角坐标系中有:应该注意。标性拉普拉斯算符和矢性拉普拉斯算符两者在本质上是完全不同的!，只有在直角坐标系中，才有(2)式那样简单的表示式。在圆柱和圆球坐标系下只能由(1)式进行复杂的运
9、算。这时场的分量之间有耦合。,1.1.7 亥姆霍兹定理 空间有限区域内的任一个矢量场F，由该矢量场的散度、旋度以及边界条件惟一地确定，并可表示为 :,式中如果g和G已知。则有,亥姆霍兹定理断言，当g和G给定时，F就是确定的了，最多相差一个积分常量，而利用给定的边界条件就可以确定该积分常量。,1.2电磁场中的基本物理量及基本实验定律（）电荷及电荷密度在电磁理论研究中，通常引入以下四种电荷源模型。体电荷模型面电荷模型(c ) 线电荷模型(d ) 点电荷模型,2. 电流及电流密度电荷在电场作用下的宏观定向运动形成电流通常用电流强度来描述，其定义是单位时间内通过某一横截面的电荷，表示为：电流强度一般简
10、称为电流，它的单位为A。在电磁理论研究中，常用到以下三种电流源模型：,体电流模型电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流。表示为：J又称为体电流密度，但要注意，体电流密度J的单位是,(b) 面电流模型 电流在一个厚度可以忽略的薄层内流动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量来描述其分布。如图1.2.1所示，与电流方向垂直的横截面厚度趋于零，面积元 变为线元 ，故得面电流密度矢量 的大小为 面电流密度的单位是 。方向仍为正电荷运动的方向 。,(c) 线电流模型电荷在一个横截面积可以忽略的细线中流动所形成的电流称为线电流。长度元 中流过电流I ，将 称为电流元，也是电磁理论中的重要概念。,
11、3. 电流连续性方程它表明电荷体密度 随时间变化的点是体电流密度矢量场的源点。,有则得 这是恒定电流的连续性方程。,1.2.2 电磁场的场量库仑定律和电场强度库仑定律是关于两个点电荷之间作用力的定量描述，是实验结果。其数学表示为：如图1.2.2所示。式中的称为真空（或自由空间）的介电常数。实验表明，任何电荷都在自己周围空间产生电场，电荷之间的相互作用力是通过电场传递的。用试验电荷 在电场中所受的力来定义电场强度，表示为,式中 称为试验电荷， 表示它足够的 小，以使其引入不会影响原电场。 对于图1.2.2所示的情况，产生电场的源是点电荷q，其位置矢量为r；试验电荷q，其位置矢量为r； ，方向从源
12、点指向场点。,o,点电荷q的电场强度为电场强度E的单位是对线性媒质中的线性支配方程可用叠加原理。对于由N个点电荷产生的电场，场点r处的电场强度等于各个点电荷单独产生的电场强度的矢量和，即,对于电荷分别以体密度、面密度和线密度连续分布的带电体，我们得到下列公式：,例题：计算均匀带电有限长直导线的电场强度。解： 如图1.2.5所示，直导线的长度为2l,其上均匀分布着线密度为 的电荷。对于直线状带电体，选用圆柱坐标系是适宜的。此时电场分布具有轴对称性，只需计算坐标变量 的平面上的电场分布。为简便，取 ，此时场点的位置矢量为 。取长度元将电荷 视为点电荷，其位置矢量为可得 :,对于无限长均匀带电直导线
13、，在上式中令即得点 的电场强度为,例:计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。,解： 如图1.2.6所示，环形薄圆盘的内半径为a，外半径为b，电荷面密度为 环形薄圆盘上的面积元dS所带电荷为 其位置矢量为 场点 的位置矢量为 。故 可得：,由于圆柱坐标系中的单位矢量，即 不是常矢量，故 而则,对式（）表示的结果作以下讨论保持内半径a不变，使外半径,则得这是具有圆形孔得无限大均匀带电平面在圆孔轴线上的电场强度表示式。保持外半径b不变，使内半径，则得这是半径位b的带电圆盘在轴线上的电场强度表示式。,使 ，则得 这是均匀带电无限大平面的电场强度表示式它是均匀场。可以用此式近似表示有限大均匀带
14、电平面附近的电场强度。,例题：计算电偶极子的电场强度 。,+q,-q,解：在球坐标系中 ，场点的位置矢量为 ，两个源点的位置矢量分别为：,由此可得：在电磁理论中，我们感兴趣的是远离点偶极子区域内的场。此时同样，有,则的电场强度简化为 ：在分析电介质中的电场时，电偶极子是一个重要概念。引入电偶极矩P的定义：式中的矢量，即方向从-q指向+q。用电偶极矩重写远区电场强度如下：,2、安培力定律和磁感应强度 实验结果表明，在真空中通有恒定电流的回路对通有恒定电流的回路的作用力由下式表示：式中称为真空的磁导率；电流元的位置矢量为，电流元的位置矢量为；两电流元之间的距离为R，表示为矢量为 ：,于是安培力公式可以改写为:这就是安培力定律。应用场的观点，两电流回路之间的相互作用力是通过磁场传递的。就用下式来定义回路 中的电流 在电流元 所在点产生的磁场，称为磁感应强度，记为:,将此定义应用到任意电流回路C，采用场点坐标r原点坐标r，则上式改写为:对于体电流模型和面电流模型分别可得:,
